TEORI PENDUGAAN STATISTIK Prof. Dr. Almasdi Syahza, SE., MP Email: asyahza@yahoo.co.id 1 Teori Statistik Titik Parameter Interval Teori Statistik Titik Parameter Interval 3 1
PENDUGA TUNGGAL SEBAGAI FUNGSI UNSUR POPULASI n ( ) i i S = n( n 1) atau S = f( 1,,, n ) Standar deviasi di mana: = 1 i n = 1 ( 1 + + + n ) n s = 1 ( i - ) n - 1 s = 1 {( 1 - ) + ( - x) + + ( n - ) } n - 1 f( 1) f( ) f( 3) 4 SIFAT-SIFAT PENDUGA Penduga Tidak Bias Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator) jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted value, ) dari statistik sampel sama dengan parameter populasi (µ) atau dapat dilambangkan dengan E( ) = µ. E( ) =µ E( ) µ Gambar A Penduga Bersifat Tidak Bias Gambar B Penduga Bersifat Bias 5 SIFAT-SIFAT PENDUGA Penduga Efisien Penduga yang efisien (efficient estimator) adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians terkecil (s x ) dari penduga-penduga lainnya. s x1 s x s x1 < s x 6
DEFINISI Penduga Konsisten Penduga yang konsisten (consistent estimator) adalah nilai dugaan ( ) yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya µ dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n). n tak terhingga n sangat besar n besar n kecil 7 Teori Statistik Titik Parameter Interval 8 DEFINISI interval: interval adalah menyatakan jarak di dalam mana suatu parameter populasi mungkin berada. 9 3
RUMUS INTERVAL PENDUGAAN (s Zs x < P < s + Zs x ) = C Di mana: S P s x Z C s Zs x s + Zs x : Statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P) : Parameter populasi yang tidak diketahui : Standar deviasi distribusi sampel statistik : Suatu nilai yang ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan dengan pendugaan interval, nilai Z diperoleh dari tabel luas di bawah kurva normal : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang dalam praktek sudah ditentukan dahulu. : Nilai batas bawah keyakinan : Nilai batas atas keyakinan 10 CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM 0,50 0,50 95% 99% Z =-,58 Z=-1,96 0=µ Z=1,96 Z =,58 Pada gambar terlihat untuk interval keyakinan 95% terhubungkan dengan nilai Z antara 1,96 sampai 1,96. Ini dapat diartikan juga bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel akan terletak di dalam ± 1,96 kali standar deviasinya. Sedangkan untuk keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya juga akan terletak di dalam ±,58 kali standar deviasinya. Interval keyakinan juga dapat dituliskan untuk C= 0,95 adalah µ ± 1,96σ x dan untuk C=0,99 adalah µ ±,58s x. 11 CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM 0,50 0,50 0,05 (0,50/ ) 0,4750 (0,95/ ) 0,4750 (0,95/ ) Z= -1,96 Z= 1,96 0,05 (0,50/ ) Luas kurva adalah 1, dan simetris yaitu sisi kanan dan kiri luasnya sama yaitu 0,5. Nilai C= 0,95 apabila dibagi menjadi dua bagian simetris maka menjadi 0,4750 yang diperoleh dari 0,95/. Apabila digunakan tabel luas di bawah kurva normal untuk probabilitas 0,4750 maka akan diperoleh nilai Z sebesar 1,96. Begitu juga untuk C= 0,99, maka probabilitasnya adalah 0,99/ = 0,4950, nilai probabilitas ini terhubung dengan nilai Z=,58. Setelah menemukan nilai Z dan standar deviasinya, maka dapat dibuat interval keyakinan dengan mudah misalnya untuk C= 0,95 adalah P( 1,96s x < m < + 1,96s x) = 0,95 sedang untuk C= 0,99 adalah P(,58s x < µ < +,58s x) = 0,99. 1 4
CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM x = 1,96s x x = 1,96s x x 1 Interval 1 mengandung µ x x 95 Interval mengandung µ Interval 95 mengandung µ x 96-100 Interval 95 sampai 100 tidak mengandung µ Pada gambar di atas terlihat bahwa interval 1 dengan nilai rata-rata interval 95 dengan rata-rata 95 mengandung nilai parameternya yaitu dan hanya 96 sampai 100 atau 5% interval saja yang tidak dari statistik mengandung µ. Jadi interval keyakinan C= 95 dapat diartikan bahwa sebanyak 95% interval mengandung nilai parameter aslinya yaitu µ dan hanya 5% interval saja yang tidak mengandung parameternya. 13 Teori Statistik Titik Parameter Interval Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung 14 DEFINISI Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi distribusi sampel dari rata-rata hitungsampel. Kesalahan standardari rata-ratahitung dihitung dengan rumus sebagai berikut: Untukpopulasiyang tidak terbatas n/n < 0,05: s x = σ n untukpopulasi yang terbatas dan n/n> 0,05: σ s = x n N n N 1 Di mana: σ : Standar deviasi populasi s x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel n : Jumlah atau ukuran sampel N : Jumlah atau ukuran populasi 15 5
