LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi ( ) = bila + 4. Untuk menentukan harga mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar berikut : x 1,9 1,99 1,999 1,9999 f(x) 5,9 5,99 5,999 5,9999 x 2,1 2,01 2,001 2,0001 f(x) 6,1 6,01 6,001 6,0001 y 0,0001 6,0001 6 5,9999 0,0001 x 0 0,0001 0,0001 1,9999 2,0001 Gambar 10.1 Matematika Dasar Page 134
Dari Tabel atau Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa: 1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan 2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis, fx=l dibaca it adalah L bila x mendekati c atau f(x) mendekati L bila x mendekati c. 10.2 DEFINISI LIMIT Perhatikan Gambar 4.3 berikut! Gambar 10.3 Untuk x < c, maka : 0 < c x <δ atau 0 > x c > -δ Untuk x > c, maka : 0 < c x <δ Dari kedua persamaan diatas didapat 0 < x c <δ Untuk f(x) <L, maka L f(x) <ε atau f(x) L > -ε Matematika Dasar Page 135
Untuk f(x) > L, maka f(x) L <ε Sehingga didapat f(x) L <ε Dari gambar 4.3 dan persamaan 4.1 s/d 4.3 maka didapat definisi sebagai berikut : Pernyataan =, berarti untuk setiap ε> 0 terdapat δ> 0 Sedemikian rupa sehingga jika 0 < x c <δ maka f(x) L <ε 10.3 TEOREMA-TEOREMA 1. x=c 2. k=k=c 3. fx+gx= fx+ g(x) 4. fx-gx= fx- g(x) 5. fx.gx= fx. g(x) f(x) 6. = f(x) g(x) g(x) 7. afx = a fx 8. fx = fx Contoh 10.1 a. x 5 x=5 b. x=-7 x -7 Contoh 10.2 a) 4 = 4 x -3 b) x 2 9 = 9 Contoh 10.3 x+6=x+6=5+6=11 x 5 x 5 x 5 Matematika Dasar Page 136
Contoh 10.4 7-x=7-x=7-5=2 x 5 x 5 x 5 Contoh 10.5 x 5 7 + 1 =7. + 1 = 26 = 12 Contoh `10.6 = x -4 Contoh 10.7 x -4 x -4 = x 5 = a. x e 9x = 9 x e x = 9e x 5 b. x π 34 x = 3 x π 4 x = 34 π Contoh 10.8 x x 2 3 = x 3 = 2 3 = 1 = 1 x 2 10.4 TEOREMA SANDWICH (TEOREMA APIT) Misal terdapat f(x) h(x) g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Bukti : Jika fx = L = gx, maka hx = L Untuk setiap ε > 0 terdapat δ 1 >0 dan δ 2 >0 sedemikian rupa sehingga, jika 0 < x c <δ maka fx L < jika 0 < x c <δ maka gx L < (*) untuk δ = min (δ 1, δ 2 ) dan 0 < x c <δ, maka ketidaksamaan (*) menjadi : -ε < f(x) L < ε dan -ε < g(x) L < ε Sehingga : 0 < x c < δ L-ε < f(x) dan g(x) < L + ε Karena f(x) h(x) g(x), sehingga jika 0 < x c < δ, maka L - ε < h(x) < L + ε atau h(x) L < ε (terbukti) Matematika Dasar Page 137
Contoh 10.9 Selesaikan -x 2 =cos 1 x Penyelesaian : -1 cos 1 x 1, x 0 -x 2 x 2 cos 1 x x2 (kalikan semua suku dengan x 2 ) Karena maka -x 2 = x 2 = 0, maka x 2 cos 1 x = 0 10.5 LIMIT SEPIHAK fx = L fx = fx = L x - artinya mendekati c dari arah kiri + artinya mendekati c dari arah kanan Contoh 10.10 x 1-2x jika x<-2 jika fx= x+7 jika x>-2 tentukan fx, jika ada x -2 penyelesaian : 1 2x = 5 (it kiri) x x 7 = 5 (it kanan) x Karena it kiri = it kanan = 5, maka fx = 5 x 1. x 2 7 2. x 5 3. 3x x -5 4. x e 3 5x 5. x 5 x 4x 12 Latihan: 6. x 1 x 1x + 5x + 6 7. x 4 8. x π 5x 9 9. x sin 10. Tentukan x 4 fx, jika f(x) = 2x-5 jika x 4 7-x jika x>4 Matematika Dasar Page 138
