BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 6 BAB LANDASAN TEORI. Metode Kuadrat Terkecil Persamaan regresi linier yang biasa didefinisikan dengan menggunakan metode pendugaan parameter Ordinary Least Square (OLS), secara umum dapat dituliskan : Y = β 0 + β X + β p X p +μ (.) Dimana Y : variabel dependen β X : koefisien regresi : variabel independen μ : nilai eror regresi Vektor galat μ diasumsikan menyebar N (0, σ I) Jika dilakukan pengamatan sebanyak n, maka model persamaan regresi linier berganda ke-i adalah Y i = β 0 + β X i + β p X ip +μ (.) p =,,, n i =,,,p Persamaan estimasi regresi linier berganda adalah YY = ββ 0 + ββ XX ii + + ββ ppxx iiii (.3) Secara matriks, bentuk penaksir kuadrat terkecil (least square) dari parameter tersebut adalah : ββ = (XX TT XX) XX TT YY (.4)

2 7 Dengan ββ : vektor dari parameter yang ditaksir (p+) x X : matriks variabel independen berukuran n x (p+) Y : vektor observasi dari variabel dependen berukuran (n x ) Uji signifikansi parsial yaitu uji untuk mengetahui variabel mana saja yang mempengaruhi variabel dependen secara signifikan. Hipotesis yang digunakan adalah H 0 : β k = 0 H : β k 0 dengan k =,, 3, p Dengan taraf signifikansi adalah α = 5% Dengan statistik uji yang digunakan adalah tt hiiii = ββ kk SSSS ββ kk ~tt nn kk (.5) Dengan keputusan tolak H 0 jika t hit > t (df, -α/). Variabel yang tidak berpengaruh secara signifikan dapat dihilangkan dalam model. Di mana df : n--k n : jumlah pengamatan k : jumlah variabel bebas. Regresi Spasial Regresi spasial adalah metode untuk memodelkan suatu data yang memiliki unsur spasial. Model umum regresi spasial atau juga biasa disebut Spatial Autoregressive Moving Average (SARMA) dalam bentuk matriks (Le Sage 999; Anselin 004) dapat disajikan sebagai berikut : yy = ρwwyy + XXββ + uu (.6) uu= λwwuu+ εε (.7) εε ~ N(0,σ I)

3 8 Dengan y : vektor variabel dependen berukuran n x X : matriks variabel independen dengan ukuran n x (k+) ββ : vektor koefisien parameter regresi dengan ukuran (k+) x ρ : parameter koefisien spasial lag variabel dependen λ : parameter koefisien spasial lag pada error u, εε : vektor error dengan ukuran n x W : matriks pembobot dengan ukuran n x n n : jumlah amatan atau lokasi (i =,, 3,,,n) I : matriks identitas dengan ukuran n x n Pada persamaan (.6) dapat dinyatakan dalam bentuk yy -ρwwyy = XXββ + uu (.8) (I-ρWW)yy = XXββ + uu Sedangkan pada persamaan (.7) dapat dinyatakan dalam bentuk (I-λW)uu = εε atau uu =(I-λW) - εε (.9) Persamaan (.8) dan (.9) disubtitusi ke persamaan (.6), maka akan diperoleh bentuk persamaan yang lain yaitu : (I-ρWW)yy = XXββ +(I-λW) - εε (.0) Pendugaan parameter pada model umum persamaan regresi spasial dalam bentuk matriks (Anselin, 988) yaitu : ββ = (XX TT XX) XX TT (II ρρρρ)yy (.)

4 9.3 Spatial Autoregressive Model (SAR) Jika nilai ρ 0 dan λ=0 maka model regresi spasial akan menjadi model regresi spasial Mixed Regressive-Autoregressiv atau Spatial Autoregressive Model (SAR) atau disebut juga Spatial lag Model (SLM) (Anselin, 988) dengan bentuk persamaannya yaitu : yy= ρwwyy +XXββ+ εε (.) εε ~ N( 0, σ I) Model persamaan (.) mengasumsikan bahwa proses autoregressive hanya pada variabel dependen. Pada persamaan tersebut, respon variabel y dimodelkan sebagai kombinasi linier dari daerah sekitarnya atau daerah yang berimpitan dengan y, tanpa adanya eksplanatori variabel yang lain. Bentuk penaksir dari metode SAR adalah ββ = (XX TT XX) XX TT (II ρρρρ)yy (.3) Dan penduga untuk ρ adalah ρρ = (yy TT WW TT WWWW) yy TT WW TT yy.4 Spatial Error Model (SEM) Jika ρ=0 dan λ 0, maka persamaan (.6) menjadi model Spatial Error Model (SEM) dengan bentuk persamaannya yaitu yy=xxββ +, uu= λwwuu+ εε (.4) εε ~ N (0, σ I) Model galat spasial adalah model regresi linier yang pada peubah galatnya terdapat korelasi spasial. Bentuk parameter penduga dari model SEM adalah

