Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri berdasarkan definisi turunan fungsi.. Dapat menentukan turunan trigonometri berdasarkan rumus turunan fungsi dasarnya. 3. Memahami turunan fungsi komposisi pada turunan trigonometri. 4. Dapat menyelesaikan persoalan yang melibatkan turunan trigonometri. A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Masih ingatkah kamu dengan fungsi trigonometri? Fungsi trigonometri adalah fungsi yang memuat perbandingan trigonometri, yaitu sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, atau kotangen. Namun, perlu diingat bahwa perbandingan trigonometri tersebut bukan berupa pangkat (eksponen). Agar kamu semakin memahami ciri-ciri fungsi trigonometri, perhatikan tabel berikut ini. Tabel Contoh Fungsi Trigonometri Contoh Fungsi Fungsi Trigonometri Bukan Fungsi Trigonometri cos+ sin + + 3 sin tan t 3 + 4t + 6sin π sin cot ( cos5) 3 sint+ t + cost t sint + t+
Setelah kamu dapat membedakan antara fungsi trigonometri dan bukan fungsi trigonometri, mari pelajari turunan dari fungsi dasarnya. Untuk menentukan turunan dari fungsi dasar trigonometri, misalnya f () sin, rumus-rumus yang digunakan adalah sebagai berikut.. Definisi turunan yang berkaitan dengan limit fungsi f + h f y f ( ) lim h 0 h. Rumus selisih sinus sin A sin B cos ( A+ B) sin A B 3. Rumus limit trigonometri lim sin a a 0 b b 4. Teorema limit lim f g lim f lim g c c c Oleh karena f () sin, maka f ( + h) sin ( + h). Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh: f + h f f lim h 0 h h lim sin ( + ) sin h 0 h cos ( + h+ ) sin + h lim h 0 h cos + h h sin lim h 0 h sin h lim cos + h h h lim 0 0 h cos cos Jadi, f sin f cos. Dengan cara yang sama, turunan dari fungsi f() cos dapat ditentukan dengan mengganti penggunaan rumus selisih sinus dengan selisih kosinus berikut.
cos A cos B sin ( A+ B) sin A B Dengan demikian, rumus turunan sinus dan kosinus adalah sebagai berikut. Tabel Turunan Fungsi Trigonometri dan Notasi Leibniz Fungsi Trigonometri Turunan Notasi Leibniz f () sin f ' () cos f () cos f ' () sin cos d f d sin d f d SUPER, Solusi Quipper Cara mengingat turunan sinus dan kosinus dengan mudah adalah sebagai berikut. cos sin sin cos Turunannya adalah Catatan: arah panah menunjukkan hasil turunannya. Turunan fungsi f () sin dan f () cos merupakan dasar untuk menentukan turunan fungsi trigonometri dasar lainnya. Untuk menentukan turunan fungsi trigonometri, juga digunakan rumus-rumus turunan fungsi aljabar berikut. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar. f () k f ' () 0. f () f ' () 3. f () a n f ' () na n 4. f () k u() f ' () k u'() 5. f () u() ± v () f ' () u'() ± v' () 3
Contoh Soal Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut ini. a. f () 4 sin b. f () 3 + 5 cos c. f () 8 cos + 3 sin 6 Berdasarkan rumus turunan sinus dan kosinus, diperoleh: a. f () 4 sin f ' () 4 cos b. f () 3 + 5 cos f ' () 3 + 5( sin ) 3 5 sin c. f () 8 cos + 3 sin 6 f ' () 6 ( sin ) + 3 cos f ' () 6 + sin + 3 cos Contoh Soal π Diketahui f () sin dan g 3cos, 0. Tentukan nilai yang memenuhi -f '() g' (). Oleh karena - f ' () g' (), maka: f g cos 3 sin sin 3 cos tan 3 3 π (memenuhi) 6 Jadi, nilai yang memenuhi -f ' () g' () adalah π 6. Contoh Soal 3 Diketahui f() cos dan g() f ' () + f " (), dengan f () dan f () berturut-turut adalah turunan pertama dan kedua dari f(). Jika g () adalah turunan pertama dari g(), tentukan nilai yang memenuhi g () 0 dengan 0 π. 4
