BAB 2 LANDASAN TEORI

6 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Metode Kuadrat Terkecil Aalisis regresi merupaka aalisis utuk medapatka hubuga da model matematis atara variabel depede (Y) da satu atau lebih variabel idepede (X). Hubuga atara satu variabel depede dega satu atau lebih variabel idepede dapat diyataka dalam model regresi liier (Draper da Smith, 1992). Secara umum hubuga tersebut dapat diyataka sebagai berikut : Y 0 1X1... p X p (2.1) dega Y : variabel depede, β i : koefisie regresi X i : variabel bebas µ : ilai eror regresi µ~ IIDN (0, σ 2 I) i = 1, 2,, p Jika dilakuka pegamata sebayak, maka model persamaa regresi liier bergada ke-i adalah (2.2) p = 1, 2,, Persamaa estimasi regresi liier bergada adalah

7 (2.3) Secara matriks, betuk peaksir kuadrat terkecil (least square) dari parameter tersebut adalah: (2.4) dega : vektor dari parameter yag ditaksir (p+1) x 1 X : matriks variabel bebas berukura x (p+1) Y : vektor observasi dari variabel respo berukura ( x 1) k : bayakya variabel bebas (k = 1, 2,, p) Uji sigifikasi parsial yaitu uji utuk megetahui variabel maa saja yag mempegaruhi variabel bergatug secara sigifika. Hipotesis yag diguaka adalah H 0 : β k = 0 H 1 : β k 0 dega k = 1, 2, 3,, p Dega taraf sigifikasi adalah α = 5% Dega statistik uji yag diguaka adalah t hit ˆ k ~ t 2 k SE( ˆ ) (2.5) k Dega keputusa tolak H 0 jika t hit > t (df, 1-α/2). Variabel yag tidak berpegaruh secara sigifika dapat dihilagka dalam model. di maa df : -2-k : jumlah pegamata k : jumlah variabel bebas 2.2. Regresi Spasial Regresi spasial adalah suatu metode utuk memodelka suatu data yag memiliki usur spasial. Model umum regresi spasial atau juga biasa disebut Spatial

8 Autoregressive Movig Average (SARMA) dalam betuk matriks (Lesage 1999; Aseli 2004) dapat disajika sebagai berikut: y Wy βx u (2.6) u Wu ε (2.7) dega y : vektor variabel depede dega ukura x 1 X : matriks variabel idepede dega ukura x (k+1) β : vektor koefisie parameter regresi dega ukura (k+1) x 1 ρ : parameter koefisie spasial lag variabel depede λ : parameter koefisie spasial lag pada error u, ε : vektor error dega ukura x 1 W : matriks pembobot dega ukura x : jumlah amata atau lokasi ( i = 1, 2, 3,, ) k : jumlah variabel idepede ( k = 1, 2,, l ) I : matriks idetitas dega ukura x Pada persamaa (2.6) dapat diyataka dalam betuk y Wy βx u atau ( I W) y βx u (2.8) Sedagka pada persamaa (2.7) dapat diyataka dalam betuk ( I W) u ε atau 1 u ( I W) ε (2.9) Persamaa (2.8) da (2.9) disubtitusi ke persamaa (2.6), maka aka diperoleh betuk persamaa yag lai yaitu: 1 ( I W) y βx ( I W) ε (2.10) Pedugaa parameter pada model umum persamaa regresi spasial dalam betuk matrik (Aseli, 1988) yaitu: ˆ 1 T T β ( X X) X ( I W) y (2.11)

9 2.3. Spatial Autoregresive Model (SAR) Pada persamaa (2.6) jika ilai ρ 0 da λ = 0 maka model regresi spasial aka mejadi model regresi spasial Mixed Regressive-Autoregressive atau Spatial Autoregressive Model (SAR) atau disebut juga Spatial lag Model (SLM) (Aseli, 1988) dega betuk persamaaya yaitu y Wy βx (2.12) Model persamaa (2.12) megasumsika bahwa proses autoregressive haya pada variabel depede. Pada persamaa tersebut, respo variabel y dimodelka sebagai kombiasi liier dari daerah sekitarya atau daerah yag berimpita dega y, tapa adaya eksplaatori variabel yag lai. Betuk peaksir dari metode SAR adalah ˆ 1 T T β ( X X) X ( I W) Y (2.13) 2.4. Spatial Error Model (SEM) Pada persamaa (2.6) jika ilai λ 0 atau ρ = 0 maka model regresi spasial aka mejadi model Spatial Error Model (SEM) dega betuk persamaaya yaitu y Wy βx Wy u (2.14) λw 2 u meujukka spasial terstruktur λw 2 pada spatially depedet error (ε). Model SEM adalah model regresi liier yag pada peubah galatya terdapat korelasi spasial. Betuk parameter peduga dari model SEM adalah βˆ T 1 T X WX X WX X Wy y Wy (2.15)

