KONKURENSI TITIK GERGONNE Tisna Desi *, M. Nasi, Hasiai Mahasiswa Poga S Maeaika Dosen Juusan Maeaika Fakulas Maeaika dan Ilu Pengeahuan la Unieias Riau Kapus Bina Widya 89 Indonesia *desiisnanubi@yahoo.co BSTRCT This pape discusses he poof of he concuen fo Gegonne poin. The Gegonne poin of a iangle is he poin a which he hee lines fo eices o he poins of angency beween he incicle and he sides of he iangle ae concuen. Concuen Gegonne poin can be poed hough seeal ehods and using Cea heoe. The concuence of Gegonne poin is also poed on excicle of iangle. Keywods: Cea heoe, concuen, excicle, Gegonne poin, incicle BSTRK ikel ini ebahas pebukian konkuensi iik Gegonne. Tiik Gegonne pada segiiga adalah iik yang beasal dai iga gais dai keiga sudu segiiga ke iik singgung anaa lingkaan dala dan sisi segiiga yang konkuen. Konkuensi iik Gegonne dala segiiga dibukikan elalui bebagai caa, dengan enggunakan eoea Cea. Keudian dibukikan konkuensi iik Gegonne pada lingkaan singgung lua segiiga. Kaa kunci: konkuen, lingkaan dala, lingkaan singgung lua, eoea Cea, iik Gegonne. PENDHULUN Misalkan edapa segiiga sebaang dengan lingkaan yang beada di dala, lingkaan yang enyinggung keiga sisinya yang bepusa pada iik pusa lingkaan dala (incene) [, h. 50], sehingga edapa iga iik singgung ehadap segiiga, yang ana apabila di aik gais dai keiga iik sudu segiiga ehadap iik singgung lingkaan dala (incicle) [8, h.50] ehadap sisi segiiga esebu, aka keiga gais esebu akan bepoongan pada sau iik (concuen) [, h. 48] yang disebu iik Gegonne [6,7]. Selanjunya jika edapa lingkaan singgung lua segiiga (excicle) [8, h. 54], dengan iik pusa lingkaan singgung lua segiiga yang disebu (excene), juga dapa dibenuk iik Gegonne di lua segiiga yang beasal dai lingkaan singgung
lua ehadap segiiga. [] sehingga dapa dibenuk iga buah iik Gegonne lainnya dai iga lingkaan singgung ehadap keiga sisi segiiga []. Boyd dan Raychowdhuy [7], elah ebahas bagaiana ebukikan konkuensi iik Gegonne dengan enggunakan lingkaan kosenik dai lingkaan dala segiiga asal. Pada aikel ini, penulis ebahas caa lain ebukikan konkuensi iik Gegonne esebu dengan enggunakan caa yang elah dibahas pada ulisan lainnya, yaiu elalui gais singgung lingkaan [4], seipeiee pada segiiga [5], dan segiiga konguen [6]. Selanjunya penulis juga ebahas konkuensi iik Gegonne di lua segiiga elalui seipeiee segiiga [].. TITIK GERGONNE DLM SEGITIG Pada bagian ini dibahas engenai konkuensi iik Gegonne dala segiiga, unuk ebukikan konkuensi iik Gegonne, akan digunakan eoea Cea [8, h. 8]. Teoea. (Teoea Cea) Jika dibeikan sebuah BC C asing-asing eleak pada sisi BC, C, dan B. Maka gais bepoongan di sau iik jika dan hanya jika CB. C B C B dengan iik,, BB B, dan, dan CC () Gaba. Keiga gais, BB, dan CC bepoongan di iik P. Buki: Misalkan keiga gais, BB, dan CC konkuen di P, akan diunjukkan pesaaan belaku. Pada Gaba, pehaikan B dan C dengan asing-asing alasnya dan C. Misalkan ha eupakan inggi dai kedua segiiga esebu. Keudian pehaikan BP dan CP dengan asingasing alasnya dan C. Misalkan hp eupakan inggi dai kedua segiiga esebu sehingga dipeoleh LBP LCP LB LBP LC LCP h C h a a hp C h p ()
