SISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan

SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan

SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret

POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR LINEAR NON-LINEAR

SISTEM OTONOMUS 1-D SDD Otonomus Linear 1-D SDD Otonomus Non-Linear 1-D Titik Tetap Titik Tetap Solusi Solusi Jika Ada Kestabilan Linearisasi Kestabilan

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Bentuk Umum x n+1 = ax n + b, dengan n = 0,1,2,, x n R, a, b R.

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Solusi Sistem Diberikan SDD x n+1 = ax n + b, dengan nilai awal x 0. Solusinya adalah x n = x 0 b 1 a an + b, jika a 1 1 a x 0 + bn, jika a = 1

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Titik Tetap Titik tetap dari x n+1 = ax n + b, adalah x R sedemikian sehingga diperoleh x = ax + b, b x, jika a 1 = 1 a x 0, jika a = 1 dan b = 0. Untuk a = 1 dan b 0 titik tetap tidak ada.

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Proposisi 1. Titik tetap dari x n+1 = ax n + b ada jika dan hanya jika a 1 atau a = 1 dan b = 0. Proposisi 2. Titik tetap dari x n+1 = ax n + b tunggal jika dan hanya jika a 1.

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Kestabilan Titik Tetap Titik tetap x dari x n+1 = f(x n ) adalah: Stabil global (asimtotik) jika lim n x n = x, x 0 R Stabil lokal (asimtotik) jika x stabil lokal dan lim n x n = x. Proposisi 3. Titik tetap dari x n+1 = ax n + b, stabil global jika dan hanya jika a < 1

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Contoh 1. x n+1 = 3 4 x n + 2 Titik Tetap: x = 8 Solusi: x n = 3 4 n x0 8 + 8 Kestabilan: a = 3 4 < 1 stabil

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Contoh 2. x n+1 = 2x n + 2 Titik Tetap: x = 2 3 Solusi: x n = 2 n x 0 2 3 + 2 3 Kestabilan: a = 2 > 1 tak stabil

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D Bentuk Umum x n+1 = f x n, dengan n = 0,1,2,. Solusi Sistem Diberikan SDD x n+1 = f x n dengan nilai awal x 0. Solusinya adalah x 1 = f x 0 x 2 = f x 1 = f f (x 0) = f 2 x 0 x n = f n x 0

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D Titik Tetap Titik tetap dari x n+1 = f x n, adalah x R sedemikian sehingga x = f x. Linearisasi Hasil linearisasi: x n+1 = ax n + b, dengan a = f x dan b = f x f x x

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D Kestabilan Titik Tetap Proposisi 4. Titik tetap dari x n+1 = f x n, stabil lokal di sekitar titik tetap x jika dan hanya jika f (x ) < 1.

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D Contoh x n+1 = 3x n + x 2 n x 3 n Titik Tetap: x 1 = 0 x 2 = 1 x 3 = 2 Kestabilan: f (x 1 ) = f (0) = 3 > 1 tidak stabil f (x 2 ) = f 1 = 2 > 1 tidak stabil f (x 1 ) = f (2) = 3 > 1 tidak stabil

SISTEM OTONOMUS MULTI-D SDD Otonomus Linear Multi-D SDD Otonomus Non-Linear Multi-D Titik Tetap Titik Tetap Solusi Solusi Kestabilan Linearisasi Kestabilan

Bentuk Umum x n+1 = Ax n + B, x n R k dengan n = 0,1,2,. Titik Tetap Titik tetap dari x n+1 = Ax n + B, adalah x R k sedemikian sehingga x = Ax + B, diperoleh x = I A 1 B, jika I A 0.

Proposisi 5. Titik tetap dari x n+1 = Ax n + B, tunggal jika dan hanya jika I A 0. Solusi Sistem Diberikan SDD x n+1 = Ax n + B, dengan nilai awal x 0. Solusinya adalah x n = A n x 0 I A 1 B + I A 1 B, jika I A 0. atau x n = A n x 0 x + x.

