LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-25

LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-25 Babak Penyisihan Tingkat SMA Minggu, 9 November 20 HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O. BOX BLS 2 YOGYAKARTA 5528 lmnas@ugm.ac.id http://lmnas.fmipa.ugm.ac.id

LM UGM ke-25 Babak Penyisihan 9 November 20 PERATURAN BABAK PENYISIHAN LOMBA MATEMATIKA UGM KE-25. Peserta wajib mengenakan seragam sekolah dan bersepatu. 2. Membawa Kartu Pelajar atau Surat Keterangan Siswa Sekolah yang dilampiri pasfoto berukuran 3. 3. Setiap peserta diwajibkan membawa Kartu Tanda Peserta LMNas 25 yang dapat diunduh dari web.. Peserta tidak boleh diwakilkan atau digantikan. 5. Peserta yang datang terlambat diperbolehkan masuk dan mengerjakan soal dengan waktu yang tersisa (tidak ada tambahan waktu). 6. Tulislah semua identitas diri Anda pada lembar jawaban pilihan ganda dan lembar jawaban isian singkat. 7. Sebelum mengerjakan soal, periksalah kelengkapan naskah soal. 8. Bacalah dan kerjakan soal dengan cermat. Untuk soal pilihan ganda, pilih salah satu jawaban yang Anda anggap benar dengan menghitamkan bulatan huruf jawaban tersebut. Untuk soal isian singkat, cukup tuliskan jawaban akhir pada kotak yang tersedia. 9. Untuk soal pilihan ganda, jawaban benar bernilai +, salah bernilai -, kosong bernilai 0 0. Untuk soal isian singkat, jawaban benar bernilai +8, sedangkan salah atau kosong bernilai 0.. Apabila terdapat nilai yang sama maka yang diperhatikan pertama kali adalah jumlah benar pada isian singkat, kemudian jumlah benar pada pilihan ganda. 2. Tidak diperkenankan menggunakan kalkulator, HP, tabel matematika atau alat bantu hitung lainnya selama pengerjaan soal. 3. Selama waktu pengerjaan soal HP, tablet, PDA atau alat elektronik lainnya harus dinonaktifkan.. Dilarang pinjam-meminjam alat tulis, bekerja sama, memberikan jawaban, atau melihat jawaban peserta lain selama lomba berlangsung. 5. Peserta tidak diperkenankan meninggalkan ruang lomba selama pengerjaan soal tanpa seizin pengawas ruang. 6. Jika peserta melakukan pelanggaran, maka pengawas ruang akan memberi peringatan. Jika pelanggaran dilakukan lebih dari 2 (dua) kali, maka peserta akan didiskualifikasi. 7. Waktu pengerjaan soal adalah 20 menit. Untuk soal yang tidak ada ralat selama lomba berlangsung, maka soal harus dikerjakan apa adanya. 8. Sertifikat peserta hanya diberikan kepada peserta yang datang dan mengikuti babak penyisihan LMNAS 25 9. Keputusan dewan juri tidak dapat diganggu gugat. 20. Untuk peraturan lainnya yang belum jelas dapat ditanyakan kepada panitia pengawas. Halaman 2 dari 7

LM UGM ke-25 Babak Penyisihan 9 November 20 Pilihan Ganda. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan ( + tan )( + tan 2 )... ( + tan 5 ) = 2 n A. 2 B. 22 C. 23 D. 2 E. 25 2. Tentukan banyaknya solusi bulat sistem persamaan + y + z = 6 2 + y 2 + z 2 = 2 3 + y 3 + z 3 = 2 A. 0 B. C. 2 D. 5 E. 25 3. Diberikan dua barisan aritmatika,, 7,... dan 2, 7, 2,.... Jika S merupakan himpunan yang terdiri dari gabungan 20 suku pertama kedua barisan tersebut, tentukan banyaknya anggota himpunan S. A. 3625 B. 3875 C. 0 D. 05 E. 028. Titik M terletak di kuadran II pada garis + y = 0. Titik N terletak pada garis 3 y = 0 sehingga garis MN tegak lurus garis 3 y + 20 = 0. Jika panjang MN adalah 6 0, maka tentukan hasil dari penjumlahan absis titik M dengan ordinat titik N. A. - B. -6 C. -2 D. E. 7 5. Tentukan jumlah kuadrat dari semua bilangan asli k dengan k 2 sehingga bilangan k2 9k + 99 merupakan bilangan bulat. A. 250 B. 252 C. 500 D. 50 E. 505 6. Sebuah tas berisi 50 bola merah, 50 bola kuning, 50 bola hijau, 50 bola biru, dan 50 bola ungu dengan ukuran yang sama. Tentukan berapa minimal bola yang harus diambil agar bola-bola tersebut dapat dibagi ke dalam 5 kelompok sehingga setiap kelompoknya terdiri dari 5 bola yang berwarna sama. A. 50 B. 8 C. D. E. 0 7. Diketahui f() = + 3 + 2 + +. Tentukan sisa pembagian f ) oleh f(). A. 0 B. C. D. 5 E. + 8. Diketahui ABC dengan AB = 9, BC = 0, dan AC = 7. Titik B merupakan pencerminan titik B atas sisi AC. Misalkan titik pusat segitiga ABC adalah G dan titik pusat segitiga AB C adalah G. Tentukan panjang GG. A. B. 2 C. 8 D. 20 E. 9 5 7 7 7 5 9. Jika P () adalah polinomial berderajat 202 sehingga P (k) = untuk k =, 2, 3,..., 203, maka k carilah nilai P (20). A. 007 B. 202 C. 203 D. 2 203 E. 20 Halaman 3 dari 7

