BAB 2 PDB Linier Order Satu 2

BAB Konsep Dasar

BAB 2 PDB Linier Order Satu 2

BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3

BAB 4 PDB Linier Order Dua 4

BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5

BAB 6 Sistem PDB 6

BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam fenomena riel sedikit sekali model PDB muncul dalam bentuk linier. Sebaliknya persamaan itu muncul dengan model nonlinier yang sulit diselesaikan secara analitik. Suatu metoda yang terus berkembang pesat adalah metoda numerik. Namun demikian secara teoritis maupun praktis metoda ini memerlukan pemahaman khusus terutama menyangkut pembuatan komputer programming. Metoda sederhana namun cukup berarti adalah menghampiri persamaan nonlinier dengan persamaan linier termasuk didalamnya menganalisa perubahan koe- sien dan syarat awalnya. Teknik ini dikenal dengan analisa kualitatif, yaitu mencoba menganalisa solusi PDB nonlinier secara gras. Beberapa aspek penting untuk memahami teknik penyelesaian dengan cara ini dapat dijelaskan dalam bahasan berikut. 78

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 79 7. Sistem Linier Suatu sistem PDB order satu dengan n persamaan yang disajikan sebagai dx dt dx2 dt = a x + a 2 x 2 + + a n x n = a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n. dx dt = a x + a 2 x 2 + + a n x n dapat ditulis dalam bentuk dx dt = Ax: (7.) Misal solusi persamaan ini adalah x = e rt dan x 0 = re rt maka re rt = Ae rt (A ; ri) = 0 Denisi 7.. Misal A 2 R nn maka vektor 2 R n disebut vektor eigen bila A = r dimana r adalah nilai eigen. Untuk memperoleh nilai eigen dapat dipakai formulasi det(a ; ri) = 0 yang sekaligus merupakan persamaan karakteristik dari sistem PDB linier diatas. Selanjutnya bila persamaan (7.) sama dengan nol, yaitu dx dt = Ax = 0 maka solusi sistem PDB linier akan mencapai titik kritis (titik kesetimbangan). Suatu contoh, diberikan sistem PDB x 0 = ;x + x2 x2 0 = ;x ; x2. Titik kritis dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem ;x + x2 = 0 ;x ; x2 = 0

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 80 dimana titik yang memenuhi adalah (0 0) sehingga titik kesetimbangannya adalah (0 0). 7.2 Sistem Otonomus dan Trayektori Dalam hal ini akan dibahas sistem PDB dengan dua variabel terikat x x2. Denisi 7.2. Suatu PDB yang berbentuk dx dt dx2 dt = f (x x 2 ) (7.2) = f 2 (x x 2 ) (7.3) adalah merupakan sistem otonomus karena f (x x 2 ) dan f 2 (x x 2 ) bebas dari t. Dengan demikian bila sarat Lipschitz dipenuhi oleh persamaan diatas maka x = x (t) x 2 = x 2 (t) (7.4) merupakan solusinya dan memenuhi sarat awal x (t 0 ) = (x ) 0 x 2 (t 0 ) = (x 2 ) 0. Jelas penyelesaian (7.4) menentukan sebuah kurva diruang tiga-dimensi t x x 2. Jika kita pandang t sebagai parameter, maka bila t berubah dalam selang interval tertentu a < t < b, titik (x (t) x 2 (t)) akan menelusuri sebuah kurva yang disebut trayektori atau orbit dari penyelesaian (7.4) di bidang xx2. Dalam kajian dari sistem sis, pasangan (x x 2 ) disebut fase dari sistem oleh karena itu bidang xx2 pada umumnya disebut bidang fase (phase plan), sedangkan gambar semua trayektori yang berpautan dalam bidang fase disebut potret fase. Untuk menentukan trayektori dari persamaan (7.2-7.2) dapat digunakan aturan rantai sebagai berikut: dx 2 = dx 2 dt = f 2(x x 2 ) dx dt dx f (x x 2 ) (7.5)