Mula-mula, tentukan f (), f (), dan g (). f cos f ( sin ) + sin f" 0 + cos cos + + + g f f" sin cos g cos sin Selanjutnya, tentukan nilai yang memenuhi g () 0. g 0 cos sin 0 cos sin sin cos tan Dengan menggunakan persamaan trigonometri untuk tangen, diperoleh: tan π tan tan 4 π + k π dengan k 0,,,... 4 π k 0 (memenuhi) 4 π 5π k + π (memenuhi) 4 4 Jadi, nilai yang memenuhi g' () 0 adalah π 5 dan π. 4 4 B. Rumus Turunan Fungsi Dasar Trigonometri Lainnya Sifat-sifat turunan fungsi aljabar juga berlaku pada turunan trigonometri. Agar kamu mengingatnya kembali, perhatikan sifat-sifat berikut ini. Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar +. f u v f u v u v u. f u v u v f v v dengan f, u, v adalah fungsi dalam variabel. 5
Turunan dari bentuk f ( u ) v dapat digunakan untuk menentukan turunan dari fungsi trigonometri tangen (tan), sekan (sec), kosekan (cosec), dan kotangen (cotan). Sementara itu, rumus-rumus yang sering digunakan dalam mengerjakan persoalan turunan trigonometri adalah sebagai berikut.. Identitas perbandingan sin n tan ( n) cos n. Identitas Pythagoras sin ( n )+ cos ( n ) tan ( n )+ sec ( n ) cotan ( n )+ cosec n 3. Sinus sudut rangkap cos n atau cotan ( n) sin n n n sin ( n ) sin cos 4. Kosinus sudut rangkap n cos( n ) sin n cos n n cos sin Contoh Soal 4 Jika f () tan, tentukan f '(). Dengan menggunakan identitas perbandingan, diperoleh: sin f tan. cos 6
Misalkan: u sin u cos v cos v sin ( ) u v u v f v cos cos sin sin cos cos + sin cos cos cos sec Jadi, f tan f sec. Dengan cara yang sama, diperoleh f cot Contoh Soal 5 cos sin f cosec. Jika f () sec, tentukan f '(). Dengan menggunakan identitas kebalikan, diperoleh: f sec. cos Misalkan: u u 0 v cos v sin 7
u v u v f v 0 cos sin cos si n cos sin cos cos sec tan Jadi, f sec f sec tan. Dengan cara yang sama, diperoleh f cosec sin Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh kesimpulan berikut. f cosec cot. Tabel Turunan dan Notasi Leibniz Fungsi Trigonometri Fungsi Trigonometri Turunan Notasi Leibniz f () tan f () cotan f () sec f () cosec f ' () sec f ' () cosec f ' () sec tan f ' () cosec cotan d f d d f d sec cosec d ( f ) sec tan d d( f ) cosec cotan d 8
SUPER, Solusi Quipper Cara mudah mengingat turunan tangen, kotangen, sekan, dan kosekan adalah dengan menggunakan isyarat yang sering dipakai untuk meminta orang lain diam, yaitu sst. sst sec cosec sec cosec tan Catatan: Arah panah menunjukkan hasil turunannya. Jika diawali dengan huruf c, maka hasil turunannya negatif. Contoh: f () sec f '() sec. tan f () cotan f '() cosec. cosec cosec cotan Contoh Soal 6 Jika f () sin tan, tentukan f '(). Fungsi f () memuat perkalian fungsi, sehingga sifat yang digunakan adalah sebagai berikut. + f u v f u v u v Misalkan: u sin u cos v tan v sec + f u v u v cos( tan )+ sin( sec ) sin cos cos sin+ sin sec sin + sec + sin sec ( ) Jadi, f sin + sec. 9
Contoh Soal 7 tan Tentukan turunan pertama dari fungsi f. sec Mula-mula, modifikasi dahulu bentuk fungsinya. tan f sec tan sec sec sin cos cos cos sin cos f cos ( sin ) cos + sin Jadi, f cos + sin. C. Turunan Fungsi Komposisi Prinsip utama turunan fungsi komposisi pada turunan aljabar juga berlaku pada turunan trigonometri, yaitu sebagai berikut. ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) y f g f g y f g g y f g h f g h y f g h g h h Turunan fungsi komposisi juga dapat ditentukan dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut. dy d dy du dv du dv d dengan y, u, v adalah fungsi dalam variabel. Dari turunan fungsi komposisi, diperoleh pengembangan rumus turunan fungsi komposisi trigonometri, yaitu sebagai berikut.. f sin ( a + b) f acos ( a + b). f cos ( a + b) f asin ( a + b) 3. n n f k sin ( a+ b) f k na sin ( a+ b) cos( a+ b) 4. n n f k cos ( a+ b) f k na cos ( a+ b) sin( a + b) dengan a, b, k, n bilangan real. 0