Lemma 1. Jika matriks A n n mempunyai n nilai eigen real berbeda λ 1, λ 2,, λ n maka ada matriks non singular Q n n sedemikian sehingga A = QDQ 1, di mana D matriks diagonal λ 1 0 0 0 λ D = 2 0, 0 λ n Q = v1v 2 vn dan Av i = λ i v i, i = 1, 2,, n.

Proposisi 6. Sistem persamaan beda linear orde pertama nonhomogen x n+1 = Ax n + B, dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear orde pertama homogen zn+1 = Azn, di mana zn x n x dan x = I A 1 B.

Proposisi 6. Sistem persamaan beda linear orde pertama nonhomogen x n+1 = Ax n + B, dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear orde pertama homogen zn+1 = Azn, di mana zn = x n x dan x = I A 1 B.

Proposisi 7. Solusi dari sistem persamaan beda linear orde pertama non-homogen x n+1 = Ax n + B, adalah x n = QD n Q 1 x 0 x + x, di mana D adalah Jordan Matriks yang bersesuaian dengan A.

Kasus 2 (Nilai Eigen Real Kembar) Contoh 1. Uncoupled System x n+1 = 2x n, y n+1 = 2y n, di mana x 0 = x 0, y 0.

2. Coupled System x n+1 = 2x n y n, y n+1 = x n + 4y n, di mana x 0 = x 0, y 0.

Kasus 3 (Nilai Eigen Kompleks Berbeda) Bentuk Umum x n+1 = Ax n + B dengan Titik Tetap n = 0,1,2,. Titik tetap dari x n+1 = Ax n + B, adalah x R sedemikian sehingga x = Ax + B, diperoleh x = I A 1 B, jika I A 0.

Lemma 3. Jika matriks A k k mempunyai k 2 nilai eigen kompleks berbeda μ 1, μ 1, μ 2, μ 2,, μ k 2, μ k 2 dimana μ j α j + iβ j dan μ j α j iβ j, maka ada matriks non singular Q k k sedemikian sehingga di mana D matriks blok D = α 1 β 1 β 1 α 1 A = QDQ 1, α 2 β 2 β 2 α 2 α n 2 β n 2 β n 2 α n 2 Q = v1w 1 v iw i dan AQ = QD, i = 1, 2,, k.,

Kemudian jika blok pertama pada matriks blok D diubah dalam bentuk koordinat polar dimana α j = r j cos θ j dan β j = r j sin θ j, maka : α j β j cos θ j sin θ j = r β j α j j sin θ j cos θ j Lemma 6 cos θ j sin θ j r j sin θ j cos θ j n n = r cos nθ j sin nθ j j sin nθ j cos nθ j

Teorema 3 Titik tetap dari x n+1 = Ax n + B dengan A mempunyai k 2 pasang μ 1, μ 1, μ 2, μ 2,, μ k 2, μ k 2 nilai eigen imajiner yang berbeda, dimana μ j α j + iβ j dan μ j α j iβ j stabil global (asimtotik) jika dan hanya jika r j α 2 2 j + β 1 2 j < 1, j = 1,2,, k 2

Diagram Phase Sistem x n+1 = αx n βy n y n+1 = βx n + αy n mempunyai variasi perilaku bergantung pada nilai r.

Orbit Periodik : r = 1 Searah Jarum Jam Spiral Masuk : r < 1 Berlawanan Arah Jarum Jam Searah Jarum Jam Berlawanan Arah Jarum Jam Spiral Keluar : r > 1 Searah Jarum Jam Berlawanan Arah Jarum Jam

Orbit Periodik : r = 1 x n+1 = αx n βy n y n+1 = βx n + αy n Orbit periodik berlawanan arah jarum jam Misalkan r = 1, β = 1 dan nilai awal x 0, y 0 = 1,0. Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh x 1, y 1 = 0,1, x 2, y 2 = 1,0, x 3, y 3 = 0, 1, dan x 4, y 4 = 1,0. Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan berlawanan arah jarum jam.

