BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SAU Pada baga sebelumya, kta telah membahas peerapa metoda Ruge-Kutta orde 4 utuk meyelesaka masalah la awal dar persamaa dferesal basa orde. Pada bab, kta aka melakuka pegua terhadap metode Ruge-Kutta orde 4 yag dterapka utuk mecar solus umerk dar suatu persamaa dferesal parsal ler. Pegua tersebut dapat dlakuka dega cara membadgka solus umerk yag dperoleh dega solus aaltkya. Persamaa dferesal parsal ler yag aka kta tau d s yatu persamaa paas dmes. Cotoh masalah berkut dambl dar Nakamura [] utuk solus aaltk. Msalka suatu kawat bes tps dega paag cm yag permukaa lateralya dber solator, mula-mula suhuya. Suhu pada uug kr kawat dbuat tetap o C da pada uug kaa kawat o C. Utuk lebh elasya, gambar 3. berkut merupaka sketsa dar kods tersebut. o C (, ) = o t C, t = o C x Gambar 3. Sketsa kods perambata paas. Model perambata paas, utuk setap waktu, suhu d setap ttk pada kawat memeuh x t t x (, ) = ( x, t), < x <, t > (6) dega kods awal da kods batas (, t ) =, (, t ) = (kods batas) x, =. (kods awal) (7)
3. Solus Aaltk Pada baga, solus aaltk dar model perambata paas aka dtetuka dega megguaka metoda pemsaha varabel, sebaga pembadg terhadap solus umerkya. Lagkah-lagkah dalam mecar solus aaltk dar persamaa dferesal parsal d atas yatu sebaga berkut:. Mecar solus steady state elah dketahu bahwa dar pegamata secara emprk, solus dar persamaa (6) utuk t meuu tak hgga, ( x, t) medekat temperatur steady state bersesuaa dega meetapka tu, x adalah solus masalah la batas ( x) yag = pada masalah la batas d atas. Oleh karea t, = x ( ) =, =. (8) Dega megtegralka persamaa (8) sebayak dua kal terhadap x, kta dapatka persamaa x = Ax+ B. (9) A da B adalah kostata sebarag yag dtetuka dar kods batas. Kedua kods batas dar persamaa (8) dsubttuska ke persamaa (9), maka temperatur steady state dar persamaa (6) adalah. Mecar solus ase emperatur ase ( x, t) dyataka sebaga x = x () (, ) (, ) x t = x t x. () Aka dbuktka bahwa, ( x, t) memeuh t, () x =, t =, t =, x, = x, x = x= x.
Bukt: Karea t, x adalah operator lear, maka persamaa (6) mead t = x + = + t x ( ) ( ) + = + t t x x. (3) Karea = x, maka persamaa (3) mead t + = + x =. t x Selautya, kods batasya mead, Batas kr: (, t ) =, t + =, t + = ( t), = Batas kaa: (, t ) =, t + = Karea =, maka, t = Kods awal: ( x,) = x, + x = 3
x, + x= x, = x. Jad, memeuh persamaa () beserta kods awal da batasya. Selautya, kta aka mecar solus ase (, ) x t yag memeuh persamaa () da kods yag dberka. Msalka (, ) ( x t = u x v t), maka persamaa () mead / // u x v t = u x v t. (4) dega membag kedua ruas persamaa (4) dega uv, maka dperoleh persamaa u u v = (5) v // / Ruas kr persamaa (5) adalah fugs terhadap x saa sedagka ruas kaa adalah fugs terhadap t saa. Jka t dbuat tetap maka ruas kaa // u u haruslah tetap utuk setap la x. Begtu uga sebalkya, ka x dbuat tetap maka ruas kaa / v v haruslah tetap utuk setap la t. Akbatya, kesamaa aka tercapa ka setap ruas persamaa (5) sama-sama kosta. Maka, persamaa (5) mead dega λ adalah kostata postf. u u v = = λ (6) v // / Persamaa (6) terdr dar dua buah persamaa sedagka, kods batasya mead Jka () t λ // u x u x + = (7) λ / v t v t + = (8) (, ) = ( ) =, ( t) u v( t) t u v t, = =. (9) adalah fugs tak val, maka persamaa (9) dapat dpeuh haya ka u( ) = u( ) =. Oleh karea tu, u( x ) harus memeuh masalah lla ege 4
