Vol.1 No.1 (16) Hal. 38-45 METODE DEKOMPOSISI LAPLACE UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINIER Siar Ismaya, Yui Yulida *, Na imah Hijriati Program Studi Matematika Fakultas MIPA Uiversitas Lambug Magkurat * email: y_yulida@ulam.ac.id ABSTRAK Persamaa diferesial parsial dikelompokka mejadi dua bagia yaitu persamaa diferesial liier da oliier. Bayak feomea alam yag dimodelka dalam betuk persamaa diferesial parsial oliier, seperti K-dV da persamaa Burger. Utuk dapat mejelaska feomea alam yag berbetuk persamaa diferesial parsial oliier diperluka metode pedekata yag selajutya dapat diaplikasika utuk meetuka solusi persamaa diferesial parsial tersebut. Salah satu metode yag diguaka utuk meetuka peyelesaia persamaa diferesial oliier adalah Metode Dekomposisi Laplace yag meggabugka teori Trasformasi Laplace da Metode Dekomposisi Adomia.Peelitia ii dilaksaaka dega megguaka metode literatur, dega prosedur sebagai berikut : Megkaji tetag Persamaa Diferesial Parsial No-Liier, Metode Dekomposisi Adomia, Trasformasi Laplace da Metode Dekomposisi Laplace; kemudia meetuka peyelesaia persamaa diferesial o-liier dega Metode Dekomposisi Laplace. Hasil dari peelitia ii adalah diperoleh solusi persamaa diferesial parsial oliier Orde satu dega megguaka metode dekomposisi Laplace yaitu u = u dega uu (, tt) = L 1 1 L{gg(, tt)} + 1 h() da uu ss ss +1(, tt) = L 1 1 L{RRRR ss (, tt)} 1 L{AA ss } ; da pada persamaa diferesial parsial oliier orde dua adalah u = u dega uu (, tt) = L 1 1 L{gg(, tt)} + 1 h() + 1 kk() da uu ss ss ss +1(, tt) = L 1 1 L{RRRR ss (, tt)} 1 L{AA ss } ; Kata kuci : Persamaa Diferesial Parsial No-Liier Metode Dekomposisi Laplace 1. PENDAHULUAN Persamaa diferesial adalah persamaa yag di dalamya terdapat turua terhadap satu atau lebih variabel bebas. Jika terdapat variabel bebas yag tuggal, turuaya merupaka turua biasa da persamaaya disebut Persamaa diferesial biasa (ordiary differetial equatio). Jika terdapat dua atau lebih variabel bebas, turuaya adalah turua parsial da persamaaya disebut Persamaa diferesial parsial (partial differetial equatio) [1]. Persamaa diferesial parsial dikelompokka mejadi dua bagia yaitu persamaa diferesial parsial liier da persamaa diferesial parsial oliier. Solusi persamaa diferesial parsial liier dapat ditetuka dega berbagai metode, diataraya trasformasi laplace, metode pemisaha variabel, metode beda higga, metode Euler da metode D Alembert. Di sisi lai, utuk mejelaska feomea alam 38