10 2.5. Sigifikasi Parameter Regresi Spasial Aseli (2003) meyataka bahwa salah satu prisip dasar peduga Maksimum Likelihood adalah asymptotic ormality, artiya semaki besar ukura maka kurva aka semaki medekati kurva sebara ormal. Pegujia sigifikasi parameter regresi (β) da autoregresif (ρ da λ) secara parsial yaitu didasarka pada ilai ragam galat (σ 2 ), sehigga statistik uji sigifikasi parameter yag diperguaka yaitu ˆ Z hitug s. b ( ) Dimaa merupaka asymptotic stadard error. Melalui uji parsial masig-masig parameter dega hipotesis H H 0 1 : 0 : 0 Dimaa merupaka parameter regresi spasial ( yaitu β, λ, da ρ), apabila Z hitug Z (α/2) atau ρ = value < α/2, maka keputusa tolak H 0, artiya koefisie regresi layak diguaka pada model. 2.6. Efek Spasial Pada bagia ii aka diuraika hal-hal yag berkaita dega efek spasial yaitu: 2.6.1. Efek Heteroskedastisitas (Spatial Heterogeity) Efek heterogeitas adalah efek yag meujukka adaya keragama atar lokasi. Jadi setiap lokasi mempuyai struktur da parameter hubuga yag berbeda. Pegujia efek spasial dilakuka dega uji heterogeitas yaitu megguaka uji Breusch- Paga test (BP test). Pembetuka model yag dilakuka adalah dega megguaka pedekata titik. Regresi spasial pedekata titik yaitu Geographically Weighted Regressio (GWR). Rumus persamaa Geographically Weighted Regressio (GWR) adalah

11 dega y i x k = ilai pegamata variabel respo ke- i = ilai pegamata variabel prediktor k pada pegamata ke-i β k (u i, v i ) = realisasi fugsi kotiu β k (u i, v i ) pada pegamata ke-i (u i, v i ) = titik koordiat (logitude, latitude) lokasi ke-i ε i = eror yag diasumsika idetik, idepede da berdistribusi ormal dega mea ol da varia kosta σ 2 yag kedua adalah Geographically Weighted Poisso Regressio (GWPR), adapu model GWPR adalah Da yag terakhir adalah Geographically Weighted Logistic Regressio (GWLR), betuk model GWLR adalah 2.6.2. Efek Depedesi Spasial (Spatial Depedece) Depedesi spasial terjadi akibat adaya depedesi dalam data wilayah. Spatial depedece mucul berdasarka hukum Tobler I (1979) yaitu segala sesuatu salig berhubuga dega hal yag lai tetapi sesuatu yag lebih dekat mempuyai pegaruh yag besar. Peyelesaia yag dilakuka jika ada efek depedesi spasial, adalah dega pedekata area. Aseli (1988) meyataka bahwa uji utuk megetahui spatial depedece di dalam error suatu model adalah dega megguaka statistik Mora s I da Lagrage Multiplier (LM).

12 2.6.2.1 Mora s I Mora s I adalah sebuah tes statistik lokal utuk melihat ilai autokorelasi spasial, yag maa diguaka utuk megidetifikasi suatu lokasi dari pegelompoka spasial atau autokorelasi spasial. Meurut Lembo (2006) dalam Kartika (2007) autokorelasi spasial adalah korelasi atara variabel dega diriya sediri berdasarka ruag. Cliff da Ord (1973, 1981) meghadirka uji statistik Mora s I utuk sebuah vektor observasi pada lokasi. Rumus Mora s I utuk matrik pembobot (W) tidak dalam betuk ormalitas, adalah I e ' W e. (2.16) e ' e wij i 1 j 1 Dega e i Y i 1 i 1 Y i adalah sebuah vektor deviasi utuk rata-rata sampel da W [ wij ] adalah matrik bobot spasial. Rumus Mora s I dega matrik pembobot (W) dalam betuk ormalitas, persamaa (2.16) di reduksi mejadi I e ' W e (2.17) e ' e Nilai ekspektasi dari Mora s I ( Lee da Wog, 2001) adalah 1 E( I) I o (2.18) 1 Jika I > I o, maka ilai autokorelasi berilai positif, hal ii berarti bahwa pola data membetuk kelompok (cluster), I = I o artiya tidak terdapat autokorelasi spasial, da I < I o artiya ilai autokorelasi berilai egatif, hal ii berarti pola data meyebar. Uji statistik Mora s I, dibatasi oleh 1.0 (yag berarti klaster spasial berilai autokorelasi positif) da -1.0 (yag berarti klaster spasial berilai autokorelasi egatif). Nilai autokorelasi spasial dikataka kuat, apabila ilai tiggi dega tiggi atau ilai redah dega redah dari sebuah variabel berkelompok dega daerah sekitarya (commo side).

