PENDEKATAN MEDIAN DARI SEBARAN POISSON DENGAN HUBUNGAN SEBARAN POISSON GAMMA DESTYA KUSUMA ARIFIANI

Transkripsi

1 PENDEKATAN MEDIAN DARI SEBARAN POISSON DENGAN HUBUNGAN SEBARAN POISSON GAMMA DESTYA KUSUMA ARIFIANI DEPARTEMEN METEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

2 ABSTRACT DESTYA KUSUMA ARIFIANI Approximation of the Median of Poisson Distribution Using the Relation of Poisson-Gamma Distribution Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI A major drawback of median is that median cannot usually be defined in closed form, even in the cases where their distribution functions are known This study gives an approximation of the closed form for the median of the Poisson distribution by using the relation of Poisson-Gamma distribution The approximation uses elementary techniques based on the monotonicity of certain sequences involving tail probabilities of the Poisson distribution and the Central Limit Theorem Furthermore, a closed form expression for the mean absolute deviation is also studied The median is relevant because of the fact that it minimizes the mean absolute deviation of a Poisson random variable ( by considering median as central tendency

3 RINGKASAN DESTYA KUSUMA ARIFIANI Pendekatan Median dari Sebaran Poisson dengan Hubungan Sebaran Poisson Gamma Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI Kekurangan utama dari median adalah median tidak bisa dirumuskan dalam bentuk terdekat, meskipun sudah diketahui fungsi sebarannya Oleh karenanya dalam tugas akhir ini dibahas tentang bentuk ekspresi terdekat untuk median dari sebaran Poisson dengan menggunakan hubungan sebaran Poisson-Gamma yaitu teknik dasar kemonotonan suatu barisan yang menyertakan kemungkinan ekor dari sebaran Poisson dan Teorema Limit Pusat (CLT) Selanjutnya dibahas pula mengenai bentuk ekspresi terdekat bagi mean absolute deviation Hubungan median berasal dari kenyataan bahwa median dapat meminimumkan mean absolute deviation dari peubah acak Poisson ( dengan menempatkan median sebagai suatu tendensi sentral

4 PENDEKATAN MEDIAN DARI SEBARAN POISSON DENGAN HUBUNGAN SEBARAN POISSON GAMMA Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas matenatika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor OLEH : DESTYA KUSUMA ARIFIANI G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

5 Judul Nama NRP : Pendekatan Median dari Sebaran Poisson dengan Hubungan Sebaran Poisson-Gamma : Destya Kusuma Arifiani : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Ir Retno Budiarti, MS NIP NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor Dr Berlian Setiawaty, MS NIP Tanggal Lulus :

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 8 Desember 1988 sebagai anak sulung dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Haryanto dan Setiyati Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Bumi Bekasi Baru Tahun 2003 lulus dari SMP Bani Saleh 2 dan pada tahun 2006 lulus dari SMAN 2 Bekasi serta pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI) Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus mahasiswa Matematika) sebagai staf Divisi Sosial Informasi dan Komunikasi (Sosinkom) periode Selain itu penulis juga menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II pada tahun ajaran 2007/2008, dan Kalkulus III pada tahun ajaran 2008/2009 serta Pengantar Teori Peluang (PTP) pada tahun ajaran 2009/2010

7 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-nya sehingga tugas akhir ini berhasil diselesaikan Penulisan tugas akhir ini juga tidak lepas dari dukungan moril dan bantuan dari berbagai pihak Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1 Dr Ir I Wayan Mangku, MSc, selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini) 2 Ir Retno Budiarti, MS, selaku dosen pembimbing 2 (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini) 3 Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS, selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya) 4 Keluarga tersayang : Ayah, Ibu, Pinto, Ade 5 Semua dosen departemen matematika (terima kasih atas ilmu yang diberikan) 6 Staff staff departemen : Pa Yono, Bu Ade, Pa Bono, Mas Heri, Mas Deny, Bu Susi, dan lainnya( terima kasih buat bantuannya) 7 Teman teman satu bimbingan (Kabil, Supri, Nindya, Aini, Putri), sukses selalu 8 Kakak-kakak angkatan 41 (terimakasih atas ilmunya) 9 Kakak-kakak angkatan 42 (makasih atas ilmunya, buku-bukunya dan semuanya) 10 Teman-teman 43 : Gandi, Adi, Emta, Andrew, Sabar, Nia, Copi, Arum, Wira, Slamet, Apri, Agung, Ratna, Tami, Ace, Resti, Nene, Suci, Lia, Marpaung, Cici, Desi, Nanu, Syahrul, Kiki, SN, Margi, Fitria, Vera, Narsih, kiki Amel, Zul, Arif, Peli, Albryan, Fardan, Hendra, Rias, Erni, Lina, Adam, Betrand, Kunto, Razon, Sendy, Irsyad, David, Dwi, Ecka, Elly, Subro, dan lainnya Sukses buat semuanya!! 11 Teman-Teman Math 44 : Iyam, Lingga, Ruhiyat, Ipul, Diana, Ayum, Aswin, denda, dan lainnya Semangat ya!! 12 Sahabat-sahabat SONIC : Bayu, Dida, Ridho, Yudhi, Ratih, Ibel, Koharudin, dan semuanya (you all the best!!!) 13 Para pengajar MSC beserta staff staffnya 14 Sahabat TPB : Andaru, Emma, Uut 15 Temen-temen sekostan : Ibel, Oxy, iyam Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna sehingga kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan Semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan rahmat dan karunia-nya untuk kita semua Bogor, Maret 2010 Destya Kusuma Arifiani