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 8 Kemudian dengan menyelesaikan PDB ini akan diperoleh persamaan trayektori yang melalui titik-titik pada domain D. Misal f 2 (x x 2 ) 6= 0 maka persamaan trayektori yang melalui titik-titik lain misal S adalah dx = f (x x 2 ) dx 2 f 2 (x x 2 ) Titik-titik ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) dalam bidang fase yang membuat f dan f 2 sama dengan nol merupakan titik setimbang dari sistem (7.2-7.2) dan x (t) = (x ) 0 x 2 (t) = (x 2 ) 0 adalah penyelesaian untuk semua t. Contoh 7.2. Tentukan titik kritis sistem PDB 0 dx B@ 0 ; dt = 0 CA x dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi syarat awal x (0) = x 2 (0) = p 3. Contoh 7.2.2 Tentukan titik kritis sistem PDB 0 dx B@ 0 ; dt = 0 CA x dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi syarat awal x (0) = x 2 (0) = p 3. Penyelesaian 7.2. Titik kritis ditentukan dengan 0 B@ 0 ; 0 CA x = 0 sehingga (0 0) adalah satu-satunya titik kritis. Kemudian dengan menggunakan persamaan (7.5) maka persamaan trayektori didapat dari menyelesaikan PDB dx2 dx = ;x x 2 x 2 6= 0

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 82 dimana penyelesaian umumnya adalah x 2 +x2 2 = c2, suatu lingkaran yang berpusat di (0 0). Dengan menerapkan sarat awal, maka solusi khusus didapat sebagai x 2 + x2 2 = 4. Trayektori dari solusi ini adalah berupa lingkaran yang berpusat di (0 0), dimana gerakannya dapat dianalisis dari solusi x 2 2 = 4 ; x2. Semakin besar nilai x semakin kecil nilai x 2 -nya, dengan demikian gerakan titik berlawanan dengan arah jarum jam, lihat Gambar (7.). x2 2 x Gambar 7.: Trayektori sistem PDB dengan variasi nilai awal. 7.3 Kestabilan Titik Kritis dari Sistem Otonomus Persamaan otonomus yang ditulis dalam sistem berikut dx dt dx2 dt = f (x x 2 ) (7.6) = f 2 (x x 2 ) (7.7)

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 83 akan mempunyai ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) sebagai titik kritis (atau kesetimbangan) dari sistem (7.6-7.7) apabila f ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) = 0 dan f 2 ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) = 0. Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, akibatnya jika titik ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) merupakan titik kritis dari sistem ini, maka sepasang fungsi konstan x(t) = (x ) 0 x2(t) = (x 2 ) 0 (7.8) merupakan penyelesaian dari sistem (7.6-7.7) untuk semua nilai t. Dalam banyak keadaan, sangat penting mengetahui apakah setiap penyelesaian dari sistem (7.6-7.7) yang memulai cukup dekat dengan penyelesaian (7.8) pada t = 0 akan tetap dekat dengan (7.8) untuk seluruh t > 0 berikutnya. Jika demikian halnya, penyelesaian (7.8), atau titik kritis ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) disebut stabil. Untuk lebih jelasnya diberikan denisi berikut. Denisi 7.3. Titik kritis ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) atau penyelesaian konstan (7.8) dari sistem (7.6-7.7) disebut stabil jika untuk setiap bilangan e > 0 terdapat suatui bilangan > 0 sedemikian hingga setiap penyelesaian (x (t) x 2 (t)) yang pada t = 0 memenuhi [x (0) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (0) ; (x 2 ) 0 ] 2 < (7.9) ujud dan memenuhi [x (t) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (t) ; (x 2 ) 0 ] 2 < (7.0) untuk semua t 0. Denisi 7.3.2 Titik kritis ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) atau penyelesaian konstan (7.8) disebut stabil asimtotik jika titik itu stabil dan sebagai tambahan terdapat 0 sedemikian

