STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah
INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar serta jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan suku banyak.
Teorema Faktor Jika f(x) adalah suku banyak, Maka (x k) merupakan faktor dari P(x); jika dan hanya jika P(k) = 0
Artinya: 1. Jika (x k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0, 2. jika P(k) = 0 maka (x k) merupakan faktor
Contoh 1: Tunjukan (x + 1) faktor dari x 3 + 4x 2 + 2x 1 Jawab: (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1) 3 + 4(-1) 2 + 2(-1) 1 = -1 + 4 2 1 = 0 Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x 3 + 4x 2 + 2x 1 adalah dengan pembagian horner: -1 1 4 2-1 koefisien -1 3-3 -1 artinya dikali (-1) 1 + Suku banyak 0 P(-1) = 0 berarti (x + 1) faktornya
Contoh 2: Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x 3 x 2 7x + 6 Jawab: Misalkan faktornya (x k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu
pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.1 3 1.1 2 7.1 + 6 = 2 1 7 + 6 = 0
Oleh karena P(1) = 0, maka (x 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x 3 x 2-7x + 6 Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x 1) dengan pembagian horner:
Koefisien sukubanyak P(x) = 2x 3 x 2 7x + 6 adalah k = 1 2-1 -7 6 2 2 1 1-6 Koefisien hasil bagi -6 0 Hasil baginya: H(x) = 2x 2 + x - 6 +
Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x 2 + x 6 = (2x 3)(x + 2) dengan demikian 2x 3 x 7x + 6 = (x 1)(2x 2 + x 6) 2x 3 x 7x + 6 = (x 1)(2x 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah (x 1), (2x 3 ) dan (x + 2)
Contoh 3: Diketahui (x 2) adalah faktor P(x) = 2x 3 + x 2 + ax - 6. Salah satu faktor yang lainnya adalah. a. x + 3 b. x 3 c. x 1 d. 2x 3 e. 2x + 3
Jawab: Kita tentukan terlebih dahulu koefisien x 2 yaitu a =? Jika (x 2) faktornya P(x) maka P(2) = 0 2.2 3 + 2 2 + 2a - 6 = 0 16 + 4 + 2a - 6 = 0 2a + 14 = 0 2a = -14 a = -7
P(x) = 2x 3 + x 2-7x - 6 berarti koefisien P(x) adalah 2 1-7 -6 k = 2 6 4 10 2 5 3 0 Koefisien hasil bagi Hasil baginya: H(x) = 2x 2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1) Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3 +
Contoh 4: Sukubanyak f(x) = x 3 - ax 2 + bx 2 mempunyai faktor (x 1). Jika dibagi oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai a + b adalah. a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9
Jawab: Sukubanyak f(x) = x 3 - ax 2 + bx 2 (x 1) faktor f(x) f(1) = 0 1 a + b 2 = 0 -a + b = 1.(1) dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36 (-2) 3 a(-2) 2 + b(-2) 2 = -36
(-2) 3 a(-2) 2 + b(-2) 2 = -36-8 4a 2b 2 = -36-4a 2b = -36 + 10-4a 2b = -26 2a + b = 13.(2)
Persamaan (1): -a + b = 1 Persamaan (2): 2a + b = 13-3a = -12 a = 4 b = 1 + 4 = 5 Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9
Akar-akar persamaan Suku banyak Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak
Jika P(x) adalah sukubanyak; (x k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0 k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0
Teorema Akar-akar Rasional Jika P(x) =a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a o dan (x k) merupakan faktor dari P(x) maka k faktor faktor bulat dari bulat dari a a 0 n
Contoh 1: Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x 3 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain. Jawab: Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0
P(x) = x 3 7x + 6. P(-3) = (-3) 3 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0 Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 7x + 6 = 0 Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x 3 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner sebagai berikut
P(x) = x 3 7x + 6 berarti koefisien P(x) adalah k = -3 1 0-7 6-3 9-6 1-3 2 0 Koefisien hasil bagi Hasil baginya: H(x) = x 2 3x + 2 =(x 1)(x 2) +
Hasil baginya: H(x) = x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) sehingga persamaan suku banyak tsb dapat ditulis menjadi: (x + 3)(x 1)(x 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2
Contoh 2: Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x 4 3x 2 + 2 = 0 adalah. a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o
Jawab: Karena persamaan suku banyak berderajat 4, maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2 Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akarakar rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1 Koefisien x 4 3x 2 + 6 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 6
k = 1 1 0-3 0 2 1 1-2 -2 1 1-2 -2 0 + Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya, Selanjutnya kita coba -1. Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2
k = -1 1 1-2 -2-1 0 2 1 0-2 0 + Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga: (x 1)(x + 1)(x 2 2) = 0
(x 1)(x + 1)(x 2 2) = 0 (x 2 2) difaktorkan lagi menjadi (x - 2)(x + 2) = 0 Berarti akar yang lain: 2 dan - 2, tapi bukan bilangan rasional. Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.
Jumlah & Hasil Kali Akar-akar Persamaan Suku banyak Jika akar-akar Persamaan Suku banyak: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 adalah x 1, x 2, dan x 3 maka x 1 + x 2 + x 3 = x 1.x 2 + x 1.x 3 + x 2.x 3 = x 1.x 2.x 3 = d a b a c a
Contoh 1: Jumlah akar-akar persamaan x 3 3x 2 + 2 = 0 adalah. Jawab: a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 x 1 + x 2 + x 3 = a - 3 = = 3 b 1
Contoh 2: Hasilkali akar-akar persamaan 2x 3 x 2 + 5x 8 = 0 adalah. Jawab: a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x 1.x 2.x 3 = = d a -8 2 4
Contoh 3: Salah satu akar persamaan x 3 + px 2 3x 10 = 0 adalah -2. Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah. Jawab: -2 adalah akar persamaan x 3 + px 2 3x - 10 = 0-2 memenuhi persamaan. Sehingga: (-2) 3 + p(-2) 2 3(-2) 10 = 0-8 + 4p + 6 10 = 0
-8 + 4p + 6 10 = 0 4p 12 = 0 4p = 12 p = 3 Persamaan tersebut: x 3 + 3x 2 3x 10 = 0 Jumlah akar-akarnya: x 1 + x 2 + x 3 = b a 3 1 3
Contoh 4: Akar-akar persamaan x 3 4x 2 + x 4 = 0 adalah x 1, x 2, dan x 3. Nilai x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 =. Jawab: x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = (x 1 + x 2 + x 3 ) 2 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) x 3 4x 2 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = -(-4)/1 = 4 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 1/1 = 1
x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 1 Jadi: x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = (x 1 + x 2 + x 3 ) 2 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = 4 2 2.1 = 16 2 = 14
Referensi 1001 Soal Matematika, Erlangga PSB-SMA Matematika, www.psbpsma.org Matematika Dasar, Wilson Simangunsong