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR LAMPIRAN vii viii viii DAFTAR GAMBAR viii PENDAHULUAN Latar Belakang 1 Tujuan 1 LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang 1 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 2 Nilai Harapan, Ragam dan Median 3 Kekonvergenan Peubah Acak 3 Beberapa Lema Teknis 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Hubungan Kedekatan Bentuk Sebaran Poisson-Gamma 5 Bentuk Ekspresi Terdekat untuk Med( ) 6 Bentuk Ekspresi Terdekat Mean Absolute Deviation 7 Selang Batasan bagi 8 Batasan (Atas dan Bawah) bagi (Med(N λ )-) 12 KESIMPULAN 14 DAFTAR PUSTAKA 15 LAMPIRAN 16 vii

9 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1Mean Absolute Deviation 8 Tabel 2 Barisan n 12 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 : Pembuktian Lema 1 17 Lampiran 2 : Pembuktian Teorema 3 19 Lampiran 3 : Program R Tabel 1 26 Lampiran 4 : Program matematica untuk di setiap barisan fungsi 27 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 Solusi = 1/2 5 viii

10 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam teori peluang, peubah acak Poisson adalah salah satu peubah acak diskret yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu Panjang interval waktu tertentu dapat berupa sedetik, semenit, sejam, sehari, seminggu maupun sebulan Oleh karenanya nilai peubah acak Poisson adalah bilangan bulat tak negatif Peubah acak Poisson memiliki ciri yang unik yaitu nilai harapan dan ragamnya sama Nilai harapan sangat dipengaruhi oleh pengamatan yang berbeda (nilai yang sangat besar atau sangat kecil) dengan yang lain, karenanya diperlukan penghitungan yang tidak dipengaruhi oleh pengamatan yang berbeda tersebut yakni median Median dari suatu nilai pengamatan dapat diperoleh dengan mengatur semua pengamatan dari nilai terkecil ke nilai terbesar kemudian diambil nilai tengahnya Median mungkin tidak unik, karena kemungkinan ada sejumlah pengamatan dengan nilai yang sama menempati rentang tengah dari suatu sebaran Setiap sebaran memiliki mediannya masing-masing Namun demikian median tidak selalu bisa dirumuskan dalam bentuk terdekat meskipun sudah diketahui fungsi sebarannya Dalam tugas akhir ini, median dari suatu peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter dapat dicari melalui suatu barisan fungsi, Barisan fungsi dapat dibentuk melalui pendekatan hubungan sebaran Poisson-Gamma Dalam tugas akhir ini pula dapat diketahui bahwa median dapat meminimumkan mean absolute deviation yang merupakan rata rata simpangan tentang rataan data Karena banyak peristiwa yang dapat dimodelkan dengan sebaran Poisson, seperti jumlah deringan telepon pada suatu kantor, jumlah goresan atau cacat pada suatu produk dan lainnya maka dalam tugas akhir ini dikhususkan mempelajari median dari suatu sebaran Poisson yang didasarkan pada jurnal Adell dan Jodra (2005) Tujuan Tujuan dari tugas akhir ini adalah untuk mempelajari: 1 Penentuan bentuk ekspresi terdekat untuk Med( ) yang menyebar dengan sebaran Poisson 2 Penentuan batas atas dan bawah untuk Med( )- λ, dengan λ merupakan parameter dari sebaran Poisson 3 Penentuan bentuk ekspresi terdekat mean absolute deviation LANDASAN TEORI Sebelumnya diuraikan terlebih dahulu landasan dari konsep-konsep yang banyak digunakan dalam karya ilmiah ini sehingga memudahkan dalam pemahaman isi pembahasan Berikut adalah beberapa pengertian/ konsep yang mendasari karya ilmiah ini Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat Percobaan semacam ini disebut percobaan acak (Hogg et al 2005) Definisi 2 (Ruang contoh dan kejadian) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω (Grimmett & Stirzaker 1992)

