SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN DIMENSI TIGA Soal Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. P adalah titik tengah CD. Tentukan panjang EP! Lihat gambar! Panjang EP didapat dengan rumus Pythagoras EP EA AP dari EAP yang siku-siku di A. Panjang EA = rusuk = 4 cm sudah diketahui, sedangkan panjang AP perlu dicari dahulu! Dengan memperhatikan ADP yang siku-siku di D, maka AP AD DP 4 4 0 cm. Sehingga EP EA AP 4 ( 0) 0 cm. Sepertinya semangat belajar mulai tumbuh bersemi seiring dengan dikerjakannya soal-soal yang mudah. SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal.
Soal Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = cm, BC = 8 cm, dan AE = cm. Titik P adalah titik pusat bidang ABFE dan titik Q terletak pada rusuk HG sedemikian sehingga HQ : QG = :. Tentukan panjang PQ! Lihat gambar! Karena HQ = QG = : dan HQ = AB = cm, maka: Panjang HQ 9 cm dan QG cm. 4 4 Proyeksikan titik P dan Q ke bidang alas ABCD, sehingga memotong bidang alas di titik R dan S. Proyeksikan S ke rusuk AB, namakan titik proyeksinya tersebut dengan titik U. Namakan pula titik tengah QS dengan titik T. QTP adalah segitiga siku-siku di T. SUR adalah segitiga siku-siku di U. Perhatikan QTP, PQ PT TQ. Panjang TQ cm cm. Sedangkan panjang PT perlu dicari dahulu. Panjang PT = panjang RS. Perhatikan SUR, RS RU US. Panjang US = 8 cm, sedangkan panjang RU AU AR DS AB HQ 9 cm. SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal.
Sehingga RS RU US 8 9 4 7 cm. Maka PT RS 7 cm. Jadi, PQ PT TQ 7 7 9 8 cm. Soal Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk cm. Titik X terletak pada perpanjangan garis SR, sedemikian sehingga SX : RX = 5 :. Tentukan panjang UX! Perhatikan gambar! Karena SX : RX = 5 :, maka SR : RX = :. Panjang SR = cm, maka RX 4 cm. Perhatikan QRX siku-siku di R. QX QR RX 4 5 cm. Perhatikan UQX siku-siku di Q. UX UQ QX ( 5) 5 88 4 cm. SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal.
Soal 4 Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak titik E ke rusuk BC! Ingat definisi jarak titik ke garis! Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis PP yang tegak lurus garis g, dimana titik P terletak pada garis g. Oooh. Intinya harus tegak lurus! Siiiiip deh! Sekarang lihat gambar di bawah! SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 4
Jarak titik E ke rusuk BC adalah EB, sebab EB tegak lurus BC. Jadi, EB EA AB 5 5 5 cm. Soal 5 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk a cm. Berapa cm jarak titik G ke garis BD? Perhatikan gambar di bawah! Jarak titik G ke garis BD adalah GP, dengan P titik tengah BD. Sebab GP tegak lurus BD. GP PC CG. Panjang CG a cm, sedangkan PC AC AB BC a a a a cm. Sehingga GP PC CG 4 ( a ) a a. a 4 a a a a a 4 4 4 4 a cm. SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 5
Soal Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 0 cm, BC = 8 cm dan CG = cm. Berapa cm jarak titik G ke garis BD? Lihat gambar di atas! Jarak G ke garis BD adalah GP, tapi P bukan titik tengah BD (bangun ruang yang diberikan adalah balok, bukan kubus, jadi P bukan titik tengah BD. Berbeda dengan Soal 5) Pertama, cari dulu GBP ( GBD ) dengan aturan cosinus pada GBD, yaitu: cos GBD Hitung dulu panjang BG, BD, dan DG: BG BD DG BG BD. BG BC CG 8 4 00 0 cm. BD AB AD 0 8 00 4 4 4 4 4 cm. DG DC CG 0 00 44 4 cm. Sehingga cos GBD BG BD DG BG BD 0 ( 4) ( 0 4 4) Perhatikan GBP, sin GBP 00 4 8. 40 4 40 4 5 4 GP BG SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal.
