LAMPIRAN
21 Lampiran 1 (Pembuktian Lema 2.1 Lema 2.1 (Eksistensi Fungsi Intensitas global Jika ([ ] adalah proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas, maka ([ ] pada Definisi 2.28 ada dan nilainya sama dengan Bukti: Berdasarkan Definisi 2.28, diketahui bahwa ([ ] memiliki sebaran Poisson dengan parameter ([ ], sehingga ([ ] Oleh karena itu, maka ([ ] Misalkan [ ] dan, maka untuk, ruas kanan persamaan (23 sama dengan [ ] Perhatikan bahwa limit pada suku kedua pada persamaan (24 bernilai nol. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa Untuk memperoleh hasil di atas, ruas kiri persamaan (25 ditulis sebagai berikut Perhatikan bahwa ( Jadi, untuk kasus ([ ] adalah proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas yang periodik dengan periode, maka Dengan demikian Lema 2.1 terbukti.
22 Lampiran 2 (Pembuktian Lema 2.2 Lema 2.2 (Pendekatan Stirling Untuk nilai yang besar, tidak praktis untuk mengevaluasi langsung terhadap. Dalam kasus seperti ini digunakan rumus pendekatan/aproksimasi yang dibangun oleh James Stirling, yaitu : di mana adalah logaritma natural. (Grimmett & Stirzaker 1992 Bukti: Fungsi Gamma menyatakan bahwa namun karena sehingga. Selanjutnya didefinisikan variable baru, yaitu: ( sehingga. Jadi, dan ( sedangkan pada saat diperoleh dan pada saat diperoleh. Oleh karena itu, persamaan fungsi Gamma dapat ditulis kembali menjadi ( (27 dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin diperoleh Oleh karena itu, ( ( sehingga untuk nilai ( ( yang besar bisa didekati Oleh karena itu, persamaan (27 menjadi. ( ( namun untuk didapati ( sehingga diperoleh apa yang disebut rumus Stirling, yaitu:. Dengan demikian Lema 2.2 terbukti.
23 Lampiran 3 (Pembuktian Lema 2.3 Lema 2.3 (Teorema Limit Pusat Misalkan adalah suatu barisan peubah acak yang bebas dan sebarannya identik (memiliki sebaran yang sama dengan parameter yang sama pula dengan masing-masing memiliki nilai harapan dan ragam tak nol Jika dengan, maka konvergen ke sebaran normal baku dinotasikan untuk. (Grimmett & Stirzaker 1992 Bukti: Misalkan, maka adalah peubah acak yang saling bebas dan mempunyai sebaran identik dengan nilai harapan dan ragam yang diberikan sebagai berikut: dan memiliki fungsi pembangkit momen yang sama,. Diketahui, maka fungsi pembangkit momen dari adalah ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (28 Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai : di mana ruas kanan di atas tak lain adalah fungsi sebaran normal dengan nilai harapan 0 dan ragam 1. Selanjutnya, akan digunakan Teorema Kontinuitas untuk membuktikan Teorema Limit Pusat di atas.
24 Lanjutan Lampiran Lema 2.3, Pembuktian Lema L.1 dan Lema L.2 Lema L.1 (Teorema Kontinuitas Misalkan adalah barisan peubah acak dengan fungsi pembangkit momen dan jika, maka (29 Dengan kata lain, fungsi sebaran dari kovergen ke fungsi sebaran normal jika fungsi pembangkit momen dari konvergen ke fungsi pembangkit momen sebaran normal. (Grimmett & Welsh 1986 Berdasarkan Lema L.1, untuk membuktikan Lema 2.3, cukup dibuktikan konvergen ke, yaitu pembangkit momen peubah acak normal baku. Dapat juga menggunakan suatu lema lainnya untuk membuktikannya. Lema L.2 (Sifat Fungsi Pembangkit Momen Berdasarkan Teorema Taylor Jika di mana dan, maka ada sebaran yang unik dengan fungsi pembangkit momennya. Selanjutnya, untuk dan Untuk menyelesaikan bukti, digunakan Lema L.2, sehingga diperoleh (Grimmett & Welsh 1986 (30 Substitusi persamaan (30 ke persamaan (28 dengan diperoleh (, di mana adalah tetap, maka Selanjutnya, dicari limit dari sebagai berikut ( sehingga bentuk persamaan (29 diperoleh. Dengan demikian Lema 2.3 terbukti.
