Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31
Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau SPD berikut: ẋ(t) = f (x(t)), dengan x = (x 1, x 2,..., x n ) T dan f = (f 1, f 2,..., f n ) T. SPD di atas disebut SPD mandiri (autonomous) karena f tidak bergantung secara eksplisit pada t. Vektor x = x(t) disebut sebagai vektor keadaan (state vector) dan mendefinisikan titik x di bidang fase. Jika variabel bebas t berubah, maka x juga berubah hingga membentuk lintasan (path, trajectory, orbit) di bidang fase. Solusi PD dengan demikian dapat dipandang sebagai vektor keadaan yang bergerak di sepanjang lintasan di bidang fase. Titik x yang memenuhi f (x ) = 0 disebut titik kesetimbangan (equilibrium point) atau titik tetap (steady state point). Titik yang bukan titik tetap disebut titik biasa (regular point). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 2 / 31
Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Di titik tetap berlaku ẋ = 0. Dengan demikian, titik tetap merupakan titik di mana gerakan vektor keadaan terhenti (variabel waktu t sudah tidak berpengaruh lagi). Jika sistem ẋ = f (x) memiliki nilai awal x 0 = x, maka sistem memiliki solusi konstan x(t) = x. Oleh karena itu titik tetap sering disebut sebagai solusi kesetimbangan. Seringkali semua titik di sekitar titik tetap bergerak menuju titik tetap tersebut. Titik tetap ini disebut sebagai titik tetap stabil (stable equilibrium point) atau atraktor (attractor). Selain atraktor, ada titik tetap yang bersifat siklus limit (limit cycle), yaitu ketika semua lintasan di sekitar titik tetap menuju atau konvergen ke suatu gelung tutup (closed-loop). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 3 / 31
Titik Tetap Lintasan Diberikan SPD dua persamaan berikut: ẋ = f (x, y), ẏ = g(x, y). Ada beberapa cara untuk menentukan lintasan: Example Mengeliminasi variabel t dari solusi: Jika solusi (x(t), y(t)) dapat diperoleh dan jika t dapat dieliminasi dari solusi x = x(t) atau y = y(t), maka dapat diperoleh lintasan y = y(x) atau x = x(y). Solusi SPD ẋ = x dan ẏ = 2y dapat diperoleh secara terpisah, yaitu x(t) = c 1 e t dan y(t) = c 2 e 2t. Dari x = c 1 e t diperoleh e t = x c 1, sehingga diperoleh lintasan y = c 2 ( x c 1 ) 2 = cx 2. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 4 / 31
Titik Tetap Lintasan Example Mengganti variabel bebas: Dari SPD dapat diperoleh ẏ ẋ = g(x, y) f (x, y) dy dx = g(x, y) f (x, y), yang diharapkan dapat diselesaikan sehingga diperoleh solusi y = y(x). Dari SPD ẋ = y(x 2 + 1) dan ẏ = 2xy 2 dapat diperoleh dy dx = sehingga diperoleh lintasan 2xy x 2 + 1 1 y dy = y = c(x 2 + 1). 2x x 2 + 1 dx, Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 5 / 31
Lintasan Sistem Linear Titik Tetap Example Pengintegralan langsung Diberikan PD taklinear berikut: ẍ + ẍ = d(ẋ) dt x 1+x 2 = 0. Aturan rantai memberikan = d(ẋ) dx sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi dengan y = ẋ. dẋ dx ẋ + x 1 + x 2 = 0 dx dt = dẋ dx ẋ, ẋ dẋ = x 1 + x 2 dx 1 2 ẋ 2 = 1 2 ln(1 + x 2 ) y 2 = ln(1 + x 2 ), Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 6 / 31