GP BG sin GBP BG sin GBD (sebab GBP GBD ) Sudah diketahui sin GBD. cos GBD. Gunakan segitiga bantu untuk memperoleh nilai 5 4 5 4 (5 4) 05 5 79 Maka 79 sin GBD. 5 4 Akibatnya GP BG sin GBD 79 0 5 4 79 4 79 4 4 4 4 59 cm. Soal 7 Kubus KLMN.OPQR mempunyai rusuk cm. Tentukan jarak titik M ke diagonal ruang KQ! Lihat gambar! Misalkan titik S adalah titik proyeksi tegak lurus titik M ke garis KQ. Maka jarak yang diminta adalah MS. Panjang rusuk kubus r =. Perhatikan: KQ r ruang) cm (diagonal KM r bidang) cm (diagonal SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 7
Gunakan metode menghitung luas segitiga sewaktu di bangku SD: Luas KMQ Luas KMQ alas tinggi alas tinggi KM MQ KQ MS MS MS cm. Alangkah senangnya mengingat kembali rumus waktu SD! L = ½ x alas x tinggi Soal 8 Tentukan besar BEG pada kubus ABCD.EFGH! Panjang rusuk kubus tidak diketahui! Tapi tenang, jangan panik! Kita misalkan saja panjang rusuk kubus = r. Perhatikan bahwa: BG r (diagonal bidang) BE r (diagonal bidang) BEG segitiga samasisi EG r (diagonal bidang) BEG 0. SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 8
Soal 9 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk cm. Tentukan jarak titik G ke bidang ABFE! Definisi jarak titik ke bidang: Jarak titik P ke bidang adalah panjang ruas garis yang melalui titik P dan sebuah titik pada bidang, sedemikian sehingga ruas garis tersebut tegak lurus bidang. Pada gambar di samping, jarak titik P ke bidang adalah d. Intinya: Haruz tegak luruzz!! Kembali pada soal, jarak titik G ke bidang ABFE adalah GF, sebab GF tegak lurus bidang ABFE. Jadi, jaraknya adalah GF = cm. SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 9
Soal 0 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk cm. Tentukan jarak titik F ke bidang ACH! Perhatikan gambar! Misalkan P adalah titik tengah AC. Misalkan pula R adalah titik pada bidang atap EFGH dengan PR sejajar CG. Dengan mempertimbangkan kesimetrisan bentuk, maka jarak titik F ke bidang ACH adalah jarak titik F ke garis HP. Misalkan titik proyeksi tegak lurus F ke garis HP adalah Q. Maka jarak yang diminta adalah jarak FQ. Perhatikan: AC cm (diagonal bidang) AP AC cm. AH cm (diagonal bidang) HPA siku-siku di P, maka HP AH AP ( ) ( ) 7 8 54 cm. Dengan cara yang sama, PF PR CG cm. cm. (Sadarilah PF = HP) HF cm. Untuk mendapatkan jarak FQ, gunakan: SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 0
Luas HPF Luas HPF alas tinggi alas tinggi HP FQ HF PR FQ FQ 4 cm. Soal Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 8 cm, BC = 4 cm dan CG = 4 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang ACGE! Perhatikan gambar! Jarak titik B ke bidan ACGE sama dengan jarak titik B ke garis AC. Misalkan proyeksi tegak lurus titik B pada AC adalah M, maka jarak yang diminta adalah BM. ABC siku-siku di B, maka AC AB BC 8 4 4 80 4 5 cm. Untuk menghitung garis tinggi BM, gunakan: Luas ABC Luas ABC SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal.
alas tinggi alas tinggi AC BM AB BC 4 5 BM 8 4 BM 8 8 5 5 5 cm. Soal Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai panjang rusuk alas AB = BC = CD = DA = 8 cm dan panjang rusuk tegak TA = TB = TC = TD = cm. Titik P adalah pusat bidang alas ABCD. Tentukan jarak titik P ke bidang TBC! Perhatikan gambar! Misalkan E titik tengah BC. Perhatikan bahwa jarak P ke bidang TBC sama dengan jarak P ke garis TE. Misalkan Q adalah titik proyeksi tegak lurus P ke garis TE. Maka jarak yang diminta adalah panjang PQ. Perhatikan: AP AC AB BC 8 8 8 4 cm. Karena TPA siku-siku di P, maka: TP TA AP (4 ) 44 4 7 cm. SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal.
