BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) Setiap peelitia selalu berkeaa dega sekelompok data. Yag dimaksud kelompok disii adalah: Satu orag mempuyai sekelompok data, atau sekelompok orag mempuyai satu macam data lai. Dalam peelitia, peeliti aka memperoleh sekelompok data variabel tertetu dari sekelompok respode, atau obyek yag diteliti. Misalya melakuka peelitia tetag motivasi pegawai di yayasa A, maka peeliti aka medapatka data tetag motivasi pegawai di yayasa A tersebut. Prisip dasar dari pejelasa terhadap kelompok yag diteliti adalah bahwa pejelasa yag diberika harus betul-betul mewakili seluruh kelompok pegawai di yayasa A tersebut. Beberapa tekik utuk mejelaska kelompok yag diobservasi dega data kuatitatif, selai dapat dijelaska dega megguaka tabel da grafik, dapat juga dijelaska megguaka tekik statistik yag disebut mea, media, modus, kuartil, desil, maupu persetil. Tekiktekik tersebut termasuk dalam gologa statistik deskriptif. A. Mea (Rata-Rata Hitug) Merupaka tekik pejelasa kelompok yag didasarka atas ilai rata-rata dari kelompok tersebut. Rata-rata (mea) biasaya disimbolka dega X, da dapat diperoleh dega cara sesuai dega betuk dataya, yaitu: 1. Data metah yag belum disusu dalam betuk distribusi frekuesi, dalam mecari rata-rataya sebagai berikut: X = X 1 X X 3... X dimaa: X = rata-rata hitug yag dicari 57
X1, X, X3,...X = skor idividual = jumlah subyek data Cotoh: Data metah ilai matematika 45 siswa sebelum disusu dalam tabel 4.1 sebagai berikut. 6 6 7 5 10 9 10...6 79 X = 6, 45 45. data distribusi tuggal fx X = dimaa: fx = jumlah skor X frekuesi Sebagai cotoh perhatika tabel berikut ii! Tabel 5.1: peghituga mea pada distribusi tuggal Frekuesi No Nilai (X) (f) fx 1 4 7 8 5 9 45 3 6 14 84 4 7 6 4 5 8 3 4 6 9 4 36 7 10 0 Jumlah 45 79 58
X = fx 79 = 6, 45 3. data distribusi kelompok Terdapat dua cara peghituga: Berdasarka jumlah frekuesi titik tegah, caraya: a. meetuka titik tegah (Xt) tiap kelas iterval b. memperlakuka Xt sebagaimaa skor (X) pada distribusi tuggal fxt c. rumus: X =, dimaa fxt = jumlah dari titik tegah X frek d. Cotoh: berdasarka tabel 5 distribusi kelompok Tabel 5.: peghituga mea dari distribusi kelompok No Iterval Frekuesi (f) TT (Xt) fxt 1 75-79 77 154 70-74 3 7 16 3 65-69 5 67 335 4 60-64 4 6 48 5 55-59 6 57 34 6 50-54 8 5 416 7 45-49 7 47 39 8 40-44 5 4 10 9 35-39 5 37 185 59
10 30-34 3 3 96 11 5-9 7 54 Jumlah 50 585 585 X = 51, 7 50 Berdasarka rata-rata hitug duga X = X d +i fd X d = rata-rata hitug duga i = iterval d = deviasi dimaa: a. X d adalah titik tegah kelas yag letakya kurag lebih ditegah da mempuyai frekuesi tertiggi. Dari tabel diatas, adalah 5 (pada iterval 50-54 dega frekuesi 8). b. Meetuka besarya deviasi (d) yag merupaka peyimpaga dari rata-rata hitug duga. Pada tabel diatas kelas yag titik tegahya merupaka X d = 0, pada kelas diatasya berturut-turut +1, +, +3...dst. Pada kelas bawahya berturut-turut -1, -, -3...dst c. Meetuka besarya iterval, yaitu 5 60
