BAB Konsep Dasar
BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial
BAB Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial
BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier Suatu tekanan p dibutuhkan untuk menancapkan suatu plat sirkuler dengan radius r kedalam permukaan keras yang mempunyai panjang D. Plat itu akan ditancapkan sejauh d (dengan D > d)dibawah permukaan. Tekanan itu bervariasi tergantung besarnya radius dari plat sirkuler tadi, semakin besar radius plat semakin besar pula tekanan yang dibutuhkan, sehingga hubungan antara tekanan p dengan radius plat r dapat disajikan sebagai p = k e k r + k r dimana k k dan k adalah konstanta yang tergantung pada kedalaman plat itu ditancapkan d dan konsistensi dari permukaan. m m m r r r Selanjutnya untuk menentukan radius minimal plat yang masih memungkinkan plat dapat menahan beban besar akibat dari tekanan 55
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 56 dan permukaan keras tadi, pada gambar tiga plat sirkuler dengan radius, dan tekanan yang berbeda ditancapkan bersama dengan kedalaman yang sama. Peristiwa ini menghasilkan persamaan tiga sistem non linier m = k e k r + k r m = k e k r + k r m = k e k r + k r : Untuk menentukan k k dan k,metodanumeris merupakan alternatif yang baik. Sistem persamaan non linier dapat disajikan dalam bentuk f (x x ::: x n ) = 0 f (x x ::: x n ) = 0 f (x x ::: x n ) = 0 (4.). f n (x x ::: x n ) = 0 Alternatif lain kita dapat menulis sistem itu dalam fungsi F, yang memetakan R n terhadap R n. F(x x dots x n ) = ; f (x x ::: x n ) f (x x ::: x n ) ::: f n (x x ::: x n ) T F(x) = 0 (4.) Denisi 4.0. Suatu fungsi f yang memetakan D R n kedalam R dikatakan kontinyu pada x 0 bila lim f(x) =f(x 0 ): x!x 0 Selanjutnya untuk f yang kontinyu pada himpunan domain D dan kontinyu pula disetiap elemen D maka dapat ditulis f C(D).
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 57 Denisi 4.0. Suatu fungsi F yang memetakan D R n kedalam R n dengan bentuk F =(f (x) f (x) ::: f n (x)) T maka lim F(x) =L =(L L ::: L n ) T x!x 0 jika dan hanya jika lim x!x 0 f i (x) =L i untuk masing-masing i. Selanjutnya fungsi F akan kontinyu pada x 0 D bila lim x!x 0 F(x) ada, dan lim x!x 0 F(x) =F(x 0 ) dan bila F kontinyu dalam domain D maka F akan kontinyu pada setiap x D. dengan simbol yang sama dengan teorema (??) dalam hal ini ditulis sebagai F C(D) Teorema 4.0. Jika f adalah fungsi yang memetakan D R n kedalam R dan x 0 D, maka jika ditemukan suatu konstanta >0 dan K>0 dengan ketentuan dan @f(x) @x j K untuk j = ::: n jjx ; x 0 jj < x D maka f adalah kontinyu pada x 0. 4. Metoda Titik Tetap Denisi 4.. Suatu fungsi G yang memetakan D R n kedalam R n mempunyai titik tetap pada p D jika G(p)=p.