ha hp LBP LCP Cha hp LBP () LCP C dengan caa yang saa unuk CBB dan BB dipeoleh LCPB CB (4) LBP B keudian unuk CC dan BCC dipeoleh LCP (5) LCPB C B jadi dai pesaaan (), (4), dan (5) didapa CB LCP LBP LCPB C B C B LCPB LCP LBP CB. C B C B Unuk ebukikan sebaliknya, jika dikeahui pesaaan (), aka akan diunjukkan bahwa keiga gais, BB, dan CC bepoongan pada sau iik. Misalkan gais BB dan CC bepoongan pada sau iik P. Selanjunya dibua gais P dan pepanjang sehingga eoong sisi BC, kaakanlah iik poongnya adalah iik P, aka belaku BP CB C B P C B jadi BP B C B P C CB (6) aka pesaaan (6) enjadi BP LBP P C LCP BP P C C Kaena P dan hanya ada sau gais yang eupakan pepanjangan dai iik sudu yang eoong gais BB dan CC epa di iik P yaiu gais. Jadi, gais, BB, dan CC bepoongan di iik P. Teoea. (Teoea Gegonne) Di dala segiiga gais yang dibenuk dai iik-iik puncak BC yang dihubungkan dengan iik singgung lingkaan dala pada sisi di hadapannya adalah konkuen. Buki: kan diunjukkan, BB, dan CC konkuen di Ge. Konkuensi iik Gegonne dala pada segiiga dibukikan dengan enggunakan epa caa yaiu
Caa. Dengan enggunakan gais singgung pada lingkaan. Gaba. Gais singgung lingkaan di dala BC. Konkuensi iik Ge enggunakan gais singgung lingkaan, elah dibahas pada [4]. Pehaikan Gaba, bebeapa gais singgung pada lingkaan dala BC yang eiliki panjang yang saa yaiu: B (7) B C B (8) C CB (9) dengan enggunakan Teoea, aka pesaaan (7), (8), dan (9) enjadi CB CB C B C B B C B C CB. C B C B Caa. Dengan enggunakan seipeiee pada BC. Gaba. BC yang eua panjang sisinya. 4
Pehaikan Gaba, konkuensi iik Ge elalui seipeiee ini, enggunakan ide dai [5], jika diisalkan BC a, C b, B c, aka dipeoleh pesaaan B s a (0) s b () CB s c () dengan enggunakan Teoea, pesaaan (0), (), dan () dipeoleh CB s a s b s c C B C B s b s c s a CB. C B C B Caa. Menggunakan segiiga konguen. Gaba 4. BC yang eua iik incenenya. Pehaikan Gaba 4, konkuensi iik Ge elalui segiiga konguen elah dibahas pada [6]. Bedasakan koespodensi (sd-s-sd) dipeoleh IB IBC IC ICB IB IC sehingga dipeoleh B C B () C CB (4) B (5) dengan enggunakan Teoea, aka pesaaan (), (4), dan (5) enjadi CB C B. C B C B C B CB Caa 4. Menggunakan lingkaan kosenik. Unuk enunjukan konkuensi iik Gegonne dengan enggunakan lingkaan kosenik [7], dapa diliha dengan engkonuksi lingkaan kosenik dai lingkaan 5
dala segiiga dengan incene sebagai iik pusa kedua lingkaan esebu. Sehingga dapa dibenuk segiiga yang sebangun ehadap segiiga asalnya. Pehaikan Gaba 5. Gaba 5. D(I) Sebagai lingkaan dala DEF. Pehaikan BC dan DEF, isalkan panjang, C, B dan isalkan panjang ED w, D F w, E D w dan BC ~ DEF. Unuk epeudah enghiung panjang B, aka dibeikan Gaba 6 sebagai beiku. Gaba 6. Gabaan unuk enghiung B. Pehaikan Gaba 6, isalkan D X aka D I sehingga pebandingan panjang jai-jainya adalah ( ) : dan dipeoleh kaena PD w BP w aka dipeoleh (6) kaena panjang EP BP aka (7) 6