Titik Tetap Sistem Linear Tinjau SPD linear homogen dengan dua persamaan berikut: ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2, ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2. Solusi SPD di atas bergantung pada nilai eigen dan vektor eigen matriks [ a11 a A = 12, a 21 a 22 ditulis x(t) = c 1 ξ 1 e λ 1t + c 2 ξ 2 e λ 2t, dengan λ i adalah nilai eigen dan ξ i vektor eigen padanannya. Di sini diasumsikan A taksingular (det A = 0) sehingga x = 0 merupakan satu-satunya solusi bagi Ax = 0. Dengan kata lain, x = 0 merupakan satu-satunya titik tetap bagi ẋ = Ax. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 7 / 31
Titik Tetap Definition Diberikan sistem ẋ = f (x). Titik tetap x disebut stabil jika untuk sembarang ε > 0 yang diberikan, ada δ > 0 sedemikian sehingga jika setiap solusi x = x(t) memenuhi x(0) x < δ pada saat t = 0 maka x(t) x < ε untuk semua t 0. Definition Titik tetap yang tidak stabil disebut takstabil. Definition Titik tetap x disebut stabil asimtotik jika ia stabil dan ada δ 0, dengan 0 < δ 0 < δ, sedemikian sehingga jika solusi x = x(t) memenuhi x(0) x < δ 0 pada saat t = 0 maka lim t x(t) = x. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 8 / 31
Titik Tetap Titik tetap stabil: semua solusi yang bermula cukup dekat dengan x (dengan jarak δ) akan tetap cukup dekat dengan x (dengan jarak ε) ketika variabel waktu t membesar. Titik tetap stabil asimtotik: semua solusi yang bermula cukup dekat dengan x tidak hanya tetap cukup dekat dengan x tetapi pada akhirnya akan menuju ke x ketika t. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 9 / 31
Nilai Eigen Real, Berbeda, Sama Tanda λ 1, λ 2 R : λ 1 < λ 2 < 0 Solusi umum SPD: x(t) = c 1 ξ 1 e λ 1t + c 2 ξ 2 e λ 2t. Karena semua nilai eigen negatif maka lim t x(t) = 0, sehingga solusi stabil menuju titik tetap. Jika solusi bergerak dari titik awal x 0 = kξ 1 maka c 2 = 0, sehingga solusi menuju titik tetap mengikuti arah ξ 1. Solusi di atas dapat ditulis: x(t) = e λ 2 (c 1 ξ 1 e (λ 1 λ 2 )t + c 2 ξ 2 ). Perhatikan bahwa λ 1 λ 2 < 0. Sepanjang c 2 = 0, jika t maka suku c 1 ξ 1 e (λ 1 λ 2 )t dapat diabaikan dibandingkan suku c 2 ξ 2, sehingga solusi menuju mengikuti arah ξ 2. Karena λ 1 < λ 2, maka suku c 2 ξ 2 e λ 2t lebih mendominasi. Disebut simpul taksejati (improper node) dan bersifat stabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 10 / 31
Nilai Eigen Real, Berbeda, Sama Tanda λ 1, λ 2 R : λ 1 < λ 2 < 0 Diagram fase dan grafik solusi: λ 1, λ 2 R : 0 < λ 1 < λ 2 Lintasan berbentuk simpul taksejati (improper node) dan bersifat takstabil. Tanda panah pada garis fase menjauhi titik tetap. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 11 / 31
Nilai Eigen Real, Berbeda, Sama Tanda Example Diberikan SPD-SPD homogen: [ 2 0 SPD1: ẋ = 0 3 [ 2 0 x, SPD2: ẋ = 0 3 x. SPD1: λ 1 = 2 < 0 dan λ 2 = 3 < 0 (simpul taksejati stabil). SPD2: λ 1 = 2 > 0 dan λ 2 = 3 > 0 (simpul taksejati takstabil). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 12 / 31