11 2 Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut 1 2 Jika, maka 3 Jika,,, maka (Hogg et al 2005) Definisi 4 (Ukuran peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah medan-σ pada Ω Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata R, atau P : disebut ukuran peluang jika : 1 P tak negatif, yaitu untuk setiap A, P( A ) 0, 2 P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika,,,dengan A A =, j k,maka j k P An = P( An) n= 1 n= 1 3 P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1 Pasangan (Ω,, P) disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas (Hogg et al 2005) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 5 (Peubah acak) Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω R dengan sifat Ω untuk setiap x R (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 6 (Fungsi sebaran) Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh Ω Misalkan kejadian A = (-,x] Ω, maka peluang dari kejadian A adalah : PX ( A) = P( X x) = FX ( x) Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak X (Hogg et al 2005) Definisi 7 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah (Hogg et al 2005) Definisi 8 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R [ 0,1] yang diberikan oleh p ( x) = P( X = x) X (Hogg et al 2005) Definisi 9 (Fungsi massa peluang bersama) Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret yang terdefinisi pada ruang peluang yang sama Misalkan pula himpunan semua kemungkinan nilai dari X dan Y adalah berturut-turut A dan B Fungsi massa peluang bersama dari X dan Y didefinisikan sebagai,,, (Hogg et al 2005) Definisi 10 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter, 0, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh k e X ( ) λ λ p k = untuk k=0,1, k! (Ross 2007) Definisi 11 (Peubah acak kontinu) Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai, untuk suatu fungsi : 0, yang dapat diintegralkan Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi (Hogg et al2005) Definisi 12 (Peubah acak Gamma) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar gamma dengan parameter α dan β, dinotasikan gamma (α,β), jika memiliki fungsi kepekatan peluang x α 1 β x e + f( x) =, x R Γ α, ( α) β dengan α>0, β>0 dan Γ ( α) >0, dimana y y e dy 0 α 1 ( α ) Γ = (Hogg et al 2005)

12 3 Definisi 13 (Fungsi Kepekatan peluang bersama) Peubah acak X dan Y disebut dua peubah acak kontinu yang menyebar bersama jika untuk setiap, fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai,, Untuk suatu fungsi : 0,1yang terintegralkan Selanjutnya, fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak X dan Y (Hogg et al 2005) Definisi 14 (Peubah acak bebas) Jika X dan Y adalah peubah acak bebas maka berlaku 1,, jika X dan Y dua peubah acak diskret, 2,, jika X dan Y dua peubah acak kontinu (Hogg et al 2005) Nilai Harapan, Ragam dan Median Definisi 15 (Nilai harapan) 1 Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah E( X) = x p ( x), x X asalkan jumlah di atas konvergen mutlak 2 Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x ), maka nilai harapan dari X adalah Ε ( X) = x fx ( x) dx, asalkan integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al 2005) Definisi 16 (Ragam) Ragam dari peubah X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya Secara matematis dapat dituliskan sebagai, Var( X ) =Ε ( X Ε[ X ]) 2 2 =Ε X Ε ( [ X] ) 2 (Hogg et al 2005) Definisi 17 (Median) Misalkan adalah peubah acak dengan fungsi sebaran untuk Maka median dari didefinisikan sebagai solusi dari pertidaksamaan simultan _ 1/2, dimana _ merupakan limit kiri dari F di Titik tidak perlu unik Definisi median yang biasa digunakan adalah inf 1/2 (Bartoszyński and Niewiadomska Bugaj 1996) Definisi 18 (Mean absolute deviation) Mean absolute deviation atau mean deviation adalah rata-rata dari simpangan mutlak dari bagian data tentang rataan data Untuk suatu ukuran contoh, mean deviation didefinisikan oleh dimana adalah central tendency yang berupa rataan dari suatu sebaran (Kenney & Keeping 1962) Mean absolute deviation untuk sebaran diskret P i untuk i=1,2, diberikan oleh Kekonvergenan Peubah Acak Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak, untuk Definisi 19 (Kekonvergenan dalam peluang) Misalkan X1, X 2, adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang (Ω,F,P) Barisan peubah acak X n dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan p X, jika untuk setiap ε>0 berlaku Xn ( Xn X ε ) P > 0, untuk n (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 20 (Kekonvergenan dalam sebaran) Barisan peubah acak disebut konvergen dalam sebaran ke peubah acak, ditulis, jika berlaku lim untuk semua x dimana fungsi sebaran adalah kontinu (Hogg et al 2005)

13 4 Beberapa Lema Teknis Lema 1 (Central limit theorem) Misalkan X, 1, X2, X adalah n barisan peubah acak bebas dan sebarannya identik dengan masing-masing memiliki nilai harapan µ dan ragam tak nol σ 2 Jika Sn nµ Zn = σ n dengan Sn = X1+ X2 + + Xn, maka Zn konvergen ke sebaran normal baku, D dinotasikan Zn Normal(0,1), untuk n (Grimmet & Stirzaker 1992) Bukti: lihat Lampiran 1 Lema 2 (Teorema deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) memenuhi persamaan ( n) f ( a) n f ( x) = ( x a) n= 0 n! (1) (2) f ( a) 1 f ( a) 2 = f( a) + ( x a) + ( x a) + 1! 2! Bukti: lihat Stewart 1999 (Stewart 1999)