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 84 hingga setiap penyelesaian (x (t) x 2 (t)) yang pada t = 0 memenuhi [x (0) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (0) ; (x 2 ) 0 ] 2 < 0 (7.) ujud untuk semua t 0 dan memenuhi lim t! x (t) = 0 lim t! x 2(t) = 0 (7.2) Denisi 7.3.3 Sebuah titik yang tidak stabil disebut tak stabil. Secara singkat dikatakan, stabilitas berarti perubahan kecil dalam syarat awal hanya menyebabkan pengaruh kecil pada penyelesaian, stabil asimtotik berarti pengaruh dari perubahan kecil cendrung menghilang sama sekali (tidak berpengaruh) sedangkan ketakstabilan berarti suatu perubahan kecil pada syarat awalnya akan berakibat perubahan besar pada penyelesaian. Konsep mengenai titik stabil, stabil asimtotik dan tak stabil masing-masing digambarkan dalam Gambar 7.2. Gambar 7.2: Potret fase sistem PDB dengan MAPLE

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 85 Contoh 7.3. Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB adalah stabil. 0 dx B@ 0 ; dt = 0 CA x Penyelesaian 7.3. Misal diberikan > 0. Pilih =. Solusi sistem ini adalah x (t) = c cos t + c 2 sin t (7.3) x 2 (t) = c cos t ; c 2 sin t (7.4) dimana c c 2 adalah sebarang konstan. Karena titik kritis (0 0) maka (x ) 0 = (x 2 ) 0 = 0 dan x (0) = c x 2 (0) = ;c 2, dan jelas [x (0) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (0) ; (x 2 ) 0 ] 2 < (c ; 0) 2 + (c 2 ; 0) 2 < c 2 + c2 2 < : Selanjutnya apakah [x (t) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (t) ; (x 2 ) 0 ] 2 < : Substitusikan penyelesaian diatas didapat (c cos t + c 2 sin t) 2 + (c cos t ; c 2 sin t) 2 < c 2 cos2 t + 2c cos tc 2 sin t + c 2 2 sin2 t + c 2 cos2 t ; 2c cos tc 2 sin t + c 2 2 sin2 t < c 2 + c2 2 < = : Lengkaplah pembuktian bahwa titik kritis (0 0) adalah stabil. Kita tahu bahwa trayektori sistem PDB ini merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 86 (0 0), dengan demikian lingkaran itu tidak menghampiri titik kritis pada saat t!. Ini berarti persamaan (7.2) tidak berlaku, oleh karena itu titik kritis (0 0) bukan stabil asimtotik. Contoh 7.3.2 Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB adalah stabil asimtotik. 0 dx B@ ; 0 dt = 0 ; CA x Penyelesaian 7.3.2 Mula-mula harus dibuktikan bahwa (0 0) adalah stabil. Misal diberikan > 0. Pilih =. Solusi umum sistem pada soal ini adalah x (t) = c e ;t (7.5) x 2 (t) = c 2 e ;t (7.6) dimana c c 2 adalah sebarang konstan. Disini (x ) 0 = (x 2 ) 0 = 0 dan x (0) = c x 2 (0) = c 2, dan jelas [x (0) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (0) ; (x 2 ) 0 ] 2 < (c ; 0) 2 + (c 2 ; 0) 2 < c 2 + c2 2 < : Selanjutnya apakah [x (t) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (t) ; (x 2 ) 0 ] 2 < : Substitusikan penyelesaian diatas didapat (c e ;t ) 2 + (c 2 e ;t ) 2 < (c 2 + c2 2 )e;2t < c 2 + c2 2 < =

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 87 dengan demikian titik (0 0) adalah stabil. Karena untuk sebarang c c 2 berlaku lim x (t) = lim c e ;t = 0 lim x 2(t) = lim c 2e ;t = 0 t! t! t! t! maka titik (0 0) adalah stabil asimtotik. Contoh 7.3.3 Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB adalah takstabil. 0 dx B@ ;3 4 dt = ;2 3 CA x Penyelesaian 7.3.3 Misal titik (0 0) adalah stabil maka untuk > 0 terdapat > 0 sedemikian hingga memenuhi persamaan (7.9-7.0). Perhatikan bentuk penyelesaian sistem ini x (t) = x 2 (t) = Disini (x ) 0 = (x 2 ) 0 = 0 dan x (0) = x 2 (0) = p ( 2 )2 + ( Selanjutnya apakah p (7.7) 2 et p (7.8) 2 et p 2, dan p 2 )2 < 2 < : [x (t) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (t) ; (x 2 ) 0 ] 2 < : Substitusikan penyelesaian diatas didapat p p ( ) 2 + ( ) 2 2 et 2 et < 2 e2t < :