Teori Statistik Titik Parameter Interval 16 CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Interval keyakinan untuk rata-rata hitung dirumuskan ± Z α/ s/ n Untuk populasi yang terbatas, faktor koreksi menjadi (N-n)/N-1. Nilai merupakan rata-rata dari sampel, sedangkan nilai Z untuk beberapa nilai C Tingkat Keyakinan C/ Nilai Terdekat Nilai Z 0,99 0,495 0,4951,58 0,98 0,49 0,4901,33 0,95 0,475 0,475 1,96 0,9 0,45 0,4505 1,65 0,85 0,45 0,451 1,44 0,8 0,4 0,3997 1,8 17 CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Berdasarkan pada nilai Z dan diasumsikan bahwa n>30 maka dapat disusun interval beberapa keyakinan sebagai berikut: 1. Interval keyakinan 99%: ±,58 s/ n. Interval keyakinan 98%: ±,33 s/ n 3. Interval keyakinan 95%: ± 1,96 s/ n 4. Interval keyakinan 90%: ± 1,65 s/ n 5. Interval keyakinan 85%: ± 1,44 s/ n 6. Interval keyakinan 95%: ± 1,8 s/ n 18 6
CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Interval keyakinan tersebut dapat juga digambarkan sebagai berikut: Batas bawah 1 - α Batas atas α / -Zα / µ Zα / α / Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan adan terdapat pada interval 1 - α dengan batas bawah -Zα / dan batas atas Zα /. 19 Teori Statistik Titik Parameter Interval 0 SKEMA PROSES INTERVAL KEYAKINAN Populasi Tidak Terbatas ± Z α/ s/ n Mulai Identifikasi masalah Menentukan sampel (n) dan nilai rata-rata Menentukan Keyakinan(C atau α= (1 C) dan Nilai Z Populasi Terbatas ± Z α/ s/ (N - n)/n-1 1 7
DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI DIKETAHUI Probabilitas ( Z α/ σ x < µ < ( ± Z α/ s/ (N n)/n 1n s x ) = C atau Probabilitas ( ± Z α/ s x ) = C Di mana: : Rata-rata dari sampel Z α/ : Nilai Z dari tingkat kepercayaan α µ : Rata-rata populasi yang diduga σ x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan α = (1 C) DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI TIDAK DIKETAHUI Standar error untuk populasi tidak terbatas S S x = n Standar error untuk populasi yang terbatas dan n/n > 0,05: S x = S n N n N 1 Distribusi normal standar Distribusi t dengan n=5 Distribusi t dengan n=15 Distribusi t dengan n=5 3 DISTRIBUSI SAMPLING MENDEKATI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI TIDAK DIKETAHUI ( t α/ s x < µ < ( + t α/ s x ) Di mana: : Rata-rata dari sampel tα/: Nilai t dari tingkat kepercayaan α µ : Rata-rata populasi yang diduga s x : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan α : 1 C 4 8
Teori Statistik Titik Parameter Interval Interval Keyakinan Selisih Rata-rata dan 5 CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET Untuk populasi yang tidak terbatas p( 1 p) N n Sp = n 1 N 1 Untuk populasi yang terbatas p( 1 p) Sp = n 1 Bentuk pendugaan proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut: Probabilitas (p - Z α/.sp<p< p + Z α/.sp) Di mana: p : sampel Zα/: NilaiZ dari tingkat keyakinanα P : populasi yang diduga S p : Standar error/kesalahan dari proporsi C :Tingkat keyakinan α :1 C 6 Teori Statistik Titik Parameter Interval 7 9
INTERVAL KEYAKINAN UNTUK SELISIH RATA-RATA Probabilitas (( 1 - ) - Z α/. σ x1-x ) <( 1 - ) < ( 1 - ) + Z α/. σ x1-x ) Dimana standarerror dari nilai selisih rata-rata adalah: σ σ x1 x σ x1 x = + = n1 n Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan standar deviasi sampel yaitu: Di mana: s s s x1 x x 1 x = + = n1 n σ x1-x : Standar deviasi selisih rata-rata populasi s x1-x : Standar error selisih rata-rata s x1, s x1 : Standar deviasi sampel dari dua populasi n 1, n : Jumlah sampel setiap populasi 8 INTERVAL KEYAKINAN UNTUK SELISIH PROPORSI Probabilitas Probabilitas ((p 1 -p ) - Z α/. s p1-p ) <(P 1 -P ) < (p 1 -p ) + Z α/. s p1-p ) Di mana standar error dari nilai selisih proporsi adalah: s = p1(1 p1) p(1 p) + n1 1 n 1 p1 p= p 1, p : sampel dari dua populasi S p1, s p1 : Standar error selisih proporsi dari dua populasi n 1, n : Jumlah sampel setiap populasi 9 Teori Statistik Titik Parameter Interval 30 10
FAKTOR UKURAN SAMPEL Faktor yang mempengaruhi jumlah sampel 1. Tingkat keyakinan yang dipilih.. Kesalahan maksimum yang diperbolehkan. 3. Variasi dari populasi. 31 RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA POPULASI Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut: n = [(Z α/.σ)/ε] Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana diuraikan sebagai berikut: P ( Z α/ < Z < Z α/ ) = C = 1 α ( Z α/ < ( µ)/(σ/ n) < Z α/ ) ( Z α/ (σ/ n) < ( µ) < Z α/ (σ/ n)) (x µ) < Z α/ (σ/ n); ingat bahwa error ε = µ ε < Z α/ (σ/ n); ε = (Z α/ ) (σ /n); n = [(Z α/.σ)/ε] 3 RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA PROPORSI POPULASI Untuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut: P ( Z α/ < Z < Z α/ ) = C = 1 α ( Z α/ < (p 1 p )/(σ/ n) <Z α/ ) ( Z α/ ( [(p(1 p)]/n 1) < (p 1 p ) < Z α/ ( [p(1 p)]/n 1) (p1 p) < Z α/ ( [(p(1 p)]/n 1); ingat bahwa error ε = p 1 p ε < Z α/ ( [(p(1 p)]/n 1); dikuadratkan kedua sisi menjadi ε = (Z α/ ) [(p(1 p)]/n 1; dipindahkan n 1 ke sisi kiri n 1 = (Z α/.) p(1 p) sehingga n menjadi ε n = (Z α/.) p(1 p) + 1 ε 33 11
TERIMA KASIH 34 1