Vol.1 No.1 (16) Hal. 38-45 yag berbetuk persamaa diferesial parsial oliier, seperti persamaa K-dv da persamaa burger, diperluka solusi eksak sehigga model dari persamaa diferesial parsial oliier dapat diiterpretasika. Namu, karea terdapat bagia oliier maka sulit utuk meetuka solusi eksak dari persamaa ii. Salah satu metode yag diguaka utuk meetuka solusi persamaa diferesial oliier adalah Metode Dekomposisi Laplace yag meggabugka teori Trasformasi Laplace da Metode Dekomposisi Adomia.. TINJAUAN PUSTAKA Secara umum persamaa diferesial parsial liier orde satu yag memiliki variabel tak bebas uu = ff(, yy) da variabel bebas da yy berbetuk [6]: AA(, yy) + BB(, yy) = CC(, yy) (1) Betuk umum persamaa diferesial parsial liier orde dua dega dua peubah bebas adalah u u u u u Ay (, ) + By (, ) + C( y, ) + Dy (, ) + E( y, ) + Fyu (, ) = Gy (, ) y y y () Jika persamaa diferesial orde satu da dua dega peubah bebas da y tidak dapat diyataka dalam kedua persamaa diatas maka berturut-turut disebut persamaa diferesial parsial oliier orde satu da dua [5] Berikut diberika defiisi trasformasi Laplace utuk fugsi dua peubah dalam peubah da t : Defiisi 1 [7] Diberika fugsi dua peubah u(,t) dimaa t adalah peubah waktu. Misalka U(,s) adalah trasformasi Laplace dari u(,t) terhadap t, maka trasformasi laplace dari fugsi dua peubah u(,t) yag diyataka oleh L{uu(, tt)} didefiisika sebagai berikut: UU(, ss) = L{uu(, tt)} = ee ssss uu(, tt) dddd, ss >. (3) Berikut disajika sifat trasformasi Laplace dari turua parsial: Sifat [4] Diberika fugsi u(, tt). Jika L{uu(, tt)} = UU(, ss) maka (i) L (,tt) (,ss) = (ii) L uu(,tt) = UU(,ss) (iii) L (,tt) = ssss(, ss) uu(, ) (iv) L uu(,tt) = ss UU(, ss) ssss(, ) uu tt tt (, ) (4) Defiisi 1 [8] Ivers trasformasi Laplace utuk fugsi dua peubah (peubah da t) disajika dalam defiisi berikut: Misalka trasformasi Laplace dari fugsi uu(, tt) adalah UU(, ss), { u( t, )} = U( s, ), fugsi uu(, tt) disebut ivers trasformasi Laplace dari U(,s), yaitu: 39
Siar Ismaya, Yui Yulida *, Na imah Hijriati Metode Dekomposisi Laplace utuk Meetuka Solusi Persamaa Diferesial Parsial Noliier uu(, tt) = L 1 {UU(, ss)} Berikut disajika metode dekomposisi Adomia utuk Persamaa diferesial parsial oliier orde satu da dua : Persamaa diferesial parsial oliier orde satu dituliska dalam betuk operator: LL tt uu(, tt) + RRRR(, tt) + NNNN(, tt) = gg(, tt) (5) dega ilai awal uu(, tt) tt= = uu(, ) da persamaa diferesial parsial oliier orde dua dituliska dalam betuk operator: Lu t, + Ru t, + Nu t, = g t, (6) tt ( ) ( ) ( ) ( ) dega ilai awal uu(, tt) tt= = uu(, ) (,tt) tt= = uu tt (, ) dega LL tttt =, LL tt tt =, R merupaka jumlaha operator sisa dari LL tt, da NN adalah bagia oliierya. Metode Dekomposisi Adomia megasumsika bahwa fugsi uu(, tt) adalah fugsi kotiu da dapat didiferesialka sehigga dapat dituliska dalam betuk deret tak higga : yaitu: ut (,) = u (,) t Selajutya, bagia oliierya dituliska dalam betuk deret tak higga, Nu(,) t = A dega A adalah poliomial Adomia dari uu, uu 1,, uu, yaitu: 1 d A(,) t = N u(,) t λ! dλ (7) λ= Jika = maka berdasarka persamaa poliomial adomiaya adalah fugsi semula oliierya, yaitu: A(,) t = Nu ( (,)) t (8) Jika = 1,,3,... maka poliomial adomiaya adalah persamaa (7) 3. METODE Metode yag diguaka bersifat studi literature. Prosedur peelitia dimulai dega megumpulka da megkaji materi tetag Persamaa Diferesial Parsial Noliier, Metode Dekomposisi Adomia, Trasformasi Laplace da Metode Dekomposisi Laplace; meetuka peyelesaia persamaa diferesial oliier dega Metode Dekomposisi Laplace, serta peerapa dalam beberapa cotoh. 