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 58 Teorema 4.. Jika D = (x x ::: x n ) T ja i x i b i i = ::: n, dan G adalah fungsi kontinyu yang memetakan D R n kedalam R dengan sifat G(x) D untuk sebarang x D, maka G mempunyai titik tetap pada D. Selanjutnya bila G kontinyu pada turunan partialnya dan ditemukan konstanta K < dengan @g i (x) @x j K n untuk sebarangx D untuk masing-masing j = ::: n dan masing-masing komponen g i. Maka sederetan bilangan f g k=0 yang didenisikan sebagai = G(x [k;] ) untuk masing ; masing k akan konvergen terhadap titik tetap tunggal p D dan jj ; pjj K k ; K jjx() ; x (0) jj : (4.) Contoh 4.. Buktikan bahwa sistem non linier berikut ini mempunyai titik tetap tunggal pada D = (x x x ) T j; x i i =. x ; cos(x x ) ; = 0 x ; 8(x +0:) +sinx +:06 = 0 e ;x x +0x + 0 ; = 0: Teorema 4.. Selesaikan persamaan diatas untuk x i maka x = cos(x x )+ 6 x = q x 9 +sinx +:06 ; 0: x = ; 0 e;x x ; 0 ; : 60
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 59 dengan demikian untuk G : R n! R n didenisikan G(x) =(g x) g x) g x)) T dimana g (x x x ) = cos(x x )+ 6 g (x x x ) = q x 9 + sin x +:06 ; 0: g (x x x ) = ; 0 e;x x ; 0 ; : 60 Untuk x =(x x x ) T D maka jg (x x x )j jcos(x x )j + 6 0:50 jg (x x x )j = q x 9 + sin x +:06 ; 0: = 9p +sin+:06 ; 0: < 0:09 jg (x x x )j j; 0 e;x x j + 0 ; : 60 = 0 e + 0 ; < 0:6 60 sehingga ; g i (x x x ), untuki =, dengan demikian G(x) D untuk sebarang x D. Slanjutnya kita tentukan @g i @x j K n untuk sebarangx D
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 60 Dalam hal ini @g @x = 0 @g @x jx jj sin x x j sin < 0:8 @g @x jx jj sin x x j sin < 0:8 @g @x = 0 @g jx j @x = p 9 x +sinx < p +:06 9 0:8 < 0:9 @g j cos x j @x = p 8 x +sinx < p +:06 8 0:8 < 0:9 @g @x = 0 @g @x = jx j 0 e;x x 0 e<0:4 @g @x = jx j 0 e;x x 0 e<0:4: Karena g g g terbatas dalam D maka dengan teorema (??) g i kontinyu pada D, dengan demikian G kontinyu pada D. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa @g i (x) @x j 0:8 i = j = : Dan akhirnya G mempunyai titik tetap tunggal. Kemudian untuk menentukan aproksimasi dari titik tetap p itu, kita pilih x [0] =(0: 0: ;0:) T, dan kalkulasi berikutnya mengikuti proses iterasi berikut = cos(x[k;] x [k;] = 9 = ; )+ 6 q ;x [k;] ) +sinx [k;] +:06 ; 0: 0 e;x [k;] x [k;] ; 0 ; : 60 Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel berikut
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 6 k e n = jj ; x [k;] jj 0 0.0000000 0.0000000-0.0000000 0.49998 0.009445-0.507 0.4 0.4999959 0.0000557-0.56 9:4 0 ; 0.50000000 0.00004-0.55984 : 0 ;4 4 0.50000000 0.0000000-0.559847 : 0 ;5 5 0.50000000 0.0000000-0.559877 : 0 ;7 Untuk mempercepat konvergensi proses iterasi dapat dilakukan dengan cara = cos(x[k;] x [k;] = 9 dengan hasil sebagai berikut )+ 6 q ;x [k] ) +sinx [k;] +:06 ; 0: = ; e;x[k] x[k] ; 0 ; : 0 60 k e n = jj ; x [k;] jj 0 0.0000000 0.0000000-0.0000000 0.49998 0.0979-0.5046 0.4 0.49997747 0.000085-0.559807 9:4 0 ; 0.50000000 0.00000004-0.559877 : 0 ;5 4 0.50000000 0.00000000-0.559877 : 0 ;8 4. Metoda Newton sebagai Metoda Newton untuk menentukan akar persamaan polinomial dapat ditulis p n = p n; ; f(p n;) f 0 untuk n : (p n; )
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 6 Bila p n = g(p n; )maka metoda ini dapat disajikan dalam atau g(p n; )=p n; ; f(p n;) f 0 untuk n : (p n; ) g(x) =x ; f(x) f 0 (x) : g(x) =x ; (x)f(x) untuk ==f 0 (x): Dan dapat juga ditulis dalam G(x) =x ; A(x) ; F(x) dimana A(x) adalah matrix nonsingular (nn). Salah satu pilihan terbaik untuk matrik ini adalah matrik Jacobian, yaitu sehingga J(x) = 6 4 @f (x) @x @f (x) @x. @f n(x) @x @f (x) @x ::: @f (x) @x :::. @f n(x) @x ::: @f (x) @x n @f (x) @x n. @f n(x) @x n 7 5 G(x) =x ; J(x) ; F(x): Selanjutnya iterasi functional yang diawali dengan pemilihan x [0] sebagai nilai awal, dapat disajikan dalam bentuk = G(x [k;] ) = x [k;] ; J(x [k;] ) ; F(x [k;] ) (4.4) adalah merupakan formulasi Newton untuk solusi sistem nonlinier.