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 88 Jelas ini tidak akan berlaku untuk semua nilai t 0, sehingga titik kristis (0 0) adalah takstabil. Selanjutnya sifat-sifat kestabilan secara umum dari sistem otonomus linier 0 dx B@ dt = a c b d CA x dapat dianalisa dari nilai eigen matriknya. Bila ad ; bc 6= 0 maka titik kritis (0 0) adalah satu-satunya titik kristis sistem ini dan solusinya akan berbentuk x (t) = Ae t x 2 (t) = Be t : dan sifat-sat kestabilan dapat dilihat dalam teorema berikut. Teorema 7.3. Titik kritis (0 0) dari sistem PDB otonomus akan stabil jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau mempunyai bagian riel yang takpositif. akan stabil asimtotik jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau mempunyai bagian riel yang negatif. akan takstabil jika dan hanya jika salah satu atau kedua nilai eigennya riel dan positif atau paling sedikit satu nilai eigen mempunyai bagian riel yang positif. Ketiga contoh yang diberikan semuanya adalah sistem otonomus linier. Dalam contoh (7.3.) persamaan kuadratik nilai eigen (persamaan karakteristik) 2 + = 0. Akar-akarnya adalah 0 i, jelas mempunyai bagin riel yang tak positif (yaitu 0) maka menurut teorema titik kritis ini (0 0) adalah stabil. Dalam contoh

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 89 (7.3.2) persamaan karakteristiknya berbentuk 2 + 2 + = 0. Akar-akarnya = ; = 2. Karena akar-akarnya riel dan negatif maka titik kritis (0 0) adalah stabil asimtotik. Terakhir contoh (7.3.3) persamaan karakteristiknya 2 ; = 0 akar-akarnya = dan = ; sehingga titik kritisnya takstabil. Sekarang perhatikan kembali sistem otonomus (7.6-7.7). Misal titik kritis itu ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) mengalami transformasi karena pemetaan yang berbentuk X = x ; (x ) ; 0 dan X 2 = x 2 ; (x 2 ) ; 0, dan memetakan sistem otonomus kedalam sistem sepadan dengan (0 0) sebagai titik kritis, tanpa mengurangi perumuman, dimana (0 0) juga merupakan titik kritis sistem (7.6-7.7) maka inilah suatu teknik untuk menghampiri bentuk sistem non linier dengan sistem linier. Sistem hampiran ini akan menjadi sistem yang hampir linier dengan bentuk umum sebagai berikut 0 dx B@ a dt = c b d CA x + F (x x 2 ) dengan ad ; bc 6= 0 dan F (0 0) = 0. Jadi (0 0) tetap merupakan titik kritis sistem ini. Kemudian bila fungsi-fungsi F 2 C (I) didekat titik kritis asal, dan juga terjadi bahwa lim x!0 x 2!0 F (x x 2 ) p x 2 + x2 2 = 0 (7.9) dikatakan bahwa sistem linier 0 dx B@ a dt = c b d CA x merupakan hampiran yang baik terhadap sistem PDB hampir linier diatas. Selanjutnya berkenaan dengan kestabilan titik kritis akan mengikuti teorema berikut.