5 0 β = X λ WX T X λ WX X λ WX T y λ Wy (.5) Untuk penduga parameter λ diperlukan suatu iterasi numerik untuk mendapatkan penduga untuk λ yang memaksimalkan log kemungkinan tersebut..5 Signifikansi Parameter Regresi Spasial Anselin (003) menyatakan bahwa salah satu prinsip dasar penduga Maksimum Likelihood adalah asymptotic, artinya semakin besar ukuran n maka kurva akan semakin mendekati kurva sebaran normal. Pengujian signifikansi parameter regresi (β) dan autoregresif (ρ dan λ) secara parsial yaitu didasarkan pada nilai ragam galat (σ ), sehingga statistik uji signifikansi parameter yang dipergunakan yaitu ZZ hiiiiiiiiii = θθ ss. bb (θθ) Dimana β (θ) merupakan asymptotic standard error. Melalui uji parsial masingmasing parameter θ dengan hipotesis H H 0 : θ = 0 : θ 0 Dimana θ merupakan parameter regresi spasial (yaitu β, λ, dan ρ), apabila Z hitung Z (α/) atau ρ = value < α/, maka keputusan tolak H 0, artinya koefisien regresi layak digunakan pada model..6 Efek Spasial Berikut akan diuraikan hal-hal yang berkaitan dengan efek spasial yaitu :

6 .6. Efek Heteroskedastisitas (Spatial Heterogenity) Efek heterogenitas adalah efek yang menunjukan adanya keragaman antar lokasi. Jadi, setiap lokasi mempunyai struktur dan parameter hubungan yang berbeda. Pengujian efek spasial dilakukan dengan uji heterogenitas yaitu menggunakan uji Breusch-Pagan test (BP test) Keragaman spasial menggunakan uji Breusch-Pagan (Anselin, 988). Hipotesis yang diuji adalah: H 0 σσ = σσ = = σσ nn = σσ (ketidakragaman antar wilayah/varians sama) H : minimal ada satu σσ ii σ heteroskedastisitas) (terdapat keragaman antar wilayah / bersifat Statistik uji Breusch-Pagan (BP) adalah BP = htt zz (zz tt zz) zz tt h ~ xx (pp) Elemen vektor h adalah h i = ee ii σσ dengan e i adalah kuadrat galat untuk pengamatan ke-i dan Z adalah vektor y berukuran n yang sudah dinormal standarkan untuk setiap pengamatan. Kriteria uji BP xx (pp), tttttttttttt HH 0 > xx (pp), tttttttttt HH 0

7 .6. Efek Defendensi Spasial (Spatial Dependence) Spatial dependence muncul berdasarkan hukum Tobler I (979) yaitu segala sesuatu saling berhubungan dengan hal yang lain tetapi sesuatu yang lebih dekat mempunyai pengaruh yang besar. Penyelesaian yang dilakukan jika ada efek dependensi spasial, adalah pendekatan area. Anselin (988) menyatakan bahwa uji untuk mengetahui Spatial dependence di dalam error suatu model adalah dengan menggunakan statistik Moran s I dan Langrange Multiplier (LM)..6.. Moran s I Moran s adalah sebuah tes statistik lokal untuk melihat nilai autokorelasi spasial, yang mana digunakan untuk mengidentifikasi suatu lokasi dari pengelompokan spasial atau autokorelasi spasial. Menurut Lembo (006) dalam Kartika (007) autokorelasi spasial adalah korelasi antara variabel dengan dirinya sendiri berdasarkan ruang. Cliff dan Ord (973, 98) menghadirkan uji statistik Moran s I untuk sebuah vektor observasi Y n = (Y n,, Y nn ) pada n lokasi. Rumus Moran s I untuk matrik pembobot (W) tidak dalam bentuk normalitas, adalah I = nn nn nn ii= jj = ww iiii ee nn WW nn ee nn ee nn ee nn (.6) Dengan e ni = Y ni - nn YY nn ii= nnnn adalah sebuah vektor deviasi untuk rata-rata sampel W n = [W nij ] adalah matrik bobot spasial. Rumus Moran s I dengan matrik pembobot (W) dalam bentuk normalitas, persamaan (.6) direduksi menjadi I = ee nn WW nn ee nn ee nn ee nn (.7) Nilai ekspektasi dari Moran s I (Lee dan Wong, 00) adalah E(I) = I 0 = nn (.8)

8 3 Jika I > I 0, maka nilai autokorelasi bernilai positif, hal ini berarti bahwa pola data membentuk kelompok (cluster), I = I 0 artinya tidak terdapat autokorelasi spasial, dan I < I 0 artinya nilai autokorelasi bernilai negatif, hal ini berarti pola data menyebar. Uji statistik Moran s I, dibatasi oleh.0 (yang berarti klaster spasial bernilai autokorelasi positif) dan -.0 (yang berarti klaster spasial berniali autokorelasi negatif). Nilai autokorelasi spasial dikatakan kuat, apabila nilai tinggi dengan tinggi atau nilai rendah dengan rendah dari sebuah variabel berkelompok dengan daerah sekitarnya (common side). Moran s I scatterplot adalah sebuah diagram untuk melihat hubungan antara nilai amatan pada suatu lokasi (distandarisasi) dengan rata-rata nilai amatan dari lokasilokasi yang bertetanggaan dengan lokasi yang bersangkutan (Lee dan Wong, 00). Jika I > I 0 maka nilai autokorelasi bernilai positf,sedangkan jika I < I 0 maka nilai autokorelasi bernilai negatif. Pembagian kuadrannya (Perobelli dan Haddad, 003) adalah Kuadran II Low-High Kuadran I High-High Kuadran III Low-Low Kuadran IV High-Low Kuadran I disebut High-High, menunjukan nilai observasi tinggi dikelilingi oleh daerah yang mempunyai nilai observasi yang tinggi berlawanan dengan kuadran III disebut Low-Low, menunjukan nilai observasi rendah dikelilingi oleh daerah