Sementara itu, Karena PE AB 8 4 cm. TEB siku-siku di E, maka: TE TB BE 4 44 8 8 cm. Untuk mendapatkan garis tinggi PQ, gunakan: Luas TPE Luas TPE alas tinggi alas tinggi PE TP TE PQ 4 4 7 8 PQ PQ 4 4 7 8 8 7 7 7 4 cm. Soal Bidang empat T.ABC mempunyai ukuran rusuk cm. Tentukan tinggi bidang empat tersebut (yaitu jarak titik T ke bidang alas ABC)! Bidang empat (tetrahedron) adalah bangun ruang yang terdiri dari empat bidang, dengan semua rusuknya sama panjang, merupakan limas segitiga beraturan. Garis tinggi bidang empat adalah TP, dengan P adalah titik berat segitiga ABC, yaitu perpotongan garis-garis berat AD, BE, dan CF. Garis berat membagi sisi (rusuk) di hadapannya menjadi dua bagian sama panjang. Jadi, AF = FB = cm, BD = DC = cm, AE = EC = cm. SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal.
Pertama, cari dulu panjang CF. Karena CFB siku-siku di F, maka: CF BC BF 44 08 cm. P adalah titik berat segitiga ABC, maka CP CF 4 cm. Karena TPC siku-siku di P, maka: TP TC CP (4 ) 44 48 9 4 cm. Jadi, tinggi bidang empat tersebut adalah 4 cm. Soal 4 Balok KLMN.OPQR memiliki ukuran KL = cm, LM = 5 cm, dan KO = 0 cm. Tentukan sudut yang dibentuk oleh : a) Garis PQ dengan garis KP b) Garis PQ dengan OL Lihat gambar! a) Perhatikan bahwa: PQ PL PQ bidang POKL PQ PO (Inga: Jika garis g tegak lurus terhadap garis a dan garis b, maka garis g tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh garis a dan garis b.) SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 4
PQ bidang POKL PQ KP KP terletak pada bidang POKL (Inga: Jika garis g tegak lurus bidang U, maka garis g tegak lurus semua garis yang terletak pada bidang U tersebut) Karena tegak lurus, maka sudut yang dibentuk oleh PQ dan KP adalah 90 o. b) Perhatikan bahwa garis PQ dan OL bersilangan, dan kedua garis itu tidak akan berpotongan. Kalau begitu, bagaimana cara menentukan sudut antara kedua garis tersebut? Caranya adalah dengan menggeser-sejajar salah satu garis, hingga berpotongan dengan garis yang satunya lagi. Pada soal, kita dapat menggeser sejajar garis PQ menjadi OR, sehingga sudut antara PQ dan OL sama dengan sudut antara OR dan OL, yang besarnya adalah 90 o. Soal 5 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk cm. Titik I terletak pada HG, sehingga HI = cm. Jika ACI, tentukan nilai tan. Lihat gambar! Misalkan proyeksi tegak lurus titik I ke bidang alas adalah titik J. Jelas DJ = HI = cm. Untuk mencari ACI, kita hitung dulu panjang ketiga sisi dari ACI. Ini tips lho! SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 5
AC AB BC cm. IC IG GC 4 9 cm. AI AJ IJ Panjang IJ = cm, sedangkan AJ AD DJ 0 cm. Sehingga: AI AJ IJ ( 0) 0 9 9 cm. Gunakan rumus cosinus: cos ACI ( cos AC IC AI AC IC ) ( ) ( 8 9. 9) Gunakan segitiga bantu untuk mendapatkan nilai tan. Ingatlah sisi samping cos dan sisi miring sisi depan tan sisi samping ( ) 4 sisi depan Jadi, tan. sisi samping SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal.
Soal Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk r cm, bidang BDG membagi kubus menjadi dua bagian, yang satu kecil dan yang lain besar. Berapakah perbandingan volume dua bagian tersebut? Lihat gambar! Bidang BDG membagi kubus ABCD.EFGH menjadi dua bagian, yaitu: dan Volume bagian I adalah: V Luas alas tinggi r r r r Volume bagian II adalah: V V total kubus V r r 5 r Jadi, perbandingan volumenya: 5 V : V r : r : 5 SMAN Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 7