25 Lampiran 4 (Pembuktian Lema 3.1 Lema 3.1 Misalkan fungsi intensitas λ periodik dan terintegralkan lokal. Untuk, akan diperoleh ( untuk min, di mana adalah solusi dari Bukti: Kita misalkan: Dengan menggunakan persamaan (7 dan (19 dilakukan pergantian peubah sehingga diperoleh ( ( ( ( Dengan menggunakan ekspansi dari Tricomi (1950 dan Temme (1975 diperoleh (31 ( (. (32 Dari persamaan (31 dan persamaan (32, dapat disimpulkan bahwa ( (33 untuk Jika (, maka persamaan (32 dapat ditulis kembali menjadi ( ( ( ( (34 untuk Dengan Teorema Nilai Rata-rata (TNR, [ ( ( ] diperoleh ( ( ( ( (
26 ( untuk Dengan demikian Lema 3.1 terbukti. ( Lampiran 5 (Pembuktian Lema 3.2 Lema 3.2 Misalkan fungsi intensitas λ periodik dan terintegralkan lokal. Jika dan sedemikian sehingga, dengan suatu konstanta positif tertentu, maka min = min (35 dan jika pada kondisi maka kita mempunyai peluang ~ akan diperoleh min = min (36 Bukti: Kita hanya membuktikan persamaan (36 karena persamaan (35 sudah umum. Catatan yang utama yaitu untuk yang besar, hanya nilai besar yang memenuhi hubungan Dari persamaan (4, untuk nilai yang besar, kita memperoleh Ini berarti bahwa berperilaku seperti peubah acak dari sebaran gamma dengan parameter (. Karena ini fungsi distribusi yang secara empiris memiliki kepadatan positif dengan peluang Kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi kepekatan yang kontinu dan naik tegas. Kemudian kita lihat bahwa nilai dari min untuk setiap adalah sama dengan nilai min dengan [ ] Dengan demikian Lema 3.2 terbukti.
27 Lampiran 6. Program Penentuan Fungsi Sebaran Waktu Tunggu Kejadian Ke- ( Fz = function(tau,z,m int teta zr int2 Lzr Lz jumlahan = 0 for(k in 1:m jumlahan Fz return(fz = function(s exp(sin((2*pi*s/tau/tau = integrate(int,0,tau = z-(tau*floor(z/tau = function(s exp(sin((2*pi*s/tau = integrate(int2,0,zr = (teta[[1]]*tau*floor(z/tau+lzr[[1]] = jumlahan + Lz^(k-1/(factorial(k-1 = 1-exp(-Lz*jumlahan
28 Lampiran 7. Program Penentuan Penduga Fungsi Sebaran Waktu Tunggu Kejadian Ke- ( Fzduga = function(tau,n,z,m maxlambda = exp(1 ntau = floor(n/tau EN = tau*ntau*maxlambda PAP = rpois(1,en realisasih = runif(pap,(-tau*ntau,0 lambda = exp(sin((2*pi*realisasih/tau P = lambda/maxlambda P[P<=0]=0.000001 P[P>=1]=0.999999 hold =rbinom(pap,1,p==1 s = realisasih[hold] int = function(s exp(sin((2*pi*s/tau/tau teta = integrate(int,0,tau zr = z-(tau*floor(z/tau sum = 0 for(k in 1:ntau x = s[s>-k*tau & s<zr-k*tau] sum = sum+length(x Lzr = (1/ntau*sum Lz = (tau*floor(z/tau*teta[[1]]+lzr jumlahan = 0 for(k in 1:m jumlahan = jumlahan + Lz^(k-1/(factorial(k-1 Fzduga = 1-exp(-Lz*jumlahan return(fzduga
29 Lampiran 8. Program Untuk Plot Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Sebaran yang Sebenarnya fung = function(tau,n,m z = seq(0,10,0.05 FungsiSebaran = seq(1:length(z analitik = seq(1:length(z for(i in 1:length(z FungsiSebaran[i] = Fzduga(tau,n,z[i],m analitik[i] = Fz(tau,z[i],m plot(z,fungsisebaran,"l" lines(z,analitik return(fungsisebaran