14 5 PEMBAHASAN Hubungan Kedekatan Bentuk Sebaran Poisson-Gamma Misalkan adalah peubah acak yang menyebar Poisson dengan nilai harapan λ 0 dan notasikan = \{0}, dimana merupakan integer tak negatif Selanjutnya dalam mencari bentuk ekspresi terdekat untuk median dapat menggunakan teknik dasar kemonotonan barisan yang menyertakan kemungkinan ekor dari sebaran Poisson dan CLT (Central Limit Theorem) Mulanya misalkan saja barisan fungsi (, n ) sebagai, = =! =!, λ 0 (1) Hubungan persamaan (1) merujuk pada hubungan sebaran Poisson- Gamma Bukti (1) : =!! Misalkan a= da = n dµ, dv = v = - Maka ruas kanan persamaan (1) adalah,! λ = e µ nµ lim n! e µ µ = lim! e λ λ e µ nµ λ b λ = lim! e λ λ 1 n 1 b e µ n µ λ = lim! e λ λ 1 =!! =! Sebagai catatan bahwa anti turunan dari adalah -!, dengan memasukkan batas sehingga diperoleh! Dari persamaan maka untuk n didapat 0 1 dan menurun ke 0 jika λ, sehingga jelas bahwa ada solusi tunggal ke = 1/2 Kemudian karena <, dengan λ > 0 maka Hal ini secara jelas menyatakan bahwa adalah median dari sebaran Gamma Γ ( n+1,1) yang mempunyai fungsi kepekatan peluang! Oleh karenanya misalkan untuk setiap n dinyatakan bahwa, =, µ 0 (2) 1 1/2 λ 0 = ln (2) 1 n 1 λ n 1 n λ n n+1 λ Gambar 1 Solusi 1/2

15 6 Bentuk Ekspresi Terdekat untuk Med(N λ ) Teorema 1 Untuk setiap, maka (i), 1, (ii) Med( ) =, untuk λ (, ) Dalam kondisi khusus Med( ) = Untuk membuktikan Teorema 1 maka dibutuhkan Lema 3 sebagai berikut Lema 3 (Kekonvergenan P(N n n, n ) dan P(N n n, n ) menurun ke 1/2) Barisan, dan, menurun tajam ke 1/2 dengan, 0 Bukti Lema 3 : Misalkan dan = Sehingga dari! 1 = =! =! =! =! 1 (3) Dengan pengintegralan parsial untuk menyelesaikan pers amaan (3), maka diperoleh, = n 1 n 1 µ + e µ +! n 1 = n! 1 e n e 1 Karena menaik dalam [0, 1] maka mengakibatkan 1 0 Hal yang sama dilakukan untuk 1 = =! = 1! =! (4) Dengan pengintegralan parsial untuk persamaan (4) dilakukan pemisalan: & v, sehingga diperoleh =! n n 1 µ e µ + n =! 1 e n e Karena menaik dalam [0, 1] maka Untuk membuktikan bahwa, dan, menurun ke 1/2, digunakan CLT untuk proses Poisson lim = lim = lim 0 = P(Z 0) = 1/2 lim = lim 1 = 1-1/2 = 1/2 Jadi terbukti bahwa, dan, menurun ke 1/2 Lema 3 terbukti

16 7 Bukti Teorema 1: Dari Lema 3 diperoleh bahwa 1/2 dan /2, hal ini menunjukan bahwa (n,n+1) Di sisi lain, jika, maka pertidaksamaan = = 1/2, seperti 1 < = ½ Dengan menyatukan dengan definisi median maka diperoleh Med( ) = n Kemudian dengan menggunakan (i) yang telah dibuktikan sebelumnya diperoleh bahwa n (, sehingga didapat Med( )=n Jadi Teorema 1, yang memberikan bentuk terdekat bagi Med( ) adalah Med( ) = n terbukti Teorema 1 memberikan kesimpulan bahwa jika λ λ n untuk setiap, maka Med( ) adalah tunggal, yaitu Med( ) = n Sedangkan jika λ = λ n untuk beberapa n maka interval [n,n+1) adalah bagian dari semua median dari Bentuk Ekspresi Terdekat Mean Absolute Deviation Mean adalah jumlah dari pengamatan dibagi dengan banyaknya pengamatan Mean dari suatu himpunan bilangan,,, biasanya dilambangkan dengan Mean sering dikutip bersama dengan standar deviasi Mean menggambarkan lokasi pusat data, sedangkan standar deviasi menggambarkan penyebaran data Beberapa kekurangan mean, mean sering digunakan untuk memberikan central tendency, tetapi hal tersebut kurang tepat karena mean sangat dipengaruhi oleh data yang menyimpang dari yang lain, terutama untuk sebaran yang tidak simetris Mean tidak sebaik median yang memberikan penjelasan central tendency yang lebih baik Dalam ukuran penyebaran secara statistik, berbagai ukuran central tendency digunakan sehinggadapat meminimumkan penyebaran dari simpangan tentang rataan data Salah satu ukuran penyebaran adalah mean deviation atau mean absolute deviation dengan memilih central tendency yaitu median karena median merupakan ukuran central tendency yang paling baik sehingga dapat meminimumkan mean absolute deviation Untuk mendapatkan bentuk ekspresi terdekat mean absolute deviation bagi peubah acak N λ yang menyebar Poisson dapat menggunakan median dari sebaran Poisson seperti yang telah didapat dari Teorema 1, dengan pendekatan suatu sembarang titik a Sehingga meminimumkan mean absolute deviation Hal ini dikaji dalam Corollary 1 seperti di bawah ini Corollary 1 Untuk setiap λ > 0, maka 2 2 Dalam kondisi khusus, untuk setiap n, kita punya 2 dan 2 Bukti : Misal λ 0 dan 0, nyatakan bahwa 2 2, (5) merupakan bilangan bulat terbesar dari, dimisalkan x + =max(0,x), kemudian masukkan ke dalam perhitungan bahwa =2x + -x, sehingga diperoleh = 2E(N λ -) (λ ) = λ + 2E(N λ -) = λ + 2! = λ = = =