Orbit Periodik : r = 1 x n+1 = αx n βy n y n+1 = βx n + αy n Orbit periodik searah arah jarum jam Misalkan r = 1, β = 1 dan nilai awal x 0, y 0 = 1,0. Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh x 1, y 1 = 0, 1, x 2, y 2 = 1,0, x 3, y 3 = 0, 1, dan x 4, y 4 = 1,0. Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan searah jarum jam. Sebagai catatan, α menentukan arah pergerakan.

Kasus 1 (Nilai Eigen Real Berbeda) Contoh 1. Uncoupled System x n+1 = 2x n, y n+1 = 0.5y n, di mana x 0 = x 0, y 0.

2. Coupled System x n+1 = x n + 0.5y n, y n+1 = x n + 1.5y n, di mana x 0 = x 0, y 0.

Contoh 1. r = 1, β > 0 x n+1 = y n, y n+1 = x n, di mana x 0 = x 0, y 0.

Contoh 1 A = 0 1 1 0 λi A = 0 λ 1 1 λ = 0 λ 2 + 1 = 0 λ 2 = 1 λ = i i 1 1 i x 0 = x 0, y 0 1 i b 1 b 2 i 1 ib 1 i 1 + b 2 w = i 1 = 0 1 + i 1 0 Q = 0 1 1 0 Q 1 = 0 1 1 0 μ 1 = i μ 1 = i maka α = 0, β = 1 x n+1 = y n, y n+1 = x n, λ 1,2 = ±i μ 1 = i μ 1 = i θ = tan 1 β α = tan 1 = 90 r = α 2 + β 2 = 0 + 1 = 1

x n+1 = y n, y n+1 = x n, D n = 1 n cos 90n sin 90n sin 90n cos 90n = x 0 = x 0, y 0 cos 90n sin 90n sin 90n cos 90n x n = QD n Q 1 x 0 = 0 1 1 0 cos 90n sin 90n 1 sin 90n cos 90n 0 1 1 0 x 0 y 0 = cos 90n sin 90n sin 90n cos 90n x 0 y 0 x n = x 0 cos 90n y 0 sin 90n y n = x 0 sin 90n + x 0 cos 90n

2. r > 1, β > 0 x n+1 = x n + y n, y n+1 = x n y n, di mana x 0 = x 0, y 0.

Contoh 2 A = 1 1 1 1 λi A = 0 λ + 1 1 1 λ + 1 = 0 (λ + 1) 2 +1 = 0 λ 2 + 2λ + 2 = 0 λ 1,2 = 1 ± i μ 1 = 1 + i μ 1 = 1 i λ = i i 1 1 i b 1 b 2 1 i i 1 ib 1 + b 2 1 i w = Q = 0 1 1 0 Q 1 = 0 1 1 0 maka α = 1, β = 1 i 1 = 0 1 + i 1 0 μ 1 = 1 + i, μ 1 = 1 i x n+1 = x n + y n, y n+1 = x n y n, x 0 = x 0, y 0 θ = tan 1 β α = tan 1 1 = 135 r = α 2 + β 2 = 1 + 1 = 2

x n+1 = x n + y n, y n+1 = x n y n, D n = 2 n cos 135n sin 135n sin 135n cos 135n = x 0 = x 0, y 0 cos 135n sin 135n sin 135n cos 135n x n = QD n Q 1 x 0 = 0 1 1 0 2 n cos 135n sin 135n sin 135n cos 135n 0 1 1 0 x 0 y 0 = 2 n cos 135n sin 135n sin 135n cos 135n x 0 y 0 x n = 2 n x 0 cos 135n 2 n y 0 sin 135n y n = 2 n x 0 sin 135n + 2 n x 0 cos 135n

Kasus 4 (Nilai Eigen Kompleks Kembar) Bentuk Umum x n+1 = Ax n + B dengan Titik Tetap n = 0,1,2,. Titik tetap dari x n+1 = Ax n + B, adalah x R sedemikian sehingga x = Ax + B, diperoleh x = I A 1 B, jika I A 0.