LM UGM ke-25 Babak Penyisihan 9 November 20 0. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat tak negatif (a, b, c, d) yang memenuhi A. ( ) 20 B. ( ) 20 5 a + b + c + d < 20 C. ( ) 205 D. ( ) 207. Tentukan banyaknya bilangan 5 digit abcde dengan a < b < c < d < e E. ( ) 208 A. 225 B. 625 C. 375 D. 265 E. 26 2. Tentukan banyaknya bilangan asli n sehingga merupakan bilangan prima. n 3 + 6n 2 + n + A. 0 B. C. 2 D. 3 E. tak berhingga 3. Diberikan persegi panjang ABCD dengan AB = 2 dan BC =. Titik O merupakan titik perpotongan antara garis diagonal BD dengan garis CE, di mana titik E merupakan titik tengah garis AB. Tentukan panjang garis AO. A. 2 7 B. 3 7 C. 3 5 D. 5 7 E. 5. Tentukan nilai dari arctan(tan 65 2 tan 0 ) A. 5 B. 25 C. 30 D. 5 E. 50 5. Diketahui 2 + + = 0. Tentukan nilai dari ( + ) + (2 + 2 ) +... + (20 + 20 ) A. 2 B. C. - D. -2 E. 0 6. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat (m, n) yang memenuhi persamaan 205 3m 3 n 2 = 3mn nm 2 A. 0 B. C. 2 D. 3 E. 7. Diketahui abcd adalah bilangan digit yang mempunyai sifat bersisa 2 jika dibagi 3 dan bersisa 98 jika dibagi 32. Carilah nilai dari a + b + c + d. A. B. 20 C. D. 27 E. 6 8. Jika a adalah konstanta pada ekspansi (2 + 3 )20 8 maka tentukan bilangan bulai terbesar b sehingga 6 b habis membagi a. A. 05 B. 06 C. 07 D. 08 E. 09 Halaman dari 7

LM UGM ke-25 Babak Penyisihan 9 November 20 9. Diketahui barisan bilangan real, 2, 3,... dengan 25 = 202 dan n n+ = ( n) n untuk setiap bilangan asli n. Tentukan nilai dari 20. A. 2 B. C. 20 D. 23 E. 25 20. Diberikan segitiga ABC dengan AB = 5, BC =, dan AC = 3. Jika AD adalah garis tingginya dan garis bagi sudut B memotong AD di titik E, tentukan panjang DE. A. 5 2 B. 7 2 C. 9 2 D. 5 3 E. 7 3 2. Carilah bilangan bulat terbesar sehingga 25 6+ membagi habis 20!. A. 83 B. 80 C. 77 D. 2 E. 250 22. Diberikan segitiga ABC. Titik D dan E masing-masing berada pada AB dan CB sehingga AC = BC, AD = BD, DE =, CED = 90, dan ACB = 20. Tentukan panjang AE. A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 E. 5 23. Jika f() = 3 2 + 3 +, hitunglah nilai dari 20 f() = A. 203 3 B. 20 3 C. 203 3 D. 20 3 E. 205 3 2. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a, b) sehingga adalah bilangan prima. a + b A. 0 B. C. 2 D. 5 E. tak berhingga 25. Hitunglah nilai dari + 2 + 2 2 + + 2 2 + 3 2 +... + + 203 2 + 20 2 A. 203 B. 20 C. 205 D. 203 + 203 E. 20 + 20 20 205 26. Tentukan nilai dari (tan 20 ) 2 (sin 20 ) 2 (tan 20 ) 2 (sin 20 ) 2 A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 3 2 E. 27. Diberikan kubus ABCD.EF GH. Titik-titik P, Q, R, S, T berturut-turut adalah titik tengah AB, BC, EF, F G, CG. Jika AB = 2, tentukan luas segitiga AET yang melalui prisma P QD.RSH A. 3 B. 2 3 2 C. 2 D. 3 2 2 E. 2 28. Diberikan a, b, c, d bilangan bulat positif sehingga log a b = 3 dan log 2 cd = 5. Jika a c = 9, maka b d =... A. 3 B. 3 C. 23 D. 73 E. 93 Halaman 5 dari 7