Nilai Eigen Real dan Beda Tanda λ 1, λ 2 R : λ 2 < 0 < λ 1 Solusi umum SPD: x(t) = c 1 ξ 1 e λ 1t + c 2 ξ 2 e λ 2t. Karena λ 1 > 0 maka lim t x(t) = (kecuali solusi yang bergerak dari titik awal x 0 = kξ 2 ). Jika solusi bergerak dari titik awal x 0 = kξ 1 maka c 2 = 0, sehingga solusi menjauhi titik tetap (karena λ 1 > 0) mengikuti arah ξ 1. Jika solusi bergerak dari titik awal x 0 = kξ 2 maka c 1 = 0, sehingga solusi menuju titik tetap mengikuti arah ξ 2. Disebut titik pelana (saddle point) dan bersifat takstabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 13 / 31
Nilai Eigen Real dan Beda Tanda λ 1, λ 2 R : λ 2 < 0 < λ 1 Diagram fase dan grafik solusi: Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 14 / 31
Nilai Eigen Real dan Beda Tanda Example SPD ẋ = [ 0 1 4 0 x memiliki nilai eigen λ 1 = 2 < 0 dan λ 2 = 2 > 0 (titik pelana takstabil). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 15 / 31
Nilai Eigen Real dan Sama λ 1, λ 2 R : λ 1 = λ 2 = λ < 0 Solusi umum SPD: Diperoleh Dua vektor eigen bebas linear x(t) = c 1 ξ 1 e λt + c 2 ξ 2 e λt = e λt (c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 ). x 2 (t) x 1 (t) = c 1ξ 12 + c 2 ξ 22 c 1 ξ 11 + c 2 ξ 21 x 2 (t) = Cx 1 (t), sehingga semua lintasan berupa garis lurus menuju titik tetap: simpul sejati (proper node) stabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 16 / 31
Nilai Eigen Real dan Sama λ 1, λ 2 R : λ 1 = λ 2 = λ < 0 Solusi umum SPD: Satu vektor eigen bebas linear x(t) = c 1 ξe λt + c 2 e λt (ξt + η), dengan ξ merupakan satu-satunya vektor eigen bebas linear dari A dan η merupakan nilaieigen yang diperumum, yaitu (A λi )ξ = η. Solusi dapat ditulis menjadi x(t) = ((c 1 ξ + c 2 η) + c 2 ξt)e λt = ye λt, dengan y := (c 1 ξ + c 2 η) + c 2 ξt. Vektor y menentukan arah vektor solusi x sedangkan e λt menentukan magnitudonya. Jika t maka c 2 ξte λt menjadi suku dominan dengan lim t x(t) = 0. Lintasan berbentuk simpul taksejati (improper node) dan bersifat stabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 17 / 31
Nilai Eigen Real dan Sama λ 1, λ 2 R : λ 1 = λ 2 = λ < 0 Diagram fase dan grafik solusi: Satu vektor eigen bebas linear Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 18 / 31
Nilai Eigen Real dan Sama Example Diberikan SPD-SPD berikut [ 2 0 SPD1: ẋ = 0 2 [ 1 1 x, SPD2: ẋ = 1 3 SPD1: λ 1 = λ 2 = 2 < 0 dan dua vektor eigen bebas linear [ [ 1 0 ξ 1 =, ξ 0 2 =. 1 x. SPD2: λ 1 = λ 2 = 2 > 0 dan satu vektor eigen bebas linear ξ dan dapat ditemukan satu vektor eigen diperumum η [ 1 ξ = 1 [ 0, η = 1. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 19 / 31
Nilai Eigen Real dan Sama Example (lanjutan) Diagram fase: Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 20 / 31
Nilai Eigen Kompleks Konjugat SPD berikut [ a b ẋ = b a x, memiliki nilai eigen kompleks konjugat: λ 1 = a + ib dan λ 2 = a ib. Transformasi ke sistem koordinat kutub: x 2 1 + x 2 2 = r 2 2x 1 ẋ 1 + 2x 2 ẋ 2 = 2rṙ x 1 ẋ 1 + x 2 ẋ 2 = rṙ x 1 (ax 1 + bx 2 ) + x 2 ( bx 1 + ax 2 ) = rṙ a(x 2 1 + x 2 2 ) = rṙ ṙ = ar. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 21 / 31
