8. Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di L (a, b) 8.1 Deret Fourier yang Diperumum Jika {ϕ n } 1 adalah basis ortonormal untuk L (a, b) dan f L (a, b), maka f, ϕ n disebut koefisien Fourier yang diperumum dari f terhadap {ϕ n } 1, dan deret f, ϕ n ϕ n disebut deret Fourier yang diperumum dari f terhadap {ϕ n } 1. Pertanyaan kita adalah: apakah himpunan ortonormal pada pembahasan deret Fourier klasik merupakan basis ortonormal, yakni apakah f = n=1 f, ϕ n ϕ n untuk setiap f L ( π, π)? Ingat bahwa kita baru membuktikan ini untuk fungsi di P S(a, b). Teorema. (a) Himpunan {e inx } dan {cos nx} 1 {sin nx} 1 untuk L ( π, π). Bukti. n=1 merupakan basis ortogonal (b) Himpunan {cos nx} 0 dan {sin nx} 1 merupakan basis ortogonal untuk L (0, π). Akan dibuktikan (a) bagian pertama saja, yang berkenaan dengan himpunan {e inx }. Bagian lainnya dapat dibuktikan secara serupa. Misalkan f L ( π, π) dan ϵ > 0. Berdasarkan teorema tentang topologi ruang L (a, b) secara umum, terdapat fungsi f yang kontinu dan mulus bagian demi bagian pada [ π, π] sedemikian sehingga f f < ϵ 3. Misalkan c n = 1 π f, ψ n dan c n = 1 π f, ψ n, dengan ψ n (x) = e inx, n Z, adalah koefisien Fourier dari f dan f, berturut-turut. Menurut teorema kekonvergenan seragam deret Fourier, n= c nψ n konvergen seragam ke f. Akibatnya, jika N cukup besar, maka f < ϵ 3. Selanjutnya, menurut Teorema Pythagoras dan Ketaksamaan Bessel, = N c n c n 34 n= c n c n f f < ( ϵ ). 3
Jadi, jika kita tulis f = (f f) ( N + f ) ( N + dan gunakan Ketaksamaan Segitiga, maka kita peroleh f ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ. ), N Jadi f = lim N c nψ n = n= c nψ n dalam norm, dan ini membuktikan bahwa himpunan fungsi {ψ n } merupakan basis ortonormal untuk L ( π, π). (QED) Sebagai rangkuman, sejauh ini kita telah membahas: jika f periodik, maka deret Fourier dari f akan konvergen ke f (i) secara seragam, mutlak, dan dalam norm, untuk f yang kontinu dan mulus bagian demi bagian pada [a, b]; (ii) secara titik demi titik, untuk f yang mulus bagian demi bagian pada [a, b]; (iii) dalam norm, untuk f L (a, b). 8. Hampiran Terbaik di L (a, b) Teorema berikut menyatakan bahwa deret dengan koefisien Fourier untuk f (terhadap suatu himpunan ortonormal di L (a, b)) merupakan hampiran terbaik untuk f di antara semua uraian deret yang mungkin (terhadap himpunan ortonormal tersebut). Teorema. Misalkan {ϕ n } adalah suatu himpunan fungsi ortonormal, yang terhingga atau terbilang banyaknya, di L (a, b). Maka f f, ϕ n ϕ n f c n ϕ n untuk sembarang pilihan {c n } dengan c n <. Lebih jauh, kesamaan dipenuhi jika dan hanya jika c n = f, ϕ n untuk setiap indeks n. Bukti. Kita tulis f c n ϕ n = (f ) f, ϕ n ϕ n + [ ] f, ϕn c n ϕn. 35