17 8 = = = =2 2 2 =2 2 Tabel 1 Mean Absolute Deviation Corrollary 1 merupakan akibat dari persamaan 5 dan Teorema 1 Contoh kasus : Misal bangkitkan peubah acak dengan menggunakan R plus, kemudian bandingkan mean absolute deviation (MD) dengan menggunakan central tendency antara mean dengan mediannya Lihat pada Tabel 1 (Mean Absolute Deviation) di bawah ini: Bisa dilihat pada tabel di atas bahwa dengan memilih central tendency berupa median maka nilai rata-rata simpangan mutlak dari µ = 02 µ = 08 µ = 2 µ = 5 n Mean Varian Galat STDEV Med MD(Mean) MD (Med) bagian data (mean absolute deviation) akan lebih minimum dibandingkan dengan memilih central tendency berupa mean Hal ini disebabkan karena median merupakan lokasi dari data yang tidak terpengaruh terhadap data yang berbeda dari data yang lain Selang Batasan bagi Dalam penentuan selang interval atau batasan (atas dan bawah) bagi Choi(1994) dalam Adell dan Jodra (2005), menunjukkan pertidaksamaan untuk batasan yaitu : min ln2,, (6) Pertidaksamaan ini memberikan jawaban positif terhadap konjektur 1 yang diberikan oleh Chen dan Rubin (1986) Conjecture 1 Jika ~ Poisson (λ) maka ln(2) < Med (N λ) λ < 1/3 Batasan yang diberikan oleh (6) merupakan batasan yang mungkin karena sejak di berikan nilai awal λ 0 = ln (2) maka dari Teorema 1 bagian (ii) sehingga Med (Nλ o ) λ 0 = -ln (2) Di samping itu, misalkan (ε n, n * ) menjadi barisan yang konvergen ke 0 sehingga 0 < ε n < -, n * Berdasarkan Teorema 1 (ii) dan (6)

18 9 maka Med (Nλ n-1+ ε n ) ( λ n-1 + ε n ) = n - λ n-1 - ε n, Kenyataannya untuk 5, selang cukup besar sehingga tidak mendekati yang sebenarnya Oleh karena itu untuk batas atas bagi yang diberikan pada Teorema 2 di bawah ini lebih baik dari batas atas yang diberikan oleh (6) Teorema 2 Untuk setiap n, maka Untuk membuktikan Teorema 2, dibutuhkan Lema 4 dan Lema 5, seperti berikut : Lema 4 (Kekonvergenan Barisan, menurun ke 1/2) Barisan, menurun tajam ke 1/2 untuk setiap 0,2/3, dan, 0 Bukti Lema 4 : ! =! =! 1 Dimana dan diturunkan terhadap z sehingga diperoleh, 1 =! =! = 1 = Dimana 1 1 =! (7) Kemudian buktikan bahwa Dengan menyelesaikan integral keduanya untuk setiap [0,2/3] maka dengan menghitung, = 1 1 (8) Dimisalkan 1, kemudian batas juga kita substitusi 1 0, 1 Sehingga integral (8) menjadi, = = = 1 1 = u + au a 0 = 1 = 1 1 (9) Misalkan 1, kemudian batas juga disubstitusi 1 0, 1 Sehingga penyelesaian integral (9) menjadi, = = = u au a 3 2

19 10 = = Karena [0,2/3] maka Sehingga Maka (5) = Akibatnya 1 > 0! >0 > 1 Diketahui bahwa merupakan fungsi yang menaik dalam interval [n, ) maka 1 1 Kemudian dengan CLT untuk proses Poisson akan dilihat kekonvergenan peluangnya jika n Maka lim lim = P (Z 0) = 1/2 Dimana Z merupakan peubah acak normal baku Dengan demikian barisan, menurun ke 1/2 Jadi Lema 4 terbukti Lema 5 Misalkan n dan misalkan 1,, misalkan pula (0,1/3) sehingga Maka 1 Bukti Lema 5: Misalkan dan, 0 (seperti Lema 4) sehingga, 1 =1 1 1 = 1 = =! =! =! 1 (10) Sebagai catatan : Sehingga persamaan 10 menjadi, =! 1 (11) Misalkan 1 Diketahui bahwa merupakan fungsi yang menaik dalam interval [n-1, ) dan karena (0,1/3) maka dimana 1 0 (12) Bukti (12) : Mencari penyelesaian ruas kiri dari persamaan (12), 1