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 6 Teorema 4.. Misal p adalah solusi dari G(x) =x dimana G =(g g ::: g n ) T memetakan memetakan R n kedalam R n. Jika ditemukan >0 dengan sifat. @g i @x j kontinyu pada N = fxjjjx ; pjj <g,. @ g i (x) @x j @x k juga kontinyu, @ g i (x) @x j @x k M, untuk sebarang konstanta M dan sebarang x N,. @g i(p) @x k =0, dimana i = ::: n j = ::: n dan k = ::: n maka terdapat bilangan ^ sedemikian hingga = G(x [k;] ) konvergen terhadap titik tetap tunggal p untuk sebarang nilai awal x [0] sepanjang jjx ; pjj < ^. Selanjutnya jj ; pjj n M jjx[k;] ; pjj untuk masing ; masing k Contoh 4.. Ulangi persoalan (??), gunakan metoda Newton untuk menentukan aproksimasi terhadap p. Teorema 4.. Sistem persamaan nonlinier itu adalah x ; cos(x x ) ; = 0 x ; 8(x +0:) +sinx +:06 = 0 e ;x x +0x + 0 ; = 0: sehingga J(x) = 6 4 x sin x x x sin x x x ;6(x +0:) cos x 7 5 ;x e ;x x ;x e ;xx 0
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 64 dan J(x [k;] )= 6 4 x [k;] sin x [k;] x [k;] x [k;] sin x [k;] x [k;] x [k;] ;6(x [k;] +0:) cos x [k;] ;x [k;] e ;x[k;] x [k;] ;x e ;x[k;] x [k;] 0 : 7 5 Demikian juga F(x [k;] )= 6 4 x [k;] ; cos(x [k;] x [k;] ) ; (x [k;] ) ; 8(x [k;] +0:) +sinx [k;] +:06 e ;x[k;] x [k;] +0x [k;] + 0; : : 7 5 Selanjutnya lakukan kalkulasi dengan prosedur iterasi newton dengan memilih nilai awal x =(0: 0: ;0:) T akan diperoleh hasil dalam tabel dibawah ini. k e n = jj ; x [k;] jj 0 0.0000000 0.0000000-0.0000000 0.49998 0.009445-0.507 0.4 0.4999959 0.0000557-0.56 9:4 0 ; 0.50000000 0.00004-0.55984 : 0 ;4 4 0.50000000 0.0000000-0.559847 : 0 ;5 5 0.50000000 0.0000000-0.559877 : 0 ;7 Tabel 4.: Data hasil eksekusi program iterasi Newton
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 65 Latihan Tutorial. Persamaan nonlinier berikut ini mempunyai dua solusi. ;x (x +)+x =8 (x ; ) +(x ; 6) =5 Berikan pendekatan grak terhadap sistem itu. Tentukan solusi dengan toleransi e ; 5 dalam l norm. Metoda Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier disajikan dalam rumus berikut = x [k;] ; J(x [k;] ) ; F(x [k;] ) Terapkan teknik ini kedalam sistem persamaan berikut untuk menghitung x [] fgunakan x [0] =(0: 0: ;0:) T g. x ; cos(x x ) ; = 0 x ; 8(x +0:) + sin x +:06 = 0 e ;x x +0x + 0 ; = 0. Sistem nonlinier berikut: x ; 0x + x +8 = 0 x x + x ; 0x +8 = 0 dapat ditransformasikan dalam titik tetap x = g (x x )= x + x +8 0 x = g (x x )= x x + x +8 0
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 66 Gunakan teorema yang tertera dalam buku ini untuk menunjukkan bahwa G =(g g ) t : D R!R mempunyai titik tetap unik dalam D =(x x ) t j0 x x :5 Terapkan iterasi fungsional untuk menentukan solusi hampiran dari sistem tersebut. Apakah metoda Seidel dapat mempercepat tingkat konvergensinya. 4. Gunakan metoda Newton untuk menentukan solusi hampiran dari persamaan nonlinier berikut ini. x + x ; 7 = 0 x ; x ; 5 = 0 x + x + x ; = 0 fgunakan x [0] =(0: 0: 0) T g x +x ; x ; x = 0 x ; 8x +0x = 0 x 7x x ; = 0