BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan Acak, Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. (Hogg et al. 2005) Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut: 1. Ø ε F. 2. Jika A ε F, maka A c ε F. 3. Jika A 1,A 2, ε F, maka i=1 A i ε F. Definisi 4 (Ukuran Peluang) (Grimmet dan Stirzaker 2001) Misalkan F adalah medan- σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang P adalah suatu fungsi P : F [0,1] pada (Ω, F ) yang memenuhi: 1. P(Ø) = 0, P(Ω) = 1 2. Jika A 1,A 2, ε F adalah himpunan yang saling lepas yaitu A i A j = Ø untuk setiap pasangan i j, maka P ( i=1 ) = i=1 P(A i ). A i

6 2.2 Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω R dengan sifat {ω ε Ω X(ω) x} ε F untuk setiap x ε R. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital misalnya X,Y, atau Z, sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, atau z. Definisi 6 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari R. Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung, jika C terdiri atas bilangan bulat terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 7 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi F: R [0, 1] yang dinyatakan sebagai F X (x) = P(X x). Definisi 8 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p: R [0,1], yaitu p X (x) = P(X = x). Definisi 9 (Sebaran Bernoulli) Peubah acak diskret X disebut menyebar Bernoulli dengan parameter p, 0 < p < 1, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh: p X (x) = px (1 p) 1 x 0, x = 0,1, x selainnya (Ghahramani 2005)

7 Definisi 10 (Sebaran Normal) Peubah acak X dikatakan peubah acak normal, dengan parameter μ dan σ 2 jika fungsi kepekatan peluang bagi X adalah: f(x; μ, σ 2 ) = 1 σ 2π e (x μ)2 2 σ2, < x < (Ross 1996) 2.3 Nilai Harapan Definisi 11 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi peluang p X (x), maka nilai harapan dari X, yang dinotasikan dengan E(X) adalah asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak. E(X) = x p X (x), x (Hogg et al. 2005) Teorema 2.1 (Sifat-sifat Nilai Harapan) Misalkan X dan Y peubah acak dengan nilai harapan berturut-turut E(X) dan E(Y) maka berlaku: 1. Jika X 0, maka E(X) 0. 2. Jika a, b R maka E(aX + by) = ae(x) + be(y). 3. Jika X adalah peubah acak konstan, dengan P(X = c) = 1 untuk c suatu konstanta, maka E(X) = c. 4. Jika X dan Y adalah bebas stokastik maka E(XY) = E(X)E(Y). Bukti pada lampiran 1. 2.4 Simpangan Baku dan Ragam dari Peubah Acak Diskret Definisi 12 (Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan E(X) = μ adalah nilai harapan dari X, dengan fungsi sebaran F X (X), maka Var(X) dan σ X masing-masing adalah ragam X dan simpangan baku didefinisikan sebagai Var(X) = E[(X μ) 2 ] = (X μ) 2 F X (x) x dan σ X = E[(X μ) 2 ] (Ghahramani 2005)

8 2.5 Teorema Limit Pusat Teorema 2.2 (Teorema Limit Pusat) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah suatu barisan peubah acak yang menyebar bebas stokastik, masing-masing dengan rataan μ dan ragam σ 2. Jika Z n = (X 1 + X 2 + + X n ) nμ σ n d maka Z n konvergen ke sebaran normal baku, dan ditulis Z n Normal (0,1) untuk n, atau lim P(Z n x) = 1 x n 2π e y2 /2 dy. Bukti pada lampiran 2. (Ross 1996) 2.6 Model Risiko Individu Jangka Pendek Dalam perhitungan asuransi, misalkan peubah acak kerugian dari tiap risiko dilambangkan dengan S. Model risiko individu jangka pendek didefinisikan: S = X 1 + X 2 + + X n dimana X i menyatakan besarnya kerugian tertanggung dari unit ke-i, dan n adalah banyaknya unit risiko tertanggung, dan dikatakan jangka pendek karena tidak mempertimbangkan perubahan nilai uang. (Bowers et al. 1997) 2.7 Model Peubah Acak Klaim Individu Pada suatu produk asuransi jiwa dalam satu jangka pembayaran, misalkan peserta membayar sebesar b, peluang klaim dari peserta sebesar q. Peubah acak klaim (X) dengan fungsi massa peluang 1 q f X (x) = P(X = x) = q 0, x = 0, x = b, selainnya dan fungsi sebaran peluangnya