Perhatikan bahwa g := f f, ϕ n ϕ n ϕ m atau g, ϕ m = 0, untuk setiap m. Jadi, g [ f, ϕ n c n ] ϕn, sehingga menurut Teorema Pythagoras, f cn ϕ n = f f, ϕn ϕ n + f, ϕn c n f f, ϕn ϕ n, dan kesamaan dipenuhi jika dan hanya c n = f, ϕ n untuk setiap n. (QED) 8.3 Masalah Sturm-Liouville Reguler Himpunan fungsi ortogonal {cos nx} 0 dan {sin nx} 1 di L (0, π) diperoleh dari masalah nilai batas u (x) + λ u(x) = 0, u (0) = u (π) = 0 dan u (x) + λ u(x) = 0, u(0) = u(π) = 0. Demikian juga himpunan fungsi ortogonal {e inx } di L ( π, π) dapat diperoleh dari masalah nilai batas u (x) + λ u(x) = 0, u( π) = u(π), u ( π) = u (π). Pada bagian ini kita akan melihat bahwa ada (banyak) masalah nilai batas yang berujung pada himpunan fungsi ortogonal du L (a, b). Secara khusus, kita akan membahas masalah Sturm-Liouville reguler, yang berbentuk (rf ) + pf + λwf = 0, dengan syarat batas B 1 (f) = 0 dan B (f) = 0. Di sini r, r dan p bernilai real dan kontinu pada [a, b], r > 0 pada [a, b], dan w > 0 dan kontinu pada [a, b]. Sementara itu, B 1 dan B merupakan fungsional yang self-adjoint. Lebih khusus lagi, kita akan meninjau masalah Sturm-Liouville berikut pada [0, L]: f + λf = 0, f (0) = αf(0), f (L) = βf(l). ( ) Di sini λ merupakan nilai eigen dari operator T, dengan T f = f. Dapat ditunjukkan bahwa nilai eigen dari masalah ini senantiasa bernilai real. 36
Perhatikan jika λ = 0, maka f = 0 memberikan f(x) = c 1 + c x, dan dari syarat batas kita peroleh c = αc 1 dan c = β(c 1 + c L). Akibatnya c 1 = c = 0 atau β = Tentu saja kita tidak menghendaki solusi trivial f = 0, karena itu kita penuhi β = dan ambil c 1 = 1, c = α. α 1+αL. α 1+αL Selanjutnya, kita asumsikan λ 0, katakan λ = ν dengan ν > 0 atau ν = µi, µ > 0 (tergantung apakah λ > 0 atau λ < 0). Solusi umum dari (*) adalah f(x) = c 1 cos νx + c sin νx. Karena f(0) = c 1 dan f (0) = νc, syarat batas di 0 memberikan νc = αc 1. Dalam hal ini, ambil c 1 = ν dan c = α, sehingga f(x) = ν cos νx + α sin νx. [1] Sekarang syarat batas di L akan memberikan ν sin νl + α cos νl = β(ν cos νl + α sin νl) atau (α β)ν cos νl = (αβ + ν ) sin νl atau tan νl = (α β)ν αβ + ν. [a] Jika ν = µi, maka (mengingat tan ix = i tanh x) persamaan [a] menjadi tanh µl = (α β)µ αβ µ. [b] Dalam kedua kasus, kita hanya perlu meninjau nilai ν dan µ positif karena nilai eigen dari operator T adalah ν atau µ. Jika ν memenuhi [a], maka fungsi f yang memenuhi [1] merupakan fungsi eigen untuk masalah (*). Secara umum, f tidak normal, namun kita dapat menormalisasi f bila dikehendaki. 37
Untuk memberikan gambaran fungsi eigen seperti apa yang diperoleh, tinjau kasus α = 1, β = 1, L = π. Dalam hal ini, persamaan [a] menjadi tan νπ = ν ν 1, [c] sementara persamaan [b] menjadi tanh µπ = µ µ + 1. [d] Ada banyak solusi persamaan [c]: 0 < ν 1 < ν < ν 3 < dengan ν n n 1 untuk n besar, namun tidak ada satupun solusi positif persamaan [d]. Jadi, terdapat tak terhingga banyak nilai eigen λ n = ν n untuk (*), dengan λ n (n 1) untuk n besar. Fungsi eigen yang berpadanan dengan λ n adalah f n (x) = ν n cos ν n x + sin ν n x. Dapat diperiksa bahwa himpunan fungsi eigen ini membentuk himpunan ortogonal terhadap hasilkali dalam f, g := π 0 sedang kita bahas pada kesempatan ini. f(x)g(x)w(x) dx, dengan w 1 untuk contoh yang 8.4 Soal Latihan 1. Diketahui f(x) = x, x [0, π]. Tentukan hampiran terbaik (dalam norm) untuk f, di antara fungsi-fungsi yang berbentuk (a) a 0 + a 1 cos x + a cos x. (b) b 1 sin x + b sin x. (c) a cos x + b sin x.. Buktikan bahwa himpunan fungsi eigen {f n } pada 8.3 merupakan himpunan ortogonal. 38