LM UGM ke-25 Babak Penyisihan 9 November 20 29. Suatu partikel bergerak dari koordinat (0, 0, 0) menuju (5,, 3). Dalam satu detik, partikel hanya dapat bergerak sejauh satuan searah sumbu X, sumbu Y, atau sumbu Z saja. Jika partikel tidak bergerak melewati (2, 2, 2), maka tentukan banyaknya jalur yang dapat ditempuh partikel tersebut dengan waktu tempuh paling singkat. A. 22230 B. 22320 C. 23220 D. 32220 E. 22330 30. Titik D, E, F berada pada lingkaran O sehingga garis singgung lingkaran O untuk titik D berpotongan dengan ruas garis EF di titik P. Diberikan P D = 8, P F =, dan F P D = 60. Tentukan luas lingkaran O. A. π B. 20π C. 2π D. 25π E. 8π 3. Hitunglah nilai dari 5 0 3 + 20 9 0 27 + 80 8 +... A. 5 B. C. 3 D. 2 E. 32. Lima pasang suami istri dan 5 orang dewasa lainnya duduk pada 5 kursi berderet di suatu bioskop. Jika kelima pasang suami istri tersebut harus duduk bersebelahan dengan pasangannya, maka tentukan banyaknya susunan duduk yang mungkin. A. 0! B. 5! C. 2 5.0! D. 2 5.5! E. 2.5! 33. Tentukan banyaknya solusi pasangan bilangan bulat (c, d) dari persamaan c 2 (d ) + d 2 (c ) = A. 0 B. C. 2 D. 3 E. 3. Tentukan berapa banyak persegi dan persegi panjang yang terdapat pada papan catur berukuran 8 8. A. 6 B. 20 C. 26 D. 20 E. 296 35. Diketahui ABC siku-siku di A. Sisi miring BC dibagi menjadi tiga bagian oleh titik M dan N sehingga BM = MN = CN. Jika AM = dan AN = y, maka tentukan panjang MN. A. B. C. D. E. 5 5 2 2 25 36. Berapa banyak cara membuat susunan melingkar 7 jenis botol berbeda dan 7 gelas berbeda dengan botol dan gelas berselang-seling? A. 6!6! B. 7!7! C. 6!7! D.! 7 E.! 7!7! 37. Diberikan P QR dengan P Q : P R : QR = 2 : 2 : 3. Garis P S merupakan perpanjangan garis P Q sehingga P Q : P S = 2 :. Jika O adalah titik perpotongan antara garis P R dan ST, dengan T titik tengah QR, maka tentukan P O : RO. A. 3 : 2 B. 2 : C. : 3 D. 2 : 3 E. : 38. Berapa banyak nomor 7 digit yang terdiri dari angka-angka, 2, 3, 3,,, 5 dengan angka 3 tidak bersebelahan dengan angka 3? A. 900 B. 260 C. 360 D. 680 E. 320 39. Pada ABC diketahui BAC = θ dan panjang BC = 0. Jika sin θ =, tentukan keliling lingkaran luar ABC. A. 0π B. 20π C. 25π D. 0π E. 50π Halaman 6 dari 7

LM UGM ke-25 Babak Penyisihan 9 November 20 0. Diberikan barisan bilangan, 2, 3,..., 0. Dari barisan bilangan tersebut akan dibentuk barisan baru dengan cara mengatur ualang posisi angka-angkanya. Tentukan banyaknya barisan baru yang dapat dibuat dengan syarat tidak ada satupun angka dari sampai 5 yang berada pada posisi semula. A. 5 ) k=0 k ( ) k (0 k)! D. 5 k=0 k+) ( ) k+ (0 k+)! B. 5 k=0 k) (0 k)! E. 5 k=0 k+) ( ) k+ (0 k )! C. 5 k=0 k) ( ) k+ (0 k)! 2 Isian Singkat. Diketahui dan y bilangan-bilangan r yang yang memenuhi persamaan 2 + y 2 + A + B + C = 0 dengan A, B > 20 dan C < 20. Tentukan nilai minimum dari 7 2y. 2. Diberikan persamaan (2 cos + sin 2)(2 2 sec ) + 7 = 0 dan cos 0 untuk suatu bilangan real. Jika a dan b adalah dua bilangan asli yang relatif prima dan memenuhi persamaan maka tentukan nilai dari 7a b. a b = ( + cos)( sin ) 3. Tentukan bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan sin 5 sin 6 + sin 7 sin 8 +... + sin 33 sin 3 = sin n. Diketahui G = {, 2, 3,..., z,..., nz} dengan n, z > 20 dan Z merupakan himpunan bagian dari G yang memiliki anggota sebanyak n +. Jika L = { y, y Z} dan p adalah nilai terkecil pada himpunan L, maka tentukan berapakah nilai p terbesar yang mungkin. 5. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) sehingga ( ) m = 98 n - Selamat Mengerjakan, Semoga Sukses - Halaman 7 dari 7