9 4 yang mempunyai nilai observasi rendah. Kuadran II dai nilai observasi disebut Low-High menunjukan nilai observasi rendah dikelilingi oleh daerah yang mempunyai nilai observasi tinggi berkebalikan dengan kuadran IV disebut High- Low, menunjukan nilai observasi tinggi dikelilingi oleh daerah yang mempunyai nilai observasi yang rendah (Kartika, 007)..6.. Lagrange Multiplier (LM) Test Uji LM (Lagrange Multiplier) digunakan untuk menentukan apakah model memiliki efek spasial atau tidak. Lagrange Multiplier (LM) yang mana pada tes ini, nilai sisa dari kuadrat terkecil dan hitungan matrik bobot spasial W. Bentuk tes LM (Anselin, 988), yaitu LM SEM : LM = (/T)(e T W Y/ σ ) ~ xxp T = tr [(W + W )* W ] σ = ee ee nn (.9) LM SAR : LM = (e T W Y/ σ ) (D +T) D = σ - (βw X) S(βW X) S=I-X(X T X) - X T - Dengan e : nilai residu dari hasil OLS n : banyak observasi Pada uji Lagrange Multiplier (LM), ada tiga hipotesis yang dilakukan, yaitu :. Untuk SAR, H 0 : ρ = 0 dan H : ρ 0. Untuk SEM, H0 λ = 0 dan H λ 0 3. Untuk mixture Model, H0 ρ, λ =0 dan H ρ, λ 0 Dalam mengambil keputusan, tolak H0 jika LM > xxp atau nilai probabilitas < α

10 5.7 Matriks Keterkaitan Spasial (Spasial Weight Matrices) Bentuk umum matriks spasial (W) adalah WW WW nn W = (.0) WW nn WW nnnn Pembentukan matriks keterkaitan spasial yang sering disebut matrik W dapat menggunakan berbagai teknik pembobotan. Anselin (00) mengusulkan 3 (tiga) pendekatan untuk mendefenisikan matriks W, yaitu contiguity,distance, dan general. Matriks W berdasarkan persentuhan batas wilayah yang bertetangga, yaitu interaksi yang memiliki persentuhan batas wilayah (common boundary). Sebuah matriks W yang dibentuk adalah simetrik dan diagonal utama selalu bernilai nol seperti jika W mn diberi nilai, maka W nm bernilai juga. Pada prakteknya, definisi batas wilayah tersebut memiliki beberapa alternatif. Secara umum terdapat berbagai tipe interaksi, yaitu Rook contiguity, Bishop contiguity dan Queen contiguity. Berikut penjelasannya : a. Rook contiguity ialah persentuhan sisi wilayah satu dengan sisi wilayah yang lain yang bertetanggaan. Pada gambar., wilayah bersentuhan dengan wilayah sehingga W = dan yang lain 0 atau pada wilayah 3 bersentuhan dengan wilayah 4 dan 5 sehingga W 34 =, W 35 = dan yang lain 0. b. Bishop contiguity ialah persentuhan vertek wilayah satu dengan wilayah tetangga yang lain. Pada gambar., wilayah bersentuhan titik dengan wilayah 3 sehingga W 3 = dan yang lain 0. c. Queen contiguity ialah persentuhan baik sisi maupun vertek wilayah satu dengan wilayah yang lain yaitu gabungan rook contiguity dan bishop contiguity. Contoh W3 =, W 34 =, W 35 = dan yang lain 0.

11 6 (4) (3) (5) () () Gambar. : Ilustrasi dari contiguity Sumber : (James P. Lesage, 998) Matriks W yang merefleksikan queen contiguity pada gambar. adalah W queen =

12 7 Matriks queen contiguity atau rook contiguity yang sudah diperoleh, dibentuk kedalam bentuk matriks normalitas, yaitu matriks dimana jumlah dari setiap barisnya adalah satu, sehingga matriks normalitas dari matrik W queen adalah tersebut W queen 0 = Teori Graf Teori graf adalah cabang kajian yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara informal, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut simpul (vertex atau node) yang terhubung oleh sisi (edge) atau busur (arc). Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan simpul) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan sisi) atau garis berpanah (melambangkan busur). Suatu sisi dapat menghubungkan suatu simpul dengan simpul yang sama. Sisi yang demikian dinamakan gelang (loop). Gambar. : Graf dengan 6 simpul dan 7 sisi