20 11 Misalkan, kemudian batas juga kita substitusi 0, Sehingga, = 1 = = u + u au Kemudian mencari penyelesaian untuk integral ruas kanan yaitu : a 0 = 1 Misalkan, kemudian batas juga di substitusi 0, 1 1 Sehingga, = = u u au 0 = a = 1 1 = Sehingga persamaan (12) terbukti Maka, Selanjutnya persamaan (11) menjadi =! =! =! > 0 Karena seperti yang telah dibuktikan sebelumnya bahwa maka terbukti 1 Sehingga Lema 5 terbukti Dengan demikian Lema 4 dan 5 digunakan untuk membuktikan Teorema 2 sebagai berikut Bukti Teorema 2: Karena dipilih ln 2, sehingga solusi adalah tunggal untuk 0 Oleh karenanya asumsikan bahwa dengan menggunakan Lema 4, maka didapatkan Sehingga dapat ditunjukkan bahwa Di sisi lain, misal a (0,1/3) dan 3 1, dimana 1, n, sehingga 0 c n 1 Maka =3 3 3 =

21 12 =3 =3 Pilih Sehingga 0 Karena menuju 1 jika maka () menuju 1/3 jika (n) 0, Dengan CLT untuk proses Poisson maka dapat disimpulkan bahwa barisan, konvergen ke 1/2 lim = lim =lim k=n =P(Z 0) = 1/2 Maka lim = 1- lim = 1 1/2 = 1/2, untuk k n Dengan Lema 5 ditunjukkan bahwa barisan menurun ke 1/2 Sebagai akibatnya /2 Ini menunjukan bahwa, 11 = 1 = 1 = = = = Jadi Teorema 2 terbukti Ternyata setelah didapatkan untuk setiap barisan fungsi maka barisan (, menurun dari ln (2) ke 2/3 jika bergerak naik dari 0 menuju Hal ini dinyatakan oleh konjektur 2 (Chen dan Rubin, 1986) Conjecture 2 Misalkan dinotasikan λ terbesar sehingga = ½, maka adalah fungsi menurun dari Berikut Tabel 2 (barisan ) yang memperlihatkan konjektur 2 Selanjutnya untuk pembuktian bahwa { } menurun untuk semua 0 dapat dilihat pada Lampiran 2 Tabel 2 Barisan n λ n α n α n Selanjutnya akibat dari Teorema 2 didapatkan pendugaan batasan bagi selisih median dari peubah acak yang menyebar Poisson dengan nilai harapannya, yaitu sebagai berikut: Batasan (Atas dan Bawah) bagi (Med(N λ )- λ) Dalam penentuan batasan bagi (Med(N λ )-λ), terdapat batas bawah yang lebih baik dari batas bawah yang diberikan oleh Chen dan Rubin pada konjektur 1 Untuk melihat batas atas dan bawah dari (Med(N λ )-λ) maka lihat Corollary berikut Corollary 2 Misalkan λ 0 dan k, maka Med(N λ )-λ < 1/3 dan Med λ, λ k

22 13 Bukti: Misalkan dan λ k, maka,, untuk Dengan Teorema 1 dan 2, didapatkan bahwa Med(N λ )-λ = λ < - < 1/3, Pertidaksamaan ini menunjukan batas atas dari Med(N λ )-λ, jika 0 maka solusi yang didapat adalah tunggal Berikutnya dengan menggunakan kembali Teorema 1 dan 2 sehingga 2 81 maka 3 81 Jadi Corollary 2 untuk penentuan selang batas (Med(N λ )-λ) terbukti Dari batasan yang ditunjukan oleh Corollary 2 sebagai akibat dari Teorema 2, maka lim inf lim sup Sehingga batas atas dan bawah Med(N λ )-λ, yaitu -2/3 dan 1/3 yang merupakan kemungkinan asimtotik terbaik (Best Possible Asymptotic) Med(N λ )- >

23 14 KESIMPULAN Median digunakan untuk menghilangkan pengaruh pengamatan yang berbeda (nilai yang sangat besar atau sangat kecil) dengan yang lain dalam suatu sebaran Misalkan adalah peubah acak yang menyebar Poisson dengan nilai harapan λ 0 Selanjutnya setelah ditelusuri didapat bahwa (, 1) merupakan median dari sebaran Gamma Γ (n+1,1) yang mempunyai batasan Suatu median dari peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter λ adalah sama dengan jika dan apabila = maka interval, 1 merupakan bagian dari median Dari sini maka mengakibatkan mean absolute deviation bagi Med ( ) yaitu 2 2 Sedangkan untuk batasan bagi Med ( ) λ adalah k Med λ, λ