Lemma 4. Jika matriks A k k mempunyai k 2 nilai eigen kompleks kembar, μ, μ, μ, μ,, μ, μ dimana μ α + iβ dan μ α iβ, maka ada matriks non singular Q k k sedemikian sehingga di mana D matriks diagonal D = α β β α 1 0 0 1 A = QDQ 1, α β β α 1 0 0 1 α β β α Q = v w v w dan AQ = QD, i = 1, 2,, n.,

D n = r n cos nθ r n sin nθ r n sin nθ r n cos nθ nr n 1 cos n 1 θ nr n 1 sin n 1 θ r n cos nθ r n sin nθ nr n 1 sin n 1 θ nr n 1 cos n 1 θ r n sin nθ r n cos nθ n n 1 r n 2 cos n 2 θ n n 1 rn 2 sin n 2 θ 2! 2! nr n 1 cos n 1 θ nr n 1 sin n 1 θ n n 1 r n 2 sin n 2 θ n n 1 r n 2 cos n 2 θ nr n 1 sin n 1 θ nr n 1 cos n 1 θ 2! 2! rn cos nθ r n sin nθ r n sin nθ r n cos nθ, n 1 x n+1 = r n k n k cos n k θx 0 sin n k θy 0 k=0 y n+1 = r n k n k sin n k θx 0 cos n k θy 0 n 1 k=0

Teorema 4 Titik tetap dari x n+1 = Ax n + B dengan A mempunyai k 2 pasang μ, μ, μ, μ,, μ, μ nilai eigen imajiner kembar, dimana μ α + iβ danμ α iβ stabil global jika dan hanya jika r j α 2 2 j + β 1 2 j < 1, j = 1,2,, k 2

SDD OTONOMUS NON-LINEAR MULTI-D Bentuk Umum x n+1 = f x n, dengan n = 0,1,2,. Solusi Sistem Diberikan SDD x n+1 =, f x n dengan nilai awal x 0. Solusinya adalah x 1 = f x 0 x 2 = f x 1 = f f (x 0) = f 2 x 0 x n = f n x 0

SDD OTONOMUS NON-LINEAR MULTI-D Titik Tetap Titik tetap dari x n+1 = f x n, adalah x R sedemikian sehingga x = f x. Linearisasi Hasil linearisasi: x n+1 = Ux n + V, dengan U = f x dan V = f x f x x Kestabilan Sama seperti SDD Linear Multi-D

SDD Linear 1D Bentuk: x n+1 = ax n + b Titik Tetap: x = b 1 a Titik tetap x stabil global a < 1 SDD Non-Linear 1D Bentuk: x n+1 = f x n Titik Tetap: x = f x KESIMPULAN Titik tetap x stabil lokal f x < 1

SDD Linear Multi-D KESIMPULAN Bentuk: x n+1 = Ax n + B Titik Tetap: x = I A 1 B Kestabilan untuk kasus 2-D: 1. Nilai Eigen Berbeda Nilai Eigen Negatif Nilai Eigen Positif Stabil (Osilasi Konvergen) Stabil: 0 < λ: 1 1 < λ< 2 λ< 1 1. < λ 2 < 0. Saddle (Osilasi Saddle: Konvergen/Divergen) 0 < λ 1 < 1 < λ: 2. λ 1 < 1 < λ 2 < 0. Source (Osilasi Source: Divergen) 1 < : λ 1 < λ 2 < 1

2. Nilai Eigen Kembar KESIMPULAN Fokus (Stabil): 0 < λ 1 = λ 2 < 1. Fokus (Osilasi Konvergen): 1 < λ 1 = λ 2 < 0. Improper (Stabil): 0 < λ < 1. Improper (Source): λ > 1. Continuum Unstable: λ = 1.

KESIMPULAN 3. Nilai Eigen Kompleks Periodik Tertutup: r = 1. 1. β > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. β < 0 Searah Jarum Jam Spiral Masuk (Stabil Asimtotik) : r < 1. 1. β > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. β < 0 Searah Jarum Jam Spiral Keluar (Tak Stabil) : 1 < r. 1. β > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. β < 0 Searah Jarum Jam

KESIMPULAN SDD Non-Linear Multi-D Bentuk: x n+1 = f x n Titik Tetap: x = f x Kestabilan titik tetap x sama seperti SDD Linear Multi-D