Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
|
|
- Ridwan Kusumo
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Istri tercinta Laila Wanna Hari Rangkuti, S.Pd. dan kedua anak saya Muhammad Herza Ismail dan Muhammad Al Khaliifi Zikri Ismail, ayahanda dan ibunda tercinta Suparman dan Siti Aminah, serta kakak tercinta Siti Mariyam, abang-abang tersayang Muhammad Ali dan Muhammad Razali dan adik-adik tercinta Muhammad Zulham, Siti Masitha dan Rahmat Shaleh yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2012, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan. Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail v
2 RIWAYAT HIDUP Muhammad Ismail, dilahirkan di Suka Damai, Langkat, pada tanggal 29 Januari 1977, merupakan anak keempat dari enam bersaudara dari ayah Suparman dan Siti Aminah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri di Suka Damai Langkat tahun 1990, Sekolah Lanjutan tingkat Pertama (SLTP) di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Tanjung Pura tahun 1994,dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1) Tanjung Pura pada tahun Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd)pada tahun Pada tahun 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA. vi
3 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix x BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metode Penelitian 3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Program Stokastik Metode Aproksimasi Metode Numerik 13 BAB 3 POHON SKENARIO Ukuran Kualitas Pohon Skenario 15 vii
4 3.2 Membangkitkan Pohon Skenario 16 BAB 4 EVALUASI NUMERIK Model Statistik Konstruksi Pohon Skenario 23 BAB 5 KESIMPULAN 26 DAFTAR PUSTAKA 27 viii
5 DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi Hasil numerik algoritma 3.2 untuk pohon skenario harga permintaan tahunan 24 ix
6 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu T = Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduksi ε rel =0, 4 yang diperoleh dengan Algoritma Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduksi ε rel =0, 55 yang diperoleh dengan Algoritma x
7 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam beberapa tahun terakhir, program stokastik memiliki popularitas yang semakin meningkat dalam komunitas pemograman matematika. Model pemograman stokastik dapat dilihat sebagai model pemograman matematika dengan ketidakpastian nilai beberapa parameter. Pada nilai tunggal, parameter ini kemudian dijelaskan dengan distribusi (pada kasus periode tunggal), atau dengan proses stokastik (pada kasus multi periode). Kesulitan utama dalam masalah program stokastik adalah dalam menghitung nilai dan gradien (atau subgradien) fungsi masalah. Untuk membahas hal seperti ini lebih rinci, anggap bahwa fungsi objektif F (x) dalam masalah program stokastik didefinisikan sebagai ekspektasi matematika fungsi f(x, ξ), dimana x R n adalah vektor dari variabel keputusan dan ξ adalah vektor berdimensi m dari parameter random. Secara umum, fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai berikut : F (x) =Ef(x, ξ) =f Ω f(x, ξ(w))p (dω) (1.1) dimana Ω menunjukkan ruang probabilitas abstrak dan P adalah ukuran probabilitas. Menurut Kall et al., (1984) ada 2 pendekatan utama yang dapat digunakan untuk mengatasi kesulitan ini, yaitu metode aproksimasi dan metode stokastik quasigradien. Dalam metode aproksimasi masalah yang sebenarnya diganti dengan hal yang sederhana dengan melakukan aproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ξ pada integral yang lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ξ sebagai vektor random diskrit dan hanya digunakan dalam bentuk penjumlahan. Metode stokastik quasigradien tidak menggunakan perhitungan integral. Ide pokok dari 1
8 2 metode ini adalah membuat langkah random dalam aturan perhitungan dasar dari beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada setiap langkah. Kebaikan dari metode aproksimasi adalah tidak cenderung untuk mendapatkan gambaran umum dari F (x), tetapi menggunakan nilai random f(x, ξ k ) dan penyesuaian gradien (atau subgradien dalam kasus nondiferensiasi) dihitung pada beberapa realisasi sampel ξ k dari ξ, k = 0, 1, 2,... (Kall et al., 1984). Kuchler dan Vigerske (2009) menyatakan bahwa ketika membentuk aproksimasi untuk masalah program stokastik, harus dianalisis hal-hal yang saling terkait berikut. 1. Harus menemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random sebenarnya ξ dengan sesuatu yang diskrit. 2. Mempelajari hubungan antara masalah sebenarnya dan masalah aproksimasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat. 3. Membutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, dengan membentuk aproksimasi yang lebih baik untuk ξ. Metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk mendapatkan dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aproksimasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario. Teknik ini mengikuti prinsipprinsip yang berbeda seperti Random Sampling, Ukuran Probabilitas, Quasi Monte- Carlo Sampling (Kuchler dan Vigerske, 2009). Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu. Analisa stabilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lanjutan bagaimana aproksimasi akan terlihat seperti yang terdapat pada hasil penelitian Heitsch et al., (2006) serta Mirkov dan Pflug (2007). Sayangnya, di satu sisi, hasil teoritis ini mungkin memerlukan masalah optimisasi dan variabel-variabel random yang mendasari untuk memenuhi asumsi keteraturan tertentu yang mungkin sulit untuk memverifikasi dalam beberapa kasus.
9 3 Tesis ini akan fokus pada evaluasi numerik dari metode aproksimasi dalam program stokastik yang diberikan. Pendekatan ini tidak menghasilkan metode yang terbaik, tetapi mencoba menemukan cara yang netral dalam mengevaluasi metode yang disarankan. 1.2 Perumusan Masalah Dengan melakukan evaluasi numerik dari metode aproksimasi, persoalan pada tesis ini adalah bagaimana penggunaan pohon skenario untuk mempelajari perilaku dari metode aproksimasi untuk program stokastik. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan evaluasi menggunakan pohon skenario untuk program stokastik yang diilustrasikan dengan evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen. 1.4 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini penting untuk menunjukkan bahwa terdapat persyaratanpersyaratan minimal yang harus dikenakan pada metode pohon skenario sebelum dapat digunakan untuk menyelesaikan program stokastik. 1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari berbagai jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut : 1. Menjelaskan program stokastik; 2. Menjelaskan metode aproksimasi; 3. Menjelaskan metode pohon skenario;
10 4 (a) Ukuran kualitas pohon skenario; (b) Pengujian metode pohon skenario. 4. Membuat evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen; 5. Membahas beberapa aspek dan persyaratan pada metode pohon skenario; 6. Membuat kesimpulan.
11 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Stokastik Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program stokastik dengan tujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Tujuan dan kendala dari sebuah program stokastik adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data yang berasal dari permasalahan yang sebenarnya. Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x 1,x 2,..., x n ). Sebagai contoh x i menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematika adalah : Min f(x 1,x 2,x 3,..., x n ) Kendala : g 1 (x 1,x 2,x 3,..., x n ) 0 g 2 (x 1,x 2,x 3,..., x n ) 0... g n (x 1,x 2,x 3,..., x n ) 0 (x 1,x 2,x 3,..., x n ) X dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif serta g 1,g 2,...g n kendala yang dihadapi dalam program stokastik. adalah Menurut Kal dan Wallace (1994) program Stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data. 5
12 6 Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa: 1. Program