4. PEMBAHASAN 4.1 Metode Dekomposisi Laplace utuk PDP Noliier Orde Satu Lagkah 1 Persamaa diferesial pada persamaa (5) kedua ruasya dikeaka trasformasi Laplace, yaitu: L{uu(, tt)} = 1 [L{gg(, tt)} + h() L{RRRR(, tt)} L{NNNN(, tt)}] (9) ss 4
Vol.1 No.1 (16) Hal. 38-45 Lagkah Meetuka relasi rekursif dega meerapka metode dekomposisi Adomia pada persamaa (9), diperoleh: 1 1 { u ( t, )} = { g( t, )} + h ( ) s s (1) 1 1 A u 1 ( t, ) = A Ru t, A A ; + (11) { } { ( )} { } s s Lagkah 3 Megguaka ivers trasformasi Laplace utuk meetuka solusi. Aplikasika ivers trasformasi laplace pada kedua ruas (1) da (11): Sehigga aka meghasilka: uu (, tt) = L 1 1 ss L{gg(, tt)} + 1 ss h() da uu +1 (, tt) = L 1 1 ss L{RRRR (, tt)} 1 ss L{AA } ; 4. Metode Dekomposisi Laplace utuk PDP No Liier Orde Dua Lagkah 1 Persamaa diferesial parsial oliier orde dua pada persamaa (6) kedua ruasya dikeaka trasformasi Laplace. 1 { u( t, )} = { g( t, )} sh ( ) k( ) { Ru( t, )} { Nu( t, )} s + + (1) Lagkah Meetuka relasi rekursif dega meerapka metode dekomposisi pada persamaa (1), diperoleh: L{uu (, tt)} = 1 L{gg(, tt)} + 1 h() + 1 kk() (13) ss ss ss L{uu +1 (, tt)} = 1 L{RRRR ss (, tt)} 1 L{AA ss } ; (14) Lagkah 3 Megguaka ivers trasformasi Laplace utuk meetuka solusi. Aplikasika ivers trasformasi laplace pada kedua ruas persamaa (13) da (14): uu (, tt) = L 1 1 ss L{gg(, tt)} + 1 ss h() + 1 ss kk() da uu +1 (, tt) = L 1 1 L{RRRR ss (, tt)} 1 L{AA ss } ; Solusi persamaa diferesial parsial oliier orde satu da dua yaitu: u = u + u1 + u + u3 +... u = u 3.3 Peerapa Metode Dekomposisi Laplace Diberika persamaa diferesial parsial orde dua sebagai berikut: ut (,) ut (,) ut (,) = u t dega ilai awal: 41
Siar Ismaya, Yui Yulida *, Na imah Hijriati Metode Dekomposisi Laplace utuk Meetuka Solusi Persamaa Diferesial Parsial Noliier u (,) = 1 Persamaa diatas aka diubah ke dalam betuk operator, yaitu: LL tt uu(, tt) = RRRR(, tt) NNNN(, tt) (15) dimaa u( t,) Lu t (, t) = t ut (,) Ru(,) t = ut (,) Nu(,) t = u = u ( u) Berikut lagkah-lagkah dalam meetuka solusi persama diferesia parsial orde dua tersebut: Lagkah 1 Laplaceka kedua ruas persamaa (15): 1 ut (,) { ut (,)} = 1 + { u( u) } s Lagkah Meerapka metode dekomposisi pada persamaa, Adomia megasumsika peyelesaia dalam betuk persamaa persamaa, yaitu: ut (,) = u (,) t da utuk suku oliier pada persamaa aka diuraika mejadi: ( ) u u = A utuk =, poliomial adomia yag diguaka adalah persaamaa (8),sedagka utuk = 1,,3 poliomial adomia yag diguaka adalah persaamaa (7) Selajutya u t, + u t, + u t, + u t, +... { ( )} ( ) { } { ( )} { ( )} 1 3 1 u(,) t = 1 + A A{ A } s 1 1 u (,) t 1 u1(,) t 1 u(,) t 1 + A... + A + A + s s s s = 1 1 1 A{ A} A{ A1} A { A}... s s s Persamaa diatas adalah betuk deret rekursif yag dapat disajika dalam : 1 { u ( t, )} = 1 s (16) 4