Tabel 5.3: peghituga mea dari distribusi kelompok No Iterval Frekuesi (f) TT d fd fd 1 75-79 77 5 10 50 70-74 3 7 4 1 48 3 65-69 5 67 3 15 45 4 60-64 4 6 8 16 5 55-59 6 57 1 6 6 6 50-54 8 5 0 0 0 7 45-49 7 47-1 -7 7 8 40-44 5 4 - -10 0 9 35-39 5 37-3 -15 45 10 30-34 3 3-4 -1 48 11 5-9 7-5 -10 50 Jumlah 50 0-3 335 X = X d + i fd 3 = 5 + 5 = 5 + 5 (-0,06) = 51,7 50 Jika peghituga megguaka data kasar (cotoh data sebelum dimasukka tabel 4), maka X = 51,96 Terdapat perbedaa sebesar 51,96-51,7=0,6 51,96 merupaka X yag sesugguhya 61
Adaya perbedaa tersebut disebabka oleh groupig error / kesalaha pegelompoka dari data kasar ke dalam distribusi kelompok B. Modus (Mode) Merupaka tekik pejelasa kelompok yag didasarka atas ilai yag palig serig mucul dalam kelompok tersebut. Apabila dalam kelompok data tersebut skorya mempuyai frekuesi yag sama, maka data tersebut tidak memiliki modus. Sedagka jika terdapat dua skor yag frekuesiya sama, maka kedua skor dijumlah kemudia dibagi. Pada data distribusi tuggal (cotohya tabel 4), modusya adalah 6 karea mempuyai frekuesi tertiggi yaitu 14.Sedagka pada distribusi kelompok, maka Mo = B + fo f 1 fo f 1 fo f _1 X i dimaa: Mo = modus yag dicari B = Batas bawah dari kelas modus fo = frekuesi kelas modus f1 = frekuesi diatas kelas modus f-1= frekuesi dibawah kelas modus i = iterval dari tabel 5, maka modusya adalah Mo = 49,5 + 8 6 8 6 8 7 X 5 = 49,5 + (0,667X5) = 5,83 6
C. Media (Md) Merupaka salah satu tekik pejelasa kelompok yag didasarka atas ilai tegah dari kelompok data yag telah disusu urutaya dari yag terkecil sampai yag terbesar, atau sebalikya dari yag terbesar sampai yag terkecil Jika gajil, maka Md = ( + 1) : Cotoh: data 1,, 3, 4, 5, 5, 6 Maka Md = (7 + 1) : = 8 : = 4 Jadi mediaya adalah bilaga ke-4 yaitu 4 Jika geap, maka Md = : Cotoh: data 1,, 3, 4, 5, 5, 6, 7 Maka Md = 8 : = 4 Yag dimaksud adalah bilaga ke-4 da ke-5 dijumlah da dibagi Md = (4 + 5) : = 4,5 Jika data berdistribusi kelompok, maka Md = B + Md = ilai media yag dicari / fkb fmd X i B = batas bawah kelas tempat media berada fkb = jumlah frekuesi di kelas yag terletah di bawahya. fmd = jumlah frekuesi kelas tempat media berada i = iterval Cotoh dari tabel 7, maka mediaya adalah: 63
50 / Md = 49,5 + x5 8 = 49,5 + 1,875 = 51,375 D. Kuartil (K) Merupaka bilaga yag membagi data mejadi empat sub kelompok data. Kuartil 1, kuartil, kuartil 3 Utuk data distribusi tuggal, Ki = skor ke i x Ki = kuartil ke i N = jumlah data 1 4 Cotoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 1, 1 16 1 Maka K3 = skor ke 3 x = skor ke 1 ¾ 4 = skor ke 1 + ¾ (skor ke-13 skor ke-1) = 10 + ¾ ( 10-10 ) = 10 + 0 = 10 Utuk data distribusi kelompok i / 4 fkb Ki = B + x i fd Ki = kuartil ke i = jumlah data B = batas bawah pada iterval yag megadug kuartil fkb = frekuesi kumulatif di bawah kelas yag megadug kuartil 64