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 90 Teorema 7.3.2 Titik kritis (0 0) dari sistem PDB hampir linier akan stabil asimtutik jika titik kritis (0 0) dari sistem PDB linier adalah stabil asimtutik. akan takstabil jika titik kritis (0 0) dari sistem PDB linier adalah takstabil. Contoh 7.3.4 Buktikan bahwa titik kritis (0 0) sistem PDB hampir linier x 0 = ;x + x 2 + (x 2 + x2 2 ) x 0 2 = ;2x 2 ; (x 2 + x2 2 )3=2 adalah stabil asimtutik. Penyelesaian 7.3.4 Di sini a = ; b = c = 0 d = ;2, dan ad ; bc = 2 6= 0 sedang F (x x 2 ) = (x 2 + x2 2 ) F 2(x x 2 ) = (x 2 + x2 2 )2. Juga F (0 0) = F 2 (0 0) = 0, sehingga syarat (7.9) terpenuhi. Dengan demikian sistem liniernya sekarang adalah x 0 = ;x + x 2 x 0 2 = ;2x 2 Persamaan karakteristik persamaan ini adalah 2 + 3 + 2 = 0, dimana akarakarnya adalah = ; dan = ;2. Karena kedua akarnya bernilai riel dan negatif maka titik kritis sistem linier ini adalah adalah stabil asimtutik yang berakibat bahwa sistem yang hampir linier itu juga stabil asimtutik. Contoh 7.3.5 Buktikan bahwa titik kritis (0 0) sistem PDB hampir linier x 0 = ;3x + 4x 2 + (x 2 ; x 2 2 ) x 0 2 = ;2x + 3x 2 ; x x 2

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 9 adalah stabil asimtutik. Penyelesaian 7.3.5 Di sini a = ;3 b = 4 c = ;2 d = 3, dan ad ; bc = 2 6= 0 sedang F (x x 2 ) = (x 2 ; x 2 2 ) F 2(x x 2 ) = ;x x 2, juga F (0 0) = F 2 (0 0) = 0. Kita nyatakan x dan x 2 dalam koordinat polar: x = r cos x 2 = r sin maka (syarat x! 0 dan x! 0 sepadan dengan r! 0). Maka F (x x 2 ) lim p r!0 x 2 + x2 2 F 2 (x x 2 ) lim p r!0 x 2 + x2 2 r 2 (cos 2 ; sin 2 ) = lim r!0 r = lim ; r2 (cos sin ) r!0 r = lim r cos 2 = 0 r!0 = lim ;r cos sin = 0: r!0 Jadi syarat (7.9) terpenuhi, sehingga kajian difokuskan pada bagian sistem linier x 0 = ;3x + 4x 2 x 0 2 = ;2x + 3x 2 dimana nilai eigennya adalah = dan 2 = ;. Karena salah satu akarnya adalah positif dan titik (0 0) adalah titik kritis dari sistem linier ini sehingga menjadi takstabil maka sistem hampir linier diatas merupakan sistem PDB dengan titik keritis takstabil. 7.4 Potret Fase Sistem Otonomus Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, gambar semua trayektori yang berpautan dari suatu sistem PDB disebut potret fase. Bila sistem PDB itu adalah otonomus linier 0 dx B@ a dt = c b d CA x

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 92 maka solusi umumnya adalah x (t) = Ae rt x 2 (t) = Be rt dimana r adalah nilai eigen dari matrik 0 B@ a c b d CA : yaitu, r merupakan akar dari persamaan karakteristik det(a ; ri) = 0: (7.20) Potret fase dari sistem otonomus linier diatas hampir seluruhnya tergantung pada akar-akar r r 2 dari persamaan (7.20). Tabel (7.) merupakan rangkuman potret fase sistem PDB dengan sifat-sifat stabilitasnya. Sedangkan tipe-tipe titik kritis x 0 = Ax det(a ; ri) = 0 det A 6= 0 Nilai eigen Tipe titik kritis Stabilitas r > r 2 > 0 Simpul Tidak stabil r < r 2 < 0 Simpul Stabil asimtotik r < 0 > r 2 Titik plana Tidak stabil r = r 2 > 0 Simpul sempurna atau tak sempurna Tidak stabil r = r 2 < 0 Simpul sempurna atau tak sempurna Stabil asimtotik r r 2 = i Titik spiral (Fokus) > 0 Tidak stabil < 0 Stabil asimtotik r = i r 2 = ;i Pusat Stabil Tabel 7.: Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus linier pada kolom dua dapat dijelaskan melalui Gambar 7.3. Contoh 7.4. Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier x 0 = ;2x + x 2 (7.2) x 0 2 = x ; 2x 2 (7.22)