Nilai Eigen Kompleks Konjugat Transformasi ke sistem koordinat kutub: tan θ = x 2 x 1 (sec 2 θ) θ = ẋ2x 1 x 2 ẋ 1 x 2 1 θ = cos 2 θ ẋ2x 1 x 2 ẋ 1 x 2 1 θ = x 2 1 r 2 ẋ2x 1 x 2 ẋ 1 x 2 1 θ = ( bx 1 + ax 2 )x 1 x 2 (ax 1 + bx 2 ) θ = b. r 2 Jadi, [ a b ẋ = b a [ ṙ x θ = [ a 0 0 b [ r θ. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 22 / 31
Nilai Eigen Kompleks Konjugat SPD [ ṙ θ = [ a 0 0 b [ r θ, [ r(0) θ(0) = [ r0 θ 0. memiliki solusi r(t) = r 0 e at, θ(t) = bt + θ 0. Jika b > 0 maka θ turun ketika t naik sehingga lintasan bergerak searah jarum jam. Jika b < 0 maka θ naik ketika t naik sehingga lintasan bergerak berlawanan arah jarum jam. Jika a < 0 maka lim t r(t) = 0 sehingga solusi stabil. Jika a > 0 maka lim t r(t) = sehingga solusi takstabil. Lintasan berbentuk spiral. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 23 / 31
Nilai Eigen Kompleks Konjugat Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 24 / 31
Nilai Eigen Kompleks Konjugat Example SPD ẋ = [ 1 1 1 1 x memiliki nilai eigen kompleks konjugat λ 1 = 1 + i dan λ 2 = 1 i. Karena a = 1 > 0 dan b = 1 < 0 maka lintasan takstabil dengan gerakan berlawanan arah jarum jam. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 25 / 31
Nilai Eigen Imajiner Murni SPD berikut ẋ = [ 0 b b 0 x, memiliki nilai eigen kompleks konjugat imajiner murni: λ 1 = ib dan λ 2 = ib. Transformasi ke sistem koordinat kutub memberikan [ [ [ [ ṙ 0 0 r r(0) =, = θ 0 b θ θ(0) dengan solusi r(t) = r 0, θ(t) = bt + θ 0. [ r0 Lintasan berbentuk lingkaran dengan gerakan searah jarum jam jika b > 0, atau berlawanan arah jarum jam jika b < 0. Lintasan disebut pusat (center) dan bersifat stabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 26 / 31 θ 0.
Nilai Eigen Imajiner Murni Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 27 / 31
Nilai Eigen Imajiner Murni Example SPD ẋ = [ 0 3 3 0 x memiliki nilai eigen kompleks konjugat λ 1 = 3i dan λ 2 = 3i. Karena b = 3 > 0 maka lintasan stabil dengan gerakan searah jarum jam. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 28 / 31
Nilai Eigen 0 SPD. ẋ = [ 0 0 1 1 x, Pasangan eigen: ( [ 1 λ 1 = 0, ξ 1 = 1 ), ( [ 0 λ 2 = 1, ξ 2 = 1 ). Titik tetap (k, k), k R, membentuk garis kesetimbangan x 2 = x 1. Solusi umum: Lintasan berupa garus lurus. x 1 (t) = c 1 x 2 (t) = c 1 + c 2 e t = x 1 (t) + c 2 e t. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 29 / 31
Nilai Eigen 0 Sistem Linear Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 30 / 31
Sistem Linear Nilai eigen Jenis Titik Tetap λ 1 > λ 2 > 0 Simpul taksejati Takstabil λ 1 < λ 2 < 0 Simpul taksejati Stabil asimtotik λ 2 < 0 < λ 1 Pelana Takstabil λ 1 = λ 2 > 0 Simpul (sejati/taksejati) Takstabil λ 1 = λ 2 < 0 Simpul (sejati/taksejati) Stabil asimtotik λ 1,2 = a ± ib (a > 0) Spiral Takstabil λ 1,2 = a ± ib (a < 0) Spiral Stabil asimtotik λ 1,2 = ±ib Pusat Stabil Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 31 / 31