III Sistem LTI Waktu Diskrit Sistem LTI Operasi Kovolusi Watak sistem LTI Stabilitas sistem LTI Kausalitas sistem LTI lts 1
III.1 Sistem LTI Sistem LTI Liear Time Ivariat Liear Tak-ubah-Waktu Liear Shift Ivariat ( LS I ) Sistem LTI adalah sistem yag memiliki sifat superposisi (sifat liear) da sifat ketak-ubaha waktu. Secara matematis sistem LTI mudah diaalisis da dimaipulasi, sehigga memugkika pegembaga berbagai algoritma pegolaha isyarat digital berbasiska sistem LTI. lts 2
Sistem LTI dicirika oleh respos impuls-ya : d[] h[] Sistem LTI h[] -2-1 0 1 2 3 4-2 -1 0 1 2 3 4 Respos Impuls h[] adalah rutu output yag dihasilka oleh sebuah sistem LTI ketika pada iputya diberika rutu uit impuls d[]. lts 3
Sifat ketak-ubaha-waktu : Pergesera rutu impuls sebesar k cuplika aka megakibatka pergesera rutu respos-impuls sebesar k cuplika. d[] -2-1 0 1 2 3 4 Sistem LTI h[] h[] -2-1 0 1 2 3 4 d[-k] -2-1 0 1 2 3 4 Sistem LTI h[] h[-k] -2-1 0 1 2 3 4 lts 4 k k
Sifat superposisi (liear) : Sifat superposisi sistem LTI dapat dimafaatka utuk meyederhaaka perhituga output sistem ketika rutu iput sembarag diberika. Lagkah lagkah perhituga output sistem LTI : 1. Dekomposisika rutu iput sembarag x[] mejadi ruturutu impuls tergeser k da terskala x[k] d[-k]. k adalah iteger didalam rage - sampai dega + 2. Dega satu rutu impuls tergeser k da terskala sebagai iput, hitug rutu output y[] k = x[k] h[ k]. Kerjaka lagkah 2 sampai seluruh rutu impuls tergeser da terskala diberika 3. Jumlahka seluruh hasil perhituga output pada lagkah 2 lts 5
1. Dekomposisi rutu x[] Rutu x[] sembarag : x[] = S x[] k k = - k = -1 x[-1] x[0] x[1] x[2] -2-1 0 1 2 3 4 = x[] x[] -1 x[] k =... x[] -1 + x[] 0 + x[] 1 + x[] 2 +... k = 0 k = 1 + + x[] 0 x[] 1 k = 2 + x[] 2 lts 6
2. Perhituga output sifat tak-ubah waktu x[k] d[ k] h[] x[k] h[ k] Utuk iput kostate x[] = S x[k] d[-k], = - k k iput x[] k output y[] k : : : - 2 x[-2] d[ + 2] x[-2] h[ + 2] - 1 x[-1] d[ + 1] x[-1] h[ + 1] maka output y[] = S = - k x[k] h[-k] Sifat liear (superposisi) 0 x[0] d[] x[0] h[] 1 x[1] d[ - 1] x[1] h[ - 1] 2 x[2] d[ - 2] x[2] h[ - 2] : : : x[] + + y[] lts 7
Diketahui : Rutu taggapa impuls h[] sebuah sistem d[] h[] 1 0,75 0,50 0,25-1 0 1 2 3 h[] -1 0 1 2 3 Pertayaa : Bagaimaa rutu output sistem tsb bila diberika rutu iput x[] sbb x[] y[] h[]? -1 0 1 2 3-1 0 1 2 3 lts
Dekomposisi x[] k = x[] d[ k] y[] k = x[] h[-k] k = 0 1 x[0] d[0] 1 x[0] h[- 0] -1 0 1 2 3-1 0 1 2 3 k = 1 x[1] x[1] d[ 1] x[1] x[1] h[ 1] -1 0 1 2 3-1 0 1 2 3 k = 2 x[2] d[ 2] x[2] h[ 2] x[2] x[2] lts 9-1 0 1 2 3-1 0 1 2 3
k = 3 x[3] d[ 3] x[3] h[ 3] x[3] -1 0 1 2 3 x[3] -1 0 1 2 3 4 5 6 + + x[] y[] -1 0 1 2 3-1 0 1 2 3 4 5 6 y[] S = x[k] h[-k] lts = - k 10
III.2 Operasi Kovolusi Operasi perhituga output sistem LTI dega cara diatas y[] S = x[k] h[-k] k = - disebut operasi kovolusi jumlah. simbol operasi kovolusi y[] = x[k] * h[] S = x[k] h[-k] k = - lts 11
Sifat sifat Kovolusi Komutatif. Uruta rutu dalam kovolusi tidak berpegaruh [ ] h[ ] = x[ ] h[ - k] x * k = - = h k= - [ ] x[ - k] = h[ ] * x[ ] x[] h[] y[] h[] x[] y[] lts 12
Distributif [ ] *( h[ ] + h[ ] ) = x[ ] * h[ ] + x[ ] * h[ ] x 1 2 1 2 x[] h 1 []+ h 2 [] y[] x[] h 1 [] + y[] h 2 [] struktur paralel lts 13