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 93 x 2 x 2 x 2 (( x), ( x ) ) 0 2 0 (a) x x (b) x (c) Gambar 7.3: Ringkasan potret fase Penyelesaian 7.4. Akar-akar karakteristik sistem ini adalah r = ; dan r 2 = ;3, sehingga penyelesaian umumnya adalah x (t) = c e ;t + c 2 e ;3t (7.23) x 2 (t) = c e ;t ; c 2 e ;3t : (7.24) Akan ditentukan trayektori dari semua penyelesaian yang diberikan oleh penyelesaian umum ini untuk semua nilai c c 2 yang berbeda. Bila c = c 2 = 0 maka didapat penyelesaian x = x 2 = 0 dimana trayektorinya merupakan titik asal (0 0). Bila c 6= 0 dan c 2 = 0 didapat penyelesaian x (t) = c e ;t (7.25) x 2 (t) = c e ;t (7.26) dan bila c = 0 dan c 2 6= 0 didapat penyelesaian x (t) = c 2 e ;3t (7.27) x 2 (t) = ;c 2 e ;3t : (7.28) Untuk c > 0 semua penyelesaian (7.25-7.26) mempunyai trayektori yang sama, y = x > 0. Demikian pula untuk c < 0, trayektorinya adalah y = x < 0. Pada persamaan (7.26-7.27) bila c 2 > 0 dan c 2 < 0, berturut-turut akan diperoleh

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 94 trayektori y = ;x < 0 dan y = ;x > 0. Keempat trayektori ini akan berupa setengah garis-garis lurus sebagaimana terlihat dalam Gambar 7.4. Panah-panah pada setengah garis itu menunjukkan arah gerakan pada trayektori bila t bertambah. Untuk mendapatkan trayektori lainnya secara eksplisit kita harus mengeliminasi t pada persamaan (7.25-7.26) dan menyelidiki semua kurva yang diperoleh untuk nilai konstanta c c 2 yang tidak nol. Bila ini sulit dilakukan maka dapat dianalisa dari (7.23-7.24), jelas bahwa bila t! setiap trayektori dari sistem PDB pada soal ini akan menuju (0 0). Selanjutnya, untuk c 6= 0 dan c 2 6= 0, kita punyai x lim t! y = lim y t! x = c ;t e ; c 2 e ;3t c e ;t + c 2 e ;3t = lim t! c ; c 2 e ;2t = () y = x: ;2t c + c 2 e Jadi, semua trayektori ini menuju titik asal dan menyinggung garis y = x. Gambar 7.4 menunjukkan beberapa potret fase sistem (7.2-7.22). y = x >0 y y = x >0 x y = x < 0 y = x <0 Gambar 7.4: Potret fase untuk nilai awal tertentu Selanjutnya dengan MAPLE potret fase ini dapat digambar dengan mudah melalui fungsi DEplot.

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 95 %Menggunakan fungsi DEplot with(detools): ode:=di(x(t),t)=-2*x(t)+x2(t) ode2:=di(x2(t),t)=x(t)-2*x2(t) DEplot(ode,ode2,[x(t),x2(t)],t=-3..3,x=-3..3,x2=-3..3) Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini. Gambar 7.5: Potret fase sistem secara umum Contoh 7.4.2 Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier x 0 = 3x ; 2x 2 (7.29) x 0 2 = 2x ; 2x 2 (7.30) Penyelesaian 7.4.2 Akar-akar karakteristik sistem ini adalah r = ; dan r 2 = 2, sehingga penyelesaian umumnya adalah x (t) = c e ;t + c 2 e 2t (7.3) x 2 (t) = 2c e ;t + 2 c 2e 2t : (7.32)

