Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U n. Bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk notasi sigma sebagai berikut: 2. n U 1 + U 2 + U 3 + + U n = i = 1 U i Contoh: 5 1) i i = 1 artinya.. 3. 7 2) (2 i + 3) artinya i = 3 3) 4 i = 1 (2 i 1) artinya 4. 2. Sifat-sifat Notasi Sigma Jika c adalah konstanta dan X dan Y adalah peubah, maka: 5. 6. 1
7. 11. 12. 8. 13. 9. 14. 10. 2
15. 18. 16. 19. 20. 17. 21. 3
22. 25. 26. 23. 27. 24. 4
B. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dalam matematika ada beberapa bentuk pembuktian, yaitu: 1. Pembuktian langsung 2. Pembuktian tidak langsung 3. Pembuktian Induksi Matematika 1. Pembuktian Langsung Pembuktian kebenaran teorema yang berbentuk implikasi p q, dengan asumsi p benar dan ditunjukkan q benar. Pembuktian langsung dalam matematika dapat dibuktikan secara langsung bentuk ruas kiri sama dengan ruas kanan atau sebaliknya. Contoh 1: Buktikan: sin 2 x + cos 2 x = 1. 3. Pembuktian induksi matematika Pembuktian secara induksi matematika, digunakan untuk pembuktian yang nilai variabelnya merupakan bilangan asli. Perhatikan penentuan formula jumlah dari n suku pertama bilangan 1 + 3 + 5 + + (2n 1), dapat dimulai dengan menghitung suku demi suku seperti terlihat pada tabel di bawah ini: Penentuan formula dari bentuk di atas menggunakan prinsip induksi matematika. C. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Prinsip induksi matematika: 2. Pembuktian Tak Langsung Bukti taklangsung adalah membuktikan kebenaran suatu implikasi p q melalui kontraposisi ~q ~ p. Contoh 2: Buktikan bahwa n = tidak terdefinisi. 0 Contoh 3: Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 2 + 5 + 8 +. + (3n 1) = 1 2 n (3n+1) 5
Contoh 4: Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n anggota bilangan asli (5 2n + 3n 1) habis dibagi 9. 2. Deret Kuadrat n Bilangan Asli (deret persegi) Deret: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +. + n 2 = n i=1 i 2 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: n n+1 (2n+1) 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +. + n 2 = 6 D. DERET KHUSUS 1. Deret Bilangan Asli Deret: 1 + 2 + 3 + 4 +. + n = n i=1 i Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 1 + 2 + 3 + 4 +. + n = 1 2 n (n+1) Contoh 5: Tentukan nilai dari: a. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + 20 2 =. 10 b. i=1 i 2 = 6
3. Deret Kubik n Bilangan Asli Deret: 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +. + n 3 = n i=1 i 3 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +. + n 3 = n n+1 2 2 4. Deret Bilangan Persegi Panjang Deret: 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + n (n+1) = n i(i + 1) i=1 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: n n+1 (n+2) 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + n (n+1) = 3 Contoh 6: Tentukan nilai dari: a. 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 19 3 =. Contoh 7: Tentukan nilai dari: a. 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + 8.9 =. 9 b. i=1 i 3 = 5 b. i=1 i(i + 1) = 7
Latihan Soal 1. Buktikan prinsip induksi matematika masing-masing pernyataan berikut: a. 2 + 4 + 6 + + 2n = n 2 + n n 2n 1 (2n+1) c. 1 2 + 3 2 + 5 2 + + (2n 1) 2 = 3 2n n+1 (2n+1) b. 2 2 + 4 2 + 6 2 + + (2n) 2 = 3 d. 1 3 + 3 3 + 5 3 + + (2n 1) 3 = n 2 (2n 2 1) 8
e. 2 3 + 4 3 + 6 3 + + (2n) 3 = 2n 2 (n+1) 2 2. Hitunglah: a. 2 2 + 4 2 + 6 2 + + 100 2 = b. 1 2 + 3 2 + 5 2 + + 99 2 = f. 1-1 - 1 - - 1 2 4 8 = 1 2 n 2 n c. 1 3 + 3 3 + 5 3 + + 99 3 = d. 2 3 + 4 3 + 6 3 + + 100 3 = 9
e. 10 p=1 (2p 1) 3 4. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, nilai (3 2n 1) habis dibagi 8. 9 f. i(i + 1) i=5 =. 3. Buktikan bahwa setiap bilangan asli n, nilai 5 2n 1 habis dibagi 3. 5. Buktikan bentuk notasi sigma: a. 10
b. d. c. 6. untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2 n > n. 11
7. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa pernyataan berikut ini benar untuk semua bilangan bulat positif n. 12