struktur cascade x[] * h 1 [] x[] h 1 [] h 2 [] y[] = x[] * h 1 [] * h 2 [] x[] * h 2 [] x[] h 2 [] h 1 [] y[] = x[] * h 2 [] * h 1 [] x[] h 1 []*h 2 [] y[] Bila h 1 []*h 2 [] = d[], maka h 1 [] adalah iverse dari h 2 [] lts 14
Pemuliha isyarat terdistorsi pada output kaal trasmisi sistem iverse kaal x[] terdistorsi x[] h 1 [] h 2 [] x[] h 1 [] * h 2 [] = d[] h 2 [] = d[] d[-1] buktika! lts 15
x[] h 1 [] + y[] h 1 [] = d[] + 0,5 d[-1] h 2 [] = 0,5 d[] - 0,25 d[-1] h 3 [] = 2 d[] h 1 [] h 3 [] h 4 [] + h 4 [] = - 2 (0,5) U[] x[] h[]? y[] lts 16
Cotoh : 1. Kovolusi dua rutu yag sama, {x[]}, dega durasi N = 6 y[] = x[] * x[] x[k] k = S x[k] x[ - k] = - k 0 x[-k] = 0 0 k x [-k] = -1 0 x[ -1 - k] k = - 2 lts 17 0 x[ -2 -k] k
x[-k] x[k] k = - 7 y[7] = 0 k = - 1 y[-1] = 0 k k k = 0 y[0] = 1 = 1 y[1] = 2 = 5 y[5] = 6 k = 10 y[10] = 1 k = 11 y[11] = 0 > 11 y[] = 0 lts 1 k
y[] = x[] * h[] y[] lts 19
Cotoh 2 : Kovolusi dua rutu { x[] } = {..., 0, 1, 2, 3, 0,... } da { h[] } = {..., 0, 2, 1, 0, 5, 0,... } = 0 x[-k] = -2 = 2 lts 20
lts 21
x[] h[] y[]? lts 22
III.3 Kriteria Stabilitas sistem LTI Sistem LTI disebut stabil jika da haya jika Bukti : Bila x[] bouded, dimaa x[] < L x utuk - < <, maka y[] = S h[k] x[ k] < S h[k] x[-k] < L x S h[k] - k= k= k= y[] adalah rutu bouded, y[] < -, jika da haya jika - Utuk sistem LTI yag rutu taggapa impulsya memeuhi syarat diatas, bila pada iputya diberika rutu { x[]} yag bouded maka pada outputya aka dihasilka rutu { y[]} yag lts 23 bouded
III.4 Kriteria Kausalitas Sistem LTI Sistem kausal adalah sistem yag outputya saat ii ( y[] ), tergatug pada harga iput saat ii ( x[] ) da harga harga iput sebelumya ( x[-1], x[-2],... ) Sistem LTI disebut kausal jika da haya jika rutu taggapa impulsya, Bukti : Utuk sistem kausal, y[] = Dega demikia h[] = 0 utuk < 0 S k = - atau h[k] x[-k] = S S k = - k = 0 (terbukti) lts 24 h[k] x[-k] syarat kausalitas sistem adalah y[] = fugsi x[-k] utuk k positif h[k] x[-k] = 0, h[] = 0 utuk < 0
Soal latiha : Bagaimaa kausalitas da stabilitas sistem LTI yag rutu taggapa uit impulsya sbb h[] = a u[] = a, > 0 0, < 0 Syarat Kausalitas : h[] = 0 utuk < 0 (?) Syarat Stabilitas : k=- S h[k] < (?) lts 25
h[] = a u[] = a, > 0 0, < 0 h[] = 0 utuk < 0, jadi sistem tsb kausal S h[k] = S a k = k=- k=0 1 1 - a, bila a < 1, bila a > 1 Dari deret geometris, S a k = k=0 1 1 - a utuk a < 1, maka sistem aka stabil bila a < 1 lts 26
III.4 Persamaa differece liear dega koefisie tetap salah satu sub-kelompok sistem LTI adalah sistem sistem yag iput x[] da output y[] ya memeuhi persamaa differece liear derajat N dega koefisie kosta, N S a k y[-k] = S b k x[-k] M k=0 k=0 a k da b k : koefisie koefisie kosta lts 27
x[] b 0 + + y[] Z -1 b 1 -a 1 Z -1 Z -1 b 2 -a 2 Z -1 Z -1 b M -a N Z -1 Bagia No-rekursif Bagia Rekursif lts 2
Cotoh : Akumulator y[] = S k = - x[k] -1 S y[] - y[-1] = x[k] - S x[k] k = - k = - = x[] + y[] - y[-1] = x[] Akumulator memeuhi persamaa differece liier dega koefisie kosta sistem LTI! -1 S k = - y[] = x[] + y[-1] x[] y[-1] lts 29-1 x[k] - S k = - + x[k] z -1 y[]
1. Nyataka respos impuls h[] utuk sistem dega persamaa differece y[] = b 0 x[] + b 1 x[-1] + b 2 x[-2] + b 3 x[-3] 2. Hitug output sistem, bila diketahui 1 utuk > -3 (1/3) utuk > 3 h[] = x[] = 3 utuk < -3 3 utuk < 3 lts 30
3. Gambarka rutu output sistem bila rutu taggapa impuls sistem da rutu iput yag diberika adalah sbb. x[] 3 2 h[] 0 1 1 2 3 4 1 0 1 2 3-1 -1-2 lts 31