24 15 DAFTAR PUSTAKA Adell JA, Jodra P 2005 The median of the Poisson distribution Metrika 61: Alm SE 2002 Monotonicity of the difference between median and mean of Gamma distributions and of a related Ramanujan sequence Bernoulli 9: Bartoszyński R, Niewiadomska-Bugaj M 1996 Probability and Statistical Inference Wiley, New York Chen J, Rubin H 1986 Bounds for the difference between median and mean of Gamma and Poisson distribution Statistics & Probability Letters 4: Grimmett GR, Welsh D 1986 Probability: An Introduction Oxford University Press USA Hogg RV, Craig AT, Mckean JW 2005 Introduction to Mathematical Statistics Ed ke-6 Prentice Hall, Englewood Cliffs New Jersey Kenney JF, Keeping ES 1962 Mathematics of Statistics Ed ke-3 Princeton, NJ: Van Nostrand Ross SM 2007 Introduction to Probability Models Ed ke-9 Academic Press Inc Orlando, Florida Stewart J 1999 Kalkulus Jilid 1 Ed ke-4 Penerbit Erlangga Jakarta Grimmett GR, Stirzaker DR 1992 Probability and Random Processes Ed ke-2 Clarendon Press Oxford

25 LAMPIRAN 16

26 17 Lampiran 1: Pembuktian Lema 1 Lema 1 (Central Limit Theorem) Misalkan X, 1, X2, Xn adalah barisan peubah acak bebas dan sebarannya identik dengan masing-masing memiliki nilai harapan dan ragam tak nol 2 σ Jika Z S nµ n n = dengan Sn = X1+ X2 + + Xn, maka Zn konvergen ke sebaran normal baku, dinotasikan Zn D Normal(0,1),untuk n σ n (Grimmet & Stirzaker 1992) Bukti : Misalkan, maka,, adalah peubah acak yang saling bebas dan mempunyai sebaran identik dengan nilai harapan dan ragam yang di berikan sebagai berikut: 0 dan,, memiliki fungsi pembangkit momen yang sama = Diketahui bahwa, maka fungsi pembangkit momen adalah exp = exp = exp = exp = exp exp exp = = (13) Selanjutnya bentuk 0,1 dapat ditulis sebagai lim Dimana ruas kanan merupakan fungsi sebaran normal dengan nilai harapan 0 dan ragam 1 Untuk membuktikan CLT diatas maka dapat digunakan teori kontinuitas

27 18 Lema 6 ( Teorema Kontinuitas) Misalkan,, adalah barisan peubah acak dengan fungsi pembangkit momen,, dan jika untuk n, untuk t (14) maka Jadi fungsi sebaran dari Z n konvergen ke fungsi sebaran normal jika fungsi pembangkit momen dari kovergen ke fungsi pembangkit momen sebaran normal (Grimmett &Welsh, 1986) Sehingga berdasarkan Lema 6 maka untuk membuktikan CLT cukup dibuktikan konvergen ke exp yang merupakan fungsi pembangkit momen dari sebaran normal Untuk membuktikannya dapat digunakan sifat pembangkit momen berdasarkan teorema Taylor seperti berikut Lema 7 (Sifat Pembangkit Momen Berdasarkan Teorema Taylor) Jika dimana δ < t < δ, dan δ >0 maka ada sebaran yang unik dengan fungsi pembangkit momen dari Kemudian untuk k=1,2, dan! untuk -δ < t < δ (Grimmett & Welsh, 1986) Untuk menyelesaikan bukti Lema 1 bahwa konvergen ke exp maka digunakan Lema 7 sehingga diperoleh 1!!! = 1 (15) Substitusikan persamaan (15) ke persamaan (13) dengan, t adalah tetap sehingga didapat 1 = 1 Kemudian dicari nilai limit dari yaitu : lim lim 1 = exp Jadi konvergen ke exp sehingga Lema 1 terbukti

28 19 Lampiran 2: Pembuktian Teorema 3 Teorema 3 Barisan menurun untuk semua 0 Bukti : untuk membuktikannya diperlukan beberapa langkah Lema Langkah 1 : Lema 8 1 Bukti Lema 8: Misalkan 1 dan Maka dengan 1!! (16)! Dimana terletak antara 1/2 dan 1/3, serta dimisalkan pula ~ Γ (n + 1,1) dan ~ Poisson (µ) Maka dengan persamaan (16) didapat,! 1! dan! 1! 1! Dengan mengganti ke dalam maka diperoleh : 1 Lema 8 terbukti Langkah 2 : mencari bentuk yang didapat dari bentuk eksplisit Disusun dari integral yang diperoleh dari Lema 8 diatas Misalkan 1 Barisan { } menaik untuk semua 0 Dengan (16), didapatkan bentuk ekspresi explisit untuk dan juga untuk Untuk beberapa nilai disajikan pada tabel berikut : 1 Desimal