9 0 F X (x) = P(X x) = 1 q 1 Dari fungsi massa peluang didapat:, x < 0,,0 x < b,, x b. E(X) = bq E(X 2 ) = b 2 q Var(X) = b 2 q(1 q). Peubah acak X juga dapat ditulis dalam X = IB, dimana X adalah peubah acak klaim dalam satu periode tertentu, B menyatakan peubah acak klaim total dalam satu periode tersebut, dan I adalah peubah acak indikator dimana I = 1 jika terjadi klaim dan I = 0 jika tidak terjadi klaim. E(X) dan Var(X) dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan E(X) = E E(X I), Var(X) = Var E(X I) + E Var(X I), selanjutnya μ = E[B I = 1], σ 2 = Var(B I = 1), dan didapat E[X] = μq, Var(X) = μ 2 q(1 q) + σ 2 q. (Bowers et al. 1997)

10 2.8 Himpunan dan Fungsi Konveks Definisi 13 (Himpunan Konveks) Himpunan R n dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di, maka ruas garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di. (Peressini et al. 1988) Definisi 14 (Fungsi Konveks) Fungsi f dikatakan fungsi konveks pada selang I jika dan hanya jika f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) untuk setiap x 1, x 2 I dan untuk setiap 0 λ 1. Jika yang berlaku f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) < λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ). Untuk x 1 x 2 dan 0 < λ < 1 maka f dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly conveks). (Peressini et al. 1988) Definisi 15 (Ruang Metrik) Misalkan M adalah himpunan sembarang. Fungsi d: M M R disebut metrik untuk M jika memenuhi sifat: 1. d(x, y) > 0, x, y M, x y. 2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x), x, y M. 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z M. Jika d adalah metrik untuk M maka (M, d) disebut ruang metrik. (Golberg 1976)

11 2.9 Kekontinuan Suatu Fungsi dan Sifat-sifatnya Definisi 16 (Fungsi Kontinu) Misalkan (X, d) dan (Y, ρ) adalah ruang metrik. Fungsi f: X Y dikatakan kontinu di x o X jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0, ada δ > 0 sedemikian rupa sehingga ρ f(x), f(x o ) < ε, bila d(x, x o ) < δ. Fungsi f dikatakan kontinu pada X jika dan hanya jika f kontinu disetiap titik pada X. 2.10 Himpunan Kompak dan Sifat-sifatnya (Golberg 1976) Definisi 17 (Selimut Buka) Misalkan (M, d) adalah ruang metrik dan A M. Suatu koleksi himpunan buka {G α } di M dikatakan selimut buka pada A jika A α G α.. Definisi 18 (Himpunan Kompak) (Golberg 1976) Misalkan (M, d) adalah ruang metrik dan A M. Himpunan A dikatakan kompak jika untuk setiap selimut buka {G α } di A terdapat α 1, α 2,, α n berhingga sedemikian rupa sehingga: n A G αi i=1 (Golberg 1976) 2.11 Fungsi Banyak Variabel Notasi variabel untuk fungsi peubah banyak dituliskan sebagai x dengan x 1 x 2 x = = (x 1, x 2,, x n ) R n x n dan huruf lain, misalkan y, z menyatakan hal yang serupa. Fungsi dari n variabel x 1, x 2,, x n dituliskan dengan f(x 1, x 2,, x n ) = f(x).