u // + λu = u ( ) =, u = () Msalka λ = β >. Solus umum dar persamaa () adalah cos β s u x A x B β x = +. Kods ( ) s u x = B β x. Kods u = megakbatka u = megakbatka A =, sehgga u = Bsβ =. () Karea kta g mecar u x yag tak val, maka haruslah B. Persamaa () dapat terpeuh, ka β merupaka kelpata dar π. Akbatya, kta mempuya barsa utuk la β β = π da β = π, utuk =,,3,... π λ =, utuk =,,3,... Sehgga, dperoleh barsa fugs ege π u x B x = s π yag berkorespodes dega la ege λ =, utuk =,,3,... Selautya, persamaa (8) mead λ v t + v t =. () / Sehgga, solus umum dar persamaa () adalah v t C e λ t =. (3) Karea ( x, t) = u( x) v( t), maka kta peroleh barsa solus ase π t π ( x, t) = C s e x, dega C = CB. (4) 5
Persamaa () merupaka persamaa ler. Dega megguaka sfat kelera, setap kombas ler dar solus uga merupaka solus, maka solus umum dar persamaa () adalah Subttuska kods awal (5) mead = π t ( x, t) = Ce s π (5) x, = x = ke persamaa (5), sehgga persamaa π ( x,) = C s x. (6) Persamaa (6) merupaka deret Fourer sus. Dmaa, kostata deret Fourer sus d atas adalah C π x = x s dx C = π Sehgga, kta dapatka solus ase = π t ( x, t) = ( ) e s π x. π 3. Meetuka solus ( x, t) Dar defs temperatur ase, solus persamaa paas semula adalah (, ) = (, ) + (, ) x t x t x t = π t π ( x, t) = x+ ( ) e s x. (7) π 6
3. Solus Numerk Persamaa Paas Dega Megguaka Metoda Ruge-Kutta Orde 4 Pada baga, solus umerk dar persamaa (6) beserta kods yag dberka aka dtetuka. Solus umerk merupaka hampra terhadap solus aaltk yag telah dperoleh pada sub bab sebelumya. Paag dar bes peghatar cm. Kta bag doma pegamata tersebut mead M + buah ttk dskrt dega ukura lagkah Δ x da terval waktu pegamata dbag mead N + buah ttk dskrt dega ukura lagkah Δt. Selautya, kta yataka temperatur d ttk ( x, t ) sebaga ( x, t), dega t = t + Δt da x = x +, utuk =,,,..., N da =,,,..., M. Sehgga, kods batas da kods awal dapat dtulska berturut-turut sebaga =, =, da =. M urua parsal terhadap varabel x dhampr dega megguaka metoda beda pusat. Hampra beda pusat utuk ( x, t x Maka, persamaa (6) mead ) + adalah ( x, t + ) x t ( x, t ) = + + = t Utuk kemudaha, kta msalka f f ( ) mempuya betuk f + = +.. (8). Maka persamaa (8). (9) Selautya, turua parsal terhadap varabel t pada persamaa (6) dhampr dega megguaka metoda Ruge-Kutta orde 4. Maka, la +, utuk =,,,..., N da =,,..., M, dtetuka dega megguaka formula + = + ( K+ K + K3+ K4 ). (3) 6 7
dega K =Δt f K K =Δ t f + 3,, K K =Δ t f +, ( ) K =Δ t f + K. 4 3 D s, kta aka melakuka cotoh perhtuga utuk meetuka la da K. + + K =Δ t f = Δt. K K =Δ t f + karea f ler, maka K K =Δ t f ( ) + f dmaa K = f f K + = f Δt + 5Δt = f + ( + ) ( f ( ) f ( ) f ( + ) ) 5Δt = + 5Δt = + ( f f f + ) K Jad, 5Δt K =Δ t f + f f + f ( + ) Dega cara yag sama, kta peroleh 8