7 (8) unuk epeudah poses penghiungan isalkan aka dipeoleh w PD (9) kaena ~ B PD aka dipeoleh. ) ( PD B (0) Subsiusikan pesaaan (6), (7), (8) dan (9) ke pesaaan (0),, / B () dengan caa yang saa epeoleh B, aka dipeoleh / C / CB / B () / C. / BC Pehaikan segiiga yang sebangun beiku Gaba 7. BC ~ DEF. Pehaikan Gaba 7, dengan epepanjang gais C hingga eoong sisi EF di iik R dan benuk pula gais dai iik C ehadap sisi EF eoong diiik Q
aka ebenuk CHR sehingga BC ~ CHR. Selanjunya pehaikan BC isalkan C l B, dan BC l dipeoleh,, l l l l k, () dai pesaaan () dan () dipeoleh, l l / k (4) l l k dengan caa yang saa epeoleh panjang sisinya aka dipeoleh l l / k C (5) l l k l l / k CB (6) l l k l l / k B (7) l l k l / l k (8) l l k l / l k BC (9) ll k dengan enggunakan Teoea, aka pesaaan (5), (6), (7), (8) dan (9) enjadi CB C B C B. TITIK GERGONNE LUR SEGITIG Pada bagian ini dijelaskan enang konkuensi iik Gegonne yang beada di lua segiiga. Pada sebaang BC yang eua iga lingkaan singgung lua, asingasing enyinggung sisi BC di iik, sisi C di iik B, dan sisi B di iik C. Dai keiga lingkaan singgung lua esebu dapa dibenuk iik Gegonne beada di lua segiiga. Benuk gais dai iik singgung, C", dan B" ehadap sudu segiiga di hadapannya, keiga gais esebu akan bepoongan pada sau iik Ge. Konkuensi iik Ge elah dinyaakan dala []. 8
Gaba 8. Tiik Gegonne di lua BC. Pehaikan Gaba 8, pada lingkaan singgung sisi BC akan diunjukkan CC ", BB ", dan Ge bepoongan di sau iik aau konkuen, dengan enggunakan eoea Cea pada kasus dua. Misalkan BC a, C b, dan B c, bedasakan seipeiee pada segiiga, aka pesaaan dipeoleh B" s, (0) sehingga dipeoleh C" B B s c () CB" C s b. () aka pesaaan (0), (), dan () enjadi C" B CB" s s c s b C" B C B" s s c s b C" B CB". C" B C B" aka ebuki iik Ge dai BC adalah konkuen. Dengan enggunakan caa yang saa juga akan belaku ehadap pebukian konkuensi dai Ge dan Ge. 4. KESIMPULN Dai hasil aikel ini dapa disipulkan bahwa edapa dua jenis iik Gegonne yaiu iik Gegonne yang beada di dala segiiga dan iik Gegonne yang beada di lua segiiga. Konkuensi iik Gegonne di dala segiiga dapa dibukikan dengan bebagai caa dan caa yang lebih doinan digunakan adalah enggunakan eoea gais 9
singgung. Sedangkan konkuensi iik Gegonne yang beada pada lua segiiga lebih udah diunjukkan enggunakan seipeiee segiiga. DFTR PUSTK [] Down J., F. L. 964. Geoey. ddison-wesley Publishing Copany. INC., Reading. [] Godfay, C &.W. Siddons. 908. Moden Geoey. Cabidge a Uniesiy Pess. London. [] Gogeoey. hal. hp://www.gogeoey.co/geoey/p68_iangle_ Gegonne_poins_excicle_angency_poin_concuen.h. 0 Noebe 0. pk. 08.00. [4] Guieez,. Gegonne Poin. hal. Gogeoey.co/cene/gegonne-poinheoe-hl-ipad-nexus.h. 9 Desebe 0. pk. 5.00. [5] Guieez,. Seipeiee and Incicle. hal. gue.hoesead.co/ files/seipeieeincicle.h. 9 Desebe 0. pk. 7.00. [6] Hoskins, & Cysal Main. Essay : Gegonne Poin. 4 hal. hp://jwilson.coe.uga.edu/emt668/emt6680.f99/main/essays/essay.hl, Sepebe 0. pk..5. [7] J.N Boyd & P.N. Raychowdhuy. 999. The Gegonne Poin Genealized Though Conex Coodinaes, Inene. J. Mah. Sci, (): 4-40. [8] Mashadi. 0. Geoey. Pusbangdik. Uniesias Riau, Pekanbau. 0