fd = frekuesi kelas yag megadug kuartil i = iterval cotoh : utuk meghitug K1 Tabel 5.4: distribusi frekuesi kelompok No Iterval Frekuesi TT FK 1 75-79 77 50 70-74 3 7 48 3 65-69 5 67 45 4 60-64 4 6 40 5 55-59 6 57 36 6 50-54 8 5 30 7 45-49 7 47 8 40-44 5 4 15 9 35-39 5 37 10 10 30-34 3 3 5 11 5-9 7 Jumlah 50 Dari tabel di atas diketahui: ¼ = ¼ x 50 = 1,5 (terletak pada FK 15, iterval 40-44) fd = 5 65
fkb = 10 B = 39,5 i = 5 Maka harga K1 = 39,5 + 1,5 10 x 5 = 4 5 Dega perhituga yag sama, maka K = 51,375, K3 = 61. Sehigga apabila dibuat orma pegukura berdasarka ilai kuartil adalah sebagai berikut: Jeis kuartil Nilai Kategori Baik Sekali K3 61 Baik K 51,375 Sedag K3 4 Tidak Baik 66
E. Desil Merupaka bilaga yag membagi data mejadi sepuluh sub kelompok data. Sehigga terdapat D1 sampai D9 Utuk data distribusi tuggal, Di = skor ke i x Di = desil ke i = jumlah data 67 1 10 Cotoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 1, 1 16 1 Maka D4 = skor ke 4 x = skor ke 6,8 10 = skor ke 6 + 0,8 (skor ke-7 skor ke-6) = 7 + 0,8 ( 7-7 ) = 7 + 0 = 7 Utuk data distribusi kelompok i /10 fkb Di = B + x i fd Di = desil ke i = jumlah data B = batas bawah pada iterval yag megadug kuartil fkb = frekuesi kumulatif di bawah kelas yag megadug kuartil fd = frekuesi kelas yag megadug kuartil i = iterval
Berdasarka tabel 11, utuk mecari D6, diketahui: 6/10 = 6/10 x 50 = 30 (terletak pada FK 30, iterval 50-54) fd = 8 fkb = B = 49,5 i = 5 F. Persetil Maka harga D6 = 49,5 + 30 x 5 = 54,5 8 Merupaka bilaga yag membagi data mejadi seratus sub kelompok data. Sehigga terdapat P1 sampai P99 1 Utuk data distribusi tuggal, Pi = skor ke i x 100 Pi = desil ke i = jumlah data Cotoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 1, 1 Maka P60 = skor ke 60 x 16 1 = skor ke 10, 100 = skor ke 10 + 0, (skor ke-11 skor ke-10) = 9 + 0, ( 10-9 ) = 9 + 0, = 9, 68
Utuk data distribusi kelompok Pi = B + i /100 fd fkb x i Pi = persetil ke i = jumlah data B = batas bawah pada iterval yag megadug kuartil fkb = frekuesi kumulatif di bawah kelas yag megadug kuartil fd = frekuesi kelas yag megadug kuartil i = iterval Berdasarka tabel 11, utuk mecari P75, diketahui: 75/100 = 75/100 x 50 = 37,5 (terletak pada FK 40, iterval 60-64) fd = 4 fkb = 36 B = 59,5 i = 5 Maka harga P75 = 59,5 + 37,5 36 x 5 = 61,375 4 G. Variabilitas Variabilitas adalah ukura tetag derajat peyebara ilai-ilai variabel (variasi) dari suatu tedesi setral dalam sebuah distribusi. Utuk megetahui tigkat variasi kelompok data dapat dilakuka dega melihat retag data (rage), varias, stadar deviasi atau simpaga baku dari kelompok data yag telah diketahui tersebut. 69