Contoh Soal 8 Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut. a. f sin( + 9 ) π b. f cos 3 a. Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, gunakan rumus berikut. f sin ( a + b) f acos ( a + b) f cos ( + 9) Jadi, turunan pertama dari f () sin ( + 9) adalah f ' () cos ( + 9). b. Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, gunakan rumus berikut. n n f k cos ( a+ b) f k na cos ( a+ b) sin ( a + b) π f ( ) cos sin 3 3 π 3 π π Gunakan rumus cos sin dan sin cos A A A A 3 si n3 cos 3 n n Gunakan rumus sin n sin cos dengan n 3 6 sin6 π Jadi, turunan pertama dari f cos 3 adalah f ' () 6sin 6. Contoh Soal 9 Tentukan turunan pertama dari f 6 sin. f 6 sin 6 sin Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, gunakan rumus berikut. n n f k.sin ( a+ b) f kna..sin ( a+ b).cos ( a + b)
f sin cos 6 n+ m n m ( Gunakan sifat eksponen a a a ) 3 sin sin cos Gunakan sin ( n ) sin n n cos sin 3 sin sin Jadi, turunan pertamanya adalah f. 3 sin Contoh Soal 0 Turunan pertama dari f sin 3 ( 5 + 8 ) adalah... (UN 06) A. f '() 3 sin (5 + 8) cos (5 + 8) B. f '() 5 sin (5 + 8) cos (5 + 8) C. f '() 5 cos 3 (5 + 8) sin (5 + 8) D. f '() 5 cos 3 (5 + 8) cos (5 + 8) E. f '() 3 cos 3 (5 + 8) cos (5 + 8) Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, gunakan rumus berikut. n n f k sin ( a+ b) f k na sin ( a+ b) cos( a + b) f 35 sin ( 5+ 8) cos 5+ 8 5sin ( 5+ 8) cos( 5+ 8) Jadi, turunan pertamanya adalah f 5sin ( 5+ 8) cos( 5+ 8). Jawaban: B
Contoh Soal Tentukan turunan pertama dari y tan 4 7 +. y tan 4 7 + g ( ) 4 7 + 7 + 4 +. dapat dinyatakan sebagai komposisi dari f() tan dan Ini berarti, y tan 4 7 dapat dinyatakan sebagai fungsi y f (g()). + Turunan dari f() tan adalah f ' () sec, sehingga f '(g()) sec (g()). Turunan dari g 7 + 4 dapat ditentukan dengan SUPER "Solusi Quipper" (pada + turunan aljabar), yaitu sebagai berikut. a + b ad bc g g c + d c + d g 7 () 4 ( ) 5 + + dengan a 7, b 4, c, dan d. Dengan menggunakan rumus turunan fungsi komposisi, diperoleh: ( ) y f g. g sec g 5 ( + ) 5 4 7.sec ( + ) + Jadi, turunan pertamanya adalah y 5 + sec D. Nilai Turunan suatu Fungsi di p 4 7. + Jika y f () memiliki turunan di p, nilai turunan pertamanya adalah f ' (p). 3
Contoh Soal π Jika f 3cos 0, tentukan nilai dari f '(0). 6 Dengan menggunakan rumus f cos ( a + b) f asin ( a + b), diperoleh: f 30 sin 0 π 6 f 0 3 0 sin 0 0 f ( 0) 3( 0) sin π 6 Gunakan sin( ) sin π f ( 0) 30si n 6 f ( 0) 30 5 Jadi, nilai dari f ' (0) 5. π 6 Contoh Soal 3 Diketahui f () g () sin h (), dengan g (), g' () -3, h () 0, dan h' (). Tentukan nilai dari f' (). Fungsi f () memuat perkalian fungsi, sehingga sifat yang digunakan adalah sebagai berikut. f u v f u v+ u v Misalkan: u g u g v sin h v h cos h + f u v u v f g sin h+ g h cos h f g sin h+ g h cos h f 3 sin0 cos 0 4
f ( ) ( 3) sin0+ ( ) cos 0 f ( 3)( 0)+ ( )() f Jadi, nilai dari f ' (). Contoh Soal 4 4 Diketahui g ( + cos) ( + sin ) dan g'() adalah turunan pertama dari g(). Tentukan nilai dari g' ( π ). Fungsi g() memuat perkalian fungsi, sehingga sifat yang digunakan adalah sebagai berikut. + g u. v g u. v u. v Misalkan u ( + cos) dan v + sin u( π) ( + cosπ) ( + ) 4 4 4 v ( π) ( + sinπ) ( + 0) 4 Selanjutnya, tentukan nilai u'(π) dan v'(π) u ( + cos ) ( sin ) u ( π) ( + cosπ) ( sinπ) ( + ) 0 0 3 v 4 ( + sin ) cos 3 3 ( + ) () v ( π) 4 + sinπ cosπ 4 0 4 + g u v u v + g ( π) 0()+ 4( 4) g π u π v π u π v π g ( π) 6 Jadi, nilai dari g' (π) 6.. 5
Contoh Soal 5 π π Jika g() a tan b, g, g 6 4 dan 3, tentukan nilai dari a + b. Mula-mula, tentukan g' (). a g a sec b b cos Selanjutnya, tentukan nilai a dan b dengan cara eliminasi-substitusi. π g 4 a b π cos 4 a b a b... (i) π g 6 3 a b 6 π cos 3 a b 6 4a b 6... (ii) Dengan mengeliminasi persamaan (i) dan (ii), diperoleh: a b 4a b 6 _ a 4 a Dengan mensubstitusikan a ke persamaan (i), diperoleh: () b b Jadi, nilai dari a + b + 4. 6