13 Mora s I scatterplot adalah sebuah diagram utuk melihat hubuga atara ilai amata pada suatu lokasi (distadarisasi) dega rata-rata ilai amata dari lokasi-lokasi yag bertetagga dega lokasi yag bersagkuta (Lee da Wog, 2001). Jika I > I o maka ilai autokorelasi berilai positif, sedagka jika I < I o maka ilai autokorelasi berilai egatif. Pembagia kuadraya (Perobelli da Haddad, 2003) adalah 0.50 0.25 0.00-0.25-0.50 Kuadra II Low-High Kuadra III Low-Low Kuadra I High-High Kuadra IV High-Low -0.50-0.25 0.00 0.25 0.50 Kuadra I disebut High-High, meujukka ilai observasi tiggi dikeliligi oleh daerah yag mempuyai ilai observasi yag tiggi berlawaa dega Kuadra III disebut Low-Low, meujukka ilai observasi redah dikeliligi oleh daerah yag mempuyai ilai observasi redah. Kuadra II disebut Low-High meujuka ilai observasi redah dikeliligi oleh daerah yag mempuyai ilai observasi tiggi berkebalika dega kuadra IV disebut High-Low, meujukka ilai observasi tiggi dikeliligi oleh derah yag mempuyai ilai observasi yag redah (Kartika, 2007). 2.6.2.2 Lagrage Multiplier (LM) Test Uji LM (Lagrage Multiplier) adalah uji utuk meetuka apakah model memiliki efek spasial atau tidak. Lagrage Multiplier (LM) yag maa pada tes ii, ilai sisa dari kuadrat terkecil da hituga matrik bobot spasial W. Betuk tes LM (Aseli, 1988), yaitu

14 (2.19) (2.20) Dega e : ilai residu dari hasil OLS : bayak observasi Pada Uji Lagrage Multiplier (LM), ada tiga hipotesis yag dilakuka, yaitu : 1. Utuk SAR, H 0 : λ = 0 da H 1 : λ 0 2. Utuk SEM, H 0 : ρ = 0 da H 1 : ρ 0 3. Utuk mixture Model, H 0 : ρ, λ = 0 da H 1 : ρ, λ 0 Dalam megambil keputusa, tolak H 0 jika LM > χ 2 (1) atau ilai probabilitas < α. 2.7. Matrik Keterkaita Spasial (Spatial Weight Matrices) Betuk umum matrik spasial (W) adalah (2.21) Pembetuka matriks keterkaita spasial yag serig disebut matrik W dapat megguaka berbagai tekik pembobota. Aseli (2002) megusulka 3 (tiga) pedekata utuk medefiisika matriks W, yaitu cotiguity, distace, da geeral. Matriks W berdasarka persetuha batas wilayah (cotiguity) meyataka bahwa iteraksi spasial terjadi atar wilayah yag bertetagga, yaitu iteraksi yag memiliki

15 persetuha batas wilayah (commo boudary). Sebuah matrik W yag dibetuk adalah simetrik da diagoal utama selalu berilai ol seperti jika W m diberi ilai 1, maka W m berilai 1 juga. Pada praktekya, defiisi batas wilayah tersebut memiliki beberapa alteratif. Secara umum terdapat berbagai tipe iteraksi, yaitu Rook cotiguity, Bishop cotiguity da Quee cotiguity. Gambar 2.1: Ilustrasi dari Cotiguity Sumber : ( James P. Lesage, 1998) a. Rook cotiguity ialah persetuha sisi wilayah satu dega sisi wilayah yag lai yag bertetaggaa. Pada gambar 2.1, wilayah 1 bersetuha dega wilayah 2 sehigga W 12 = 1 da yag lai 0 atau pada wilayah 3 bersetuha dega wilayah 4 da 5 sehigga W 34 = 1, W 35 = 1 da yag lai 0. b. Bishop cotiguity ialah persetuha titik vertek wilayah satu dega wilayah tetagga yag lai. Pada gambar 2.1, wilayah 2 bersetuha titik dega wilayah 3 sehigga W 23 = 1 da yag lai 0. c. Quee cotiguity ialah persetuha baik sisi maupu titik vertek wilayah satu dega wilayah yag lai yaitu gabuga rook cotiguity da bishop cotiguity. Cotoh W 32 = 1, W 34 = 1, W 35 =1 da yag lai 0. Matriks W yag merefleksika quee cotiguity pada gambar 2.1 adalah

16 Matrik Quee cotiguity atau Rook cotiguity yag sudah diperoleh, dibetuk kedalam betuk matrik ormalitas, yaitu matrik dimaa jumlah dari setiap barisya adalah satu, sehigga matrik ormalitas dari matrik W quee tersebut adalah