EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK TESIS Oleh MUHAMMAD ISMAIL 127021006/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh MUHAMMAD ISMAIL 127021006/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Judul Tesis : EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK Nama Mahasiswa : Muhammad Ismail Nomor Pokok : 127021006 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 4 Juni 2014
Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2014 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
PERNYATAAN EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya. Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail i
ABSTRAK Perbedaan sifat dasar masalah program stokastik dengan masalah optimisasi lainnya adalah pada cara mendefinisikan fungsi tujuan atau fungsi kendala. Pada program stokastik nilai dari beberapa fungsi ini bersifat numerik dan tergantung pada pengambilan random dalam variabel keputusan. Secara khusus, hal ini berarti bahwa ekspektasi matematika dari fungsi bergantung pada variabel keputusan dan beberapa parameter random atau probabilitas dari beberapa kejadian random dikendalikan oleh variabel keputusan. Program stokastik hanya dapat diselesaikan dengan distribusi diskrit dari kardinalitas terbatas. Biasanya, data input berbentuk distribusi kontinu atau himpunan data yang besar. Pembangkit skenario membentuk distribusi diskrit terbatas dari data input tersebut. Tesis ini akan memfokuskan evaluasi numerik dengan metode pohon skenario dari metode aproksimasi dalam program stokastik. Prosedur untuk mengevaluasi metode pohon skenario diilustrasikan pada kasus portfolio manajemen. Kata kunci: Numerik, Aproksimasi, Stokastik ii
ABSTRACT The difference nature problem of stochastic programs with other optimization problem is on how to define objective function or constraint function. The stochastic program value of some numerical function and depends in random decision-making variables. In particular, this means that mathematical expectation of function depends in decision variables and random parameters or probability of some random events is controlled by the decision variables. The program can only be solved with a stochastic discrete distribution of limited cardinality. Typically, the input data form of a continuous distribution or a large data set. Generating scenarios form a finite discrete distribution of the input data. This thesis will focus on the numerical evaluation of scenario tree method or approximation omethods in stochastic programs. Procedures for evaluating the scenario tree method is illustrated in case of portfolio management. Keyword: Numeric, Approximation, Stochastik iii
KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT memberikan anugrah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA sekaligus pembanding II yang telah memberikan saran dan kritik dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA sekaligus pembanding I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Pembimbing-I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA yang banyak membantu proses administrasi. iv
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Istri tercinta Laila Wanna Hari Rangkuti, S.Pd. dan kedua anak saya Muhammad Herza Ismail dan Muhammad Al Khaliifi Zikri Ismail, ayahanda dan ibunda tercinta Suparman dan Siti Aminah, serta kakak tercinta Siti Mariyam, abang-abang tersayang Muhammad Ali dan Muhammad Razali dan adik-adik tercinta Muhammad Zulham, Siti Masitha dan Rahmat Shaleh yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2012, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan. Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail v
RIWAYAT HIDUP Muhammad Ismail, dilahirkan di Suka Damai, Langkat, pada tanggal 29 Januari 1977, merupakan anak keempat dari enam bersaudara dari ayah Suparman dan Siti Aminah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri di Suka Damai Langkat tahun 1990, Sekolah Lanjutan tingkat Pertama (SLTP) di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Tanjung Pura tahun 1994,dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1) Tanjung Pura pada tahun 1997. Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd)pada tahun 2002. Pada tahun 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA. vi
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix x BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metode Penelitian 3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 2.1 Program Stokastik 5 2.2 Metode Aproksimasi 7 2.3 Metode Numerik 13 BAB 3 POHON SKENARIO 15 3.1 Ukuran Kualitas Pohon Skenario 15 vii
3.2 Membangkitkan Pohon Skenario 16 BAB 4 EVALUASI NUMERIK 22 4.1 Model Statistik 22 4.2 Konstruksi Pohon Skenario 23 BAB 5 KESIMPULAN 26 DAFTAR PUSTAKA 27 viii
DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi 23 4.2 Hasil numerik algoritma 3.2 untuk pohon skenario harga permintaan tahunan 24 ix
DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu T =5 20 4.1 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduksi ε rel =0, 4 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2 24 4.2 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduksi ε rel =0, 55 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2 25 x