Vol.1 No.1 (16) Hal. 38-45 1 u (,) t A{ u+ 1 ( t, )} = A A{ A } (17) s Lagkah 3 Aplikasika ivers trasformasi laplace pada kedua ruas persamaa (16) da (17): 1 1 u (,t) = 1 s 1 1 u (,) t u + 1 (, t) = A A A { A } ; s Selajutya, meetuka ilai u, u1,... u t (i). Nilai ( ), (ii). Nilai u( t ) 1, u 1 1, = 1 1 1 s = = s 1 1 ( t) aka dicari A terlebih dahulu, yaitu: 4 A = u( u) = 1 = 3 Selajutya substitusika A ke u 1, diperoleh: 1 1 u (,) t u1 ( t, ) = A { A } s A A 1 1 4 4 = 3 3 s t = u t (iii). Nilai ( ), aka dicari A 1 terlebih dahulu, yaitu: A = u u + u u ( ) ( ) 1 1 1 t 4t = 1 + 3 4t 1t = 3 4 Selajutya substitusika A 1 ke u, diperoleh: 1 1 u1 (,) t u ( t, ) = A { A1 } s A A 1 1 1t 4t 1t = 4 { 1} 3 4 { 1} s + 43
Siar Ismaya, Yui Yulida *, Na imah Hijriati Metode Dekomposisi Laplace utuk Meetuka Solusi Persamaa Diferesial Parsial Noliier 4t = 3 t = 3 1 s 1 3 Solusi dari persamaa diferesial parsial orde dua diatas adalah: ut (, ) = u( t, ) = u + u + u + u +... 1 3 3 t t t ut (, ) = 1... 3 4 3 4 t t t t = 1 1 + + + + +... 3 4 t = 1 = 1 t Berikut adalah gambar grafik tiga dimesi utuk solusi yag diperoleh dari cotoh megguaka program Maple 11: 5. KESIMPULAN Gambar 1. Solusi u( t), = 1 t Berdasarka hasil yag diperoleh terdapat tiga lagkah dalam meetuka solusi persamaa diferesial parsial oliier orde satu da dua. Solusi persamaa diferesial parsial oliier orde satu, yaitu: u = u dega uu (, tt) = L 1 1 L{gg(, tt)} + 1 ss ss h() da uu +1 (, tt) = L 1 1 L{RRRR ss (, tt)} 1 L{AA ss } ; da solusi persamaa diferesial parsial oliier orde dua, yaitu: 44
Vol.1 No.1 (16) Hal. 38-45 u = u dega uu (, tt) = L 1 1 L{gg(, tt)} + 1 h() + 1 ss ss ss uu +1 (, tt) = L 1 1 ss L{RRRR (, tt)} 1 ss L{AA } ; kk() da 6. DAFTAR PUSTAKA [1]. Ayres, F. Jr. 1999. Persamaa Diferesial. Erlagga. Jakarta. []. Abassy, Tamer A. 1. New treatmet of adomia decompositio method with compactio equatios. Studies i Noliear Scieces 1 (): 41-49. [3]. Kha, Majid ad M.Hussai. 1. Modified laplace decompositio method. Applied Mathematical Scieces, Vol. 4, 1, o. 36, 1769-1783. [4]. Powers, David L. 1987. Boudary Value Problems Third Editio. Elsevier Ic. Uited States of America. [5]. Ross, S. L. 1984. Differetial Equatios. Third Editio. Joh Wiley & Sos. New York. [6]. Johsho, Robi. 1. The Notebook Series : First Order Partial Diferetial Equatio. School of Mathematics & StatisticsUiversity of Newcastle upo Tye. [7]. Schiff, L. Joel. 1999. The Laplace Trasformatio Aplicatio ad Theory. Spriger-Verlag New York Ic. [8]. Yovaovich, M.M. -------. Laplace Trasform. 45