1. Retag data (Rage) Diguaka utuk megetahui tigkat homogeitas suatu data Rage = (Nilai tertiggi Nilai teredah) +1 Cotoh: Tabel 5.5: homogeitas data Data A Data B 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 16, 19,, 5, 8, 30, 35 X = X 175 = 5 X = 175 = 5 7 X 7 Rage = (6-4)+1 = 3 Rage = (35-16)+1 = 0 Distribusi lebih homoge Distribusi lebih heteroge. Varias Varias merupaka jumlah kuadrat semua deviasi ilai-ilai idividual terhadap rata-rata kelompok. Cotoh meghitug da tabel peolog utuk varias pada data kelompok diberika pada tabel 14. Xi X Rumus varias populasi: Rumus varias sampel: s Xi X 1 3. Stadar Deviasi / Simpaga Baku Merupaka suatu ukura utuk megetahui seberapa besar peyimpaga dalam sebuah distribusi atau disebut juga sebagai akar varias. Cotoh meghitug da tabel peolog utuk stadar deviasi data kelompok diberika pada tabel 14. 70
Rumus simpaga baku populasi: Xi X Rumus simpaga baku sampel: s Xi X 1 a Peghituga stadar deviasi dari peyimpaga skor idividual Dari tabel 5.5, dapat disusu tabel kerja sebagai berikut: Tabel 5.6: simpaga baku skor idividual X x = X - X x X x = X - X x 4-1 1 16-9 81 4-1 1 19-6 36 5 0 0-3 9 5 0 0 5 0 0 5 0 0 8 3 9 6 1 1 30 5 5 6 1 1 35 10 100 jumlah 0 4 jumlah 0 60 s = x s = x s = 4 7 s = 60 7 s = 0,75 s = 6,09 71
b Peghituga stadar deviasi utuk data distribusi tuggal Tabel 5.7: simpaga baku skor idividual No Nilai (X) Frekuesi (f) fx fx 1 4 7 8 11 5 9 45 5 3 6 14 84 504 4 7 6 4 94 5 8 3 4 19 6 9 4 36 34 7 10 0 00 Jumlah 45 79 1851 s = fx fx = 79 1851 45 45 = 11, = 1,64 45 c Peghituga stadar deviasi utuk data distribusi kelompok dega cara frekuesi titik tegah s = Xt X 1 f = frekuesi Xt = titik tegah f dimaa: 7
X = rata-rata hitug Berdasarka tabel 10 diketahui bahwa X = 51,7, maka utuk meghitug simpaga baku disusu tabel kerja sebagai berikut: Tabel 5.8: meghitug simpaga baku Frekuesi TT (Xi- X No Iterval (f) (Xt) (Xi- X ) ) f (Xi- X ) 1 75-79 77 5.3 640.09 180.18 70-74 3 7 0.3 41.09 136.7 3 65-69 5 67 15.3 34.09 1170.45 4 60-64 4 6 10.3 106.09 44.36 5 55-59 6 57 5.3 8.09 168.54 6 50-54 8 5 0.3 0.09 0.7 7 45-49 7 47-4.7.09 154.63 8 40-44 5 4-9.7 94.09 470.45 9 35-39 5 37-14.7 16.09 1080.45 10 30-34 3 3-19.7 388.09 1164.7 11 5-9 7-4.7 610.09 10.18 Jumlah 50 8370.5 s = 8370,5 50 1 = 13,07 73
dega cara rata-rata hitug duga Tabel 5.9: meghitug rata-rata duga No Iterval Frekuesi (f) TT d fd fd 1 75-79 77 5 10 50 70-74 3 7 4 1 48 3 65-69 5 67 3 15 45 4 60-64 4 6 8 16 5 55-59 6 57 1 6 6 6 50-54 8 5 0 0 0 7 45-49 7 47-1 -7 7 8 40-44 5 4 - -10 0 9 35-39 5 37-3 -15 45 10 30-34 3 3-4 -1 48 11 5-9 7-5 -10 50 Jumlah 50 0-3 335 s = i fd fd 74
s = 5 3 335 50 50 = 1,939 75