5Δt 5Δt K =Δ t f + f f + f + f 4f + 6f 4f + f 3 + + + Δt 5Δt K =Δ t f + f f + f + ( f 4f + 6f 4f + f 4 + + + 5 Δ t + ( f 3 6f + 5f f + 5f + 6f + + f + 3). Jka kta perhatka formulas d atas, la +, utuk =,,,..., N - da =,,..., M, melbatka la-la,,,,,,,, 4 3 + + + 3 da. Sehgga, stesl dar persamaa (3) adalah sepert pada gambar 3. + 4 berkut. + 3 4 + + + 3 + 4 Gambar 3. Stesl dar skema Ruge-Kutta orde 4 utuk persamaa paas. Dar stecl d atas, utuk meghtug + dperluka sebayak 9 la, + yatu sampa dega. Kesulta mucul ketka kta aka meghtug + 4 + 3 + 4 + m 3 + m + 4,, +,, da karea aka melbatka la-la d luar doma m pegamata. utuk megatas kesulta tersebut, la-la d luar doma pegamta dhampr dega cara eksapolas ler. la-la d sebelah kr luar doma pegamata salah satuya dhampr dega megguaka metoda beda mau +, = x x + x+ x ( ) +, utuk =,, da da utuk la-la d sebelah kaa luar doma pegamata dhampr dega megguaka metoda beda mudur x x + = + x x +, utuk = M, M +, da M +. 9
Jad, skema umerk dar masalah paas d atas adalah + = + ( K+ K + K3+ K 4 ), 6 utuk =,,,..., N da =,,..., M terhadap = utuk =,,..., M x x + = ( ) + x+ x, utuk =,,..., N, =,, da =, utuk =,,..., N x x + = ( + ) + x x =, =,,..., N. M, utuk =,,..., N, = M, M +, da M + Sebaga perbadga, gambar 3.3, gambar 3.4 da gambar 3.5 berkut berturut-turut adalah plot solus aaltk da solus umerk pada saat t =., t = da t = 5 dega Δ x =. da Δ t =.. Gambar 3.3 Plot temperatur d setap ttk pada saat t =.
Gambar 3.4 Plot temperatur d setap ttk pada saat t = Gambar 3.5 Plot temperatur d setap ttk pada saat t = 5
abel 3. berkut merupaka perbadga atara solus umerk dega solus aaltk pada saat t =., t = da t =5. x t =. t = t = 5 umerk aaltk umerk aaltk Numerk aaltk..33.3.99.93.9856.9856..645.69.58643.58658.97.973.3..974.88.8833.9569.9569.4.44.39.775.778 3.946 3.946.5.96.88.4763.4767 4.983 4.984.6.58.49.778.7785 5.94 5.94.7.335.33.83.838 6.9 6.9.8.43.46.395.393 7.886 7.886.9.549.53.765.77 8.87 8.873.697.676 3.57 3.65 9.8584 9.8585.6449.6334 6.633 6.6348 9.73 9.73 3.46943.4656.385.387 9.69 9.63 4.79.6998 7.793 7.797 39.564 39.565 5.45.49 6.7 6.76 49.54 49.54 6 4.5463 4.55 37.7 37.75 59.564 59.565 7 3.348 3.36 5.4 5.9 69.69 69.63 8 3.78 3.73 65.463 65.466 79.73 79.73 9 6.688 6.78 8.3 8.34 89.858 89.859 abel 3. Perbadga solus umerk dega solus aaltk pada saat t =.,, da 5. Dar plot da tabel solus d atas, dapat kta lhat, solus aaltk dar persamaa paas dmes satu dapat dhampr oleh solus umerk dega megguaka metode Ruge-Kutta orde 4. Semak besar la t, kurva solus aaltk da solus umerk aka semak medekat kurva ler = x x yag merupaka solus steady state. Berdasarka pada pembahasa d atas, pada bab selautya, kta aka megguaka metode Rugge-Kutta orde 4 utuk mecar solus umerk dar suatu tem persamaa dferesal parsal ler yag merupaka model dar masalah alra fluda yag tergaggu oleh adaya guduka yag berada pada dasar salura.