12 Gradien dan Matriks Hessian Misalkan fungsi f(x) = f(x 1, x 2,, x n ) mempunyai turunan parsial orde pertama dan orde kedua yang kontinu, maka gradien fungsi f adalah f(x) x 1 f(x) f(x) = x 2 f(x) x n dan matriks Hessian dari fungsi f(x) adalah 2 f(x) 2 f(x) 2 2 f(x) x 1 x 1 x 2 x 1 x n 2 f(x) 2 f(x) Hf(x) = x 2 x 2 2 f(x) 1 x 2 x 2 x n 2 f(x) 2 f(x) 2 f(x) x n x 1 x n x 2 x 2 n Karena f(x) fungsi kontinu, maka 2 f(x) = 2 f(x) x i x j x j x i matriks Hessian Hf(x) merupakan matriks simetrik. (Peressini et al. 1988) 2.12 Matriks Definit dan Pengoptimuman Definisi 19 (Minor Utama) Misalkan A matriks simetrik berukuran n n. Minor utama ke-k dari A, dilambangkan dengan k, adalah determinan dari anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan (n k) baris terakhir dan (n k) kolom terakhir dari matriks A. (Peressini et al. 1988)

13 Teorema 2.3 (Matriks Definit) Misalkan A matriks simetrik berukuran n n, dan misalkan k adalah minor utama ke-k dari A untuk 1 k n, maka 1. A definit positif jika dan hanya jika k > 0 untuk k = 1,, n. 2. A definit negatif jika dan hanya jika ( 1) k k > 0, untuk k = 1,, n. Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 17. Teorema 2.4 (Minimum/Maksimum Lokal) Misalkan f(x) fungsi yang mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu di D R n. Misalkan x titik interior (bukan titik batas) dari D dan x titik kritis dari fungsi f. Misalkan Hf(x) adalah matriks Hessian dari fungsi f(x). Maka x adalah 1. Minimum lokal untuk f(x) jika Hf(x ) definit positif. 2. Maksimum lokal untuk f(x) jika Hf(x ) definit negatif. Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 22. 2.13 Pengoptimuman Taklinear Berkendala Suatu permasalahan optimasi disebut taklinear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk taklinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Bentuk umum pengoptimuman ini adalah masalah (P) untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(x) dengan kendala g j (x). Misalkan x R n dan f(x), g j (x) merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pertama yang kontinu. Fungsi f(x) adalah fungsi tujuan dan g j (x) 0, j = 1,, m, adalah fungsi kendala. Daerah penyelesaian dari fungsi kendala untuk masalah (P) disebut daerah fisibel, dan titik x yang terdapat dalam daerah tersebut disebut titik fisibel. Definisi 20 (Titik Reguler) Titik fisibel x dinamakan titik regular untuk masalah (P), jika himpunan vektor g j (x ) j J(x )

14 adalah bebas linier dengan J(x ) = j 1 j p, g j (x ) = 0 Teorema 2.5 (Kondisi Karush-Kuhn-Tucker) (Peressini et al. 1988) Misalkan x adalah titik reguler untuk masalah (P). Jika x adalah minimum lokal untuk masalah (P), maka terdapat λ R p sehingga: Catatan: 1. f(x p ) + j=1 λ j g j (x ) = 0, 2. λ j g j (x ) = 0, untuk j = m,, p 3. λ j 0, untuk j = m,, p 1. Fungsi L = f(x) + λg(x) disebut fungsi Lagrange dan λ ini disebut Pengali Lagrange. 2. Tiga syarat di atas dapat menjadi syarat cukup jika fungsi f dan fungsi g j merupakan fungsi konveks. Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 186. 2.14 Kesetimbangan Definisi 21 (Kesetimbangan) Kesetimbangan didefinisikan sebagai suatu konstelasi (keadaan) peubah-peubah tertentu yang saling terkait sedemikian rupa sehingga tidak ada kecenderungan dalam dirinya perubahan dalam model yang dibangun oleh peubah-peubah tersebut. (Henderson dan Quandt 1980)