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 96 Bila c = c 2 = 0 maka didapat penyelesaian x = x 2 = 0 dimana trayektorinya merupakan titik asal (0 0). Bila c 6= 0 dan c 2 = 0 didapat penyelesaian x (t) = c e ;t (7.33) x 2 (t) = 2c e ;t (7.34) dan bila c = 0 dan c 2 6= 0 didapat penyelesaian x (t) = c 2 e 2t (7.35) x 2 (t) = ;c 2 e 2t : (7.36) Untuk c > 0 trayektori sistem persamaan (7.33-7.34) berupa setengah garis lurus x 2 = 2x > 0, sedangkan untuk c < 0, trayektorinya adalah setengah garis x 2 = 2x < 0. Kemudian untuk c 2 > 0 dan c 2 < 0, berturut-turut akan diperoleh trayektori setengah garis x 2 = 2 x > 0 dan x 2 = 2 x < 0. Arah gerakan titiknya menuju ke titik asal sebagaimana terlihat dalam Gambar 7.4. Untuk c 6= 0 dan c 2 6= 0, kita peroleh x 2 2c e ;t + 2 lim = lim c 2e 2t t! x t! c e ;t + c 2 e 2t dan untuk 2c e ;3t + 2 = lim c 2 = t! c e ;3t + c 2 2 () x 2 = 2 x : x 2 2c e ;t + 2 lim = lim c 2e 2t 2c + 2 = lim c 2e 3t = 2 () x 2 = 2x : t!; x t!; c e ;t + c 2 e 2t t!; c + c 2 e 3t Hal ini menyatakan bahwa untuk t! semua trayektori asimtotis ke garis x 2 = 2 x, sedangkan untuk t! ; semua trayektori asimtotis ke garis x 2 = 2x. Gambar 7.4 menggambarkan beberapa trayektori dari potret fase sistem (7.2-7.22), dan menunjukkan bahwa hanya ada dua trayektori yang menuju titik asal, selebihnya menjauhi yaitu menuju bila t!. Selanjutnya melalui penerapan fungsi DEplot didapat potret fase umum berikut.

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 97 y y = 2x > 0 y = x > 0 2 x y = x < 0 2 y = 2x < 0 Gambar 7.6: Potret fase untuk nilai awal tertentu Gambar 7.7: Potret fase sistem secara umum

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 98 Latihan Tutorial 2. Tentukan titik kritis dan persamaan trayektori dari penyelesaian sistem berikut. (a) x 0 = ;x x 0 2 = 2x 2 (b) x 0 = ;x 2 x 0 2 = ;4 sin x (c) x 0 = ;x x 0 2 = 2x 2 (d) x 0 = ;x + x 2 x 0 2 = ;x ; x 2 (e) x 0 = x 2 x 0 2 = ; sin x (f) x 0 = x ; x x 2 x 0 2 = ;x 2 + x x 2 2. Transformasikan PDB berikut kedalam sistem PDB order satu dan hitung persamaan trayektorinya (a) x 00 + x = 0 (b) x 00 + sin x = 0 (c) x 00 ; x + x 3 = 0 3. Tentukan apakah titik kritis (0 0) merupakan titik stabil, stabil asimtutik atau tak stabil. (a) x 0 = x 2 x 0 2 = ;x (b) x 0 = ;x + x 2 x 0 2 = ;2x 2 (c) x 0 = ;x + x 2 x 0 2 = ;x ; x 2 (d) x 0 = 5x ; 6x 2 x 0 2 = 6x ; 7x 2

BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 99 (e) x 0 = ;3x + 4x 2 x 0 2 = ;2x + 3x 2 (f) x 0 = 5x ; 6x 2 + x x 2 x 0 2 = 6x ; 7x 2 ; x x 2 (g) x 0 = x 2 + x 2 ; x x 2 x 0 2 = ;2x + 3x 2 + x 2 2 (h) x 0 = 3x ; 2x 2 + (x 2 + x2 2 )2 x 0 2 = 4x ; x 2 + (x 2 ; x 2 2 )2 4. Misal sistem x 0 = 5x ; 6x 2 + x 0 2 = 6x ; 7x 2 + menunjukkan dua populasi yang berlomba, dimana x adalah populasi yang diperlukan dan x 2 adalah populasi parasit. Buktikan bahwa titik kritis (0 0) dari sistem ini adalah stabil asimtotik dan karena itu kedua populasi ini akan menuju kepunahan.