29 20 Lema 9 Untuk 3, dengan 1, Bukti Lema 9 : untuk 0 < < 1, maka 1 exp 1 exp 2 exp 2 3, exp Kemudian untuk 0 < < 1, dengan ekspansi Taylor seperti berikut, 1 1 Sehingga, 3, 4 1 exp < 1 = 1 (17) Selanjutnya integralkan (17) terhadap, dengan batas seperti Lema 8 menggunakan > 2/3 dan 3, sehingga diperoleh, < < < Jadi terbukti Lema 9 bagian pertama Selanjutnya membuktikan Lema 9 bagian kedua, 1 exp

30 21 1 (18) Kemudian integralkan persamaan (18) seperti yang dilakukan pada persamaan (17), sehingga didapatkan, = Dimana,,, , = < Untuk 2, dengan menggunakan ln(2), diperoleh, , ln Sehingga untuk Lema 2 bagian dua terbukti ln 2 36 Langkah 3 : Memberikan batas atas dan bawah untuk dalam Lema 10 Untuk 3,, Bukti Lema 10 : Dari Lema 9 misalkan dan 00114, sehingga, ln , (19), (20)

31 22 dimana C 3 > 0 dan,, (21), (22), (23), (24) dengan menggunakan (21), n > 2/3, dan, untuk 3, memberikan < = < < (25) Dengan cara yang sama, menggunakan (21), ln(2) dan < 2/3, maka Selanjutnya dengan (18) dan (19), diperoleh <, (26) < (27) (28) Dengan cara yang sama pula, dicari untuk dan yang berpangkat 4 dan 5

32 23 < (29) dan < (30) (31) / (32) Dengan mengkombinasikan (25) dengan (27),(29), dan (31), didapatkan < 2/3 6 Selanjutnya (26) dengan (28), (30), dan (32), diperoleh > 6 Kemudian, dengan mengganti (19) dan (20) dengan (29-34), didapatkan dan < > Akhirnya dengan menghitung dan Maka terbukti Lema 10 (33) (34) Untuk mengetahui n = n n+1, dengan Lema 10, dimulai dengan mencari γ n = γ n γ n+1

33 24 Lema 11 0 Bukti Lema 11: dan dengan, dimana terletak antara 8/45 dan 2/21 Maka, = / / Terbukti Lema 11 Bukti Teorema 3: Misalkan C 1 = dan C 2 = yang dinotasikan pada Lema 9 dan C γ = 1364/42525 yang dinotasikan pada Lema 11 Maka dengan Lema 10 diperoleh, = (35) Seperti < 0, untuk 3, dengan < < 2/3, diperoleh, 3, 4, 5 Kemudian untuk 3,, 1, Dengan mensubstitusi hal di atas ke dalam persamaan (35) dan menggunakan Lema 11 diperoleh,

34 > > > 0 if > 317 Sehingga { } menurun untuk 3 Hal itu dapat dilihat pada Tabel 2 bahwa { } juga menurun untuk 3 Teorema 3 terbukti (Alm 2002)

35 26 Lampiran 3: Program R Tabel 1 Membangkitkan peubah acak untuk membandingkan mean absolute deviation dengan menggunakan central tendency mean dan median > Poisson <-function(lambda) + { + out<-array(0,dim=c(3,7)) + lambda + oi=0 + for(i in c(20,50,100)) + { + oi<-oi+1 + data<-rpois(i,lambda) + nharapan<-mean(data) + variandata<-var(data) + err<-abs(nharapan-lambda) + standrdev<-sd(data) + med<-median(data) + meanabstdev1<-(sum(abs(data-nharapan)))/i + meanabstdev2<-(sum(abs(data-med)))/i + out[oi,1]<-nharapan + out[oi,2]<-variandata + out[oi,3]<-err + out[oi,4]<-standrdev + out[oi,5]<-med + out[oi,6]<-meanabstdev1 + out[oi,7]<-meanabstdev2 + } + return(out) + } > Poisson (02) > Poisson (08) > Poisson (2) > Poisson (5)

36 27 Lampiran 4: Program matematica untuk di setiap barisan fungsi coba [n_] := d=plot[coba[0], {λ,0,1}, PlotRange {{0,4},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] y=plot[coba[1], {λ,0,4, PlotRange {{0,5},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] e= Plot[coba[2], {λ,0,4}, PlotRange {{0,5},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] f= Plot[coba[3], {λ,0,5}, PlotRange {{0,5},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] g= Plot[coba[4], {λ,0,7}, PlotRange {{0,5},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] z= Plot[coba[5], {λ,0,50}, PlotRange {{0,7},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] h= Plot[coba[6], {λ,0,50}, PlotRange {{0,7},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] j= Plot[coba[7], {λ,0,70}, PlotRange {{0,8},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] i= Plot[coba[8], {λ,0,70}, PlotRange {{0,10},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] w= Plot[coba[9], {λ,0,80}, PlotRange {{0,12},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}] s= Plot[coba[10], {λ,0,90}, PlotRange {{0,12},{0,1}}, GridLines {{ },{05}}]