10.6 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. = 1 Bukti : Perhatikan gambar 10.4 y Q T r 0 0 P x 0 < 0 < Gambar 10.4 Luas OPQ < Sektor OPQ < OPT (*) Luas OPQ = r. 1 2 rsinθ=1 2 r2 sinθ (**) Luas sektor 1 2 θ r2 (***) Luas OPT r. 1 2 rtanθ=1 2 r2 tanθ (****) Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat, r. 1 2 r2 sinθ< 1 2 θr2 < 1 2 r2 tanθ (#) jika pers.(#) dibagi dengan 1 2 r2 sinθ, didapat 1< θ sinθ < 1 cosθ atau 1>sinθ θ cosθ gunakan teorema apit! 1 = 1 dan 0 0 0 0 2. cos x = 1 3. sin x = 0 cosθ = 1, maka 0 0 θ θ = 1 atau = 1 Matematika Dasar Page 139
4. tan x = 0 Bukti tan x = = 5. = 1 = sin x. =. 6. = 1 Bukti : = 7. = 0 sin x. = 0 = 0 (terbukti) =.. cos x = 1.1 = 1 (terbukti) Bukti : = = = (terbukti). = 1.1 = 1 (terbukti) = sin x = 01 = 0 10.7 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS 1. = 1 Bukti : y = arcsin x x = sin y untuk 1 x 1 dan π jadi = = y 0 y 0 2. = 1 Bukti : y π Matematika Dasar Page 140 = 1 (terbukti) y = arctan x x = tan y untuk nilai x dan π jadi 3. arcsin x = 0 = = y 0 y 0 y 0 = y 0 < < π = 1 (terbukti)
Bukti : y = arcsin x x = sin y untuk 1 x 1 dan π jadi arcsin x = y 0 y = 0 (terbukti) 4. arccos x = π Bukti : y π y = arccos x x = cos y untuk 1 x 1 dan 0 y π jadi arccos x = y π/2 y = π (terbukti) 5. arctan x = π Bukti y = arctan x x = tan y untuk setiap x dan π Jadi arctan x = y 0 y = 0 (terbukti) 6. arccot x = π < < π y = arccot x x = cot y untuk setiap x dan 0 < < Jadi arccot x = y π/2 y = π (terbukti) (4.27) Hitunglah it berikut, jika ada! 1. x 2 6. 2. 7. x 4 Latihan 3. 8. π 4. 9. 5. 10. 10.8 LIMIT TAK HINGGA Jika kita lakukan pengamatan terhadap -fx dan +f(x) mungkin akan didapatkan bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada gambar 10.5 Matematika Dasar Page 141
fx 1 x-2 y 0 2 x Gambar 10.5 X f(x) x f(x) 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 10 100 1.000 10.000 100.000 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999-10 -100-1000 -10000-100000 2,000001 1.000.000 1,999999-1000000 Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ). Sedangkan pada saat x mendekati 2dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju ). Selanjutnya dikatakan bahwa it f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah atau x 2 +f(x)=. Sedangkan it f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kiri adalah atau x 2 - f(x)=-. Contoh 10.11 Tentukan 2x43x3 x7 x 5x 4 x4 Matematika Dasar Page 142
Penyelesaian : a m =2; b n =5;m=4;n=4 Karena m = n, maka 2x4 +3x3 +x-7 x 5x 4 +x-4 = a m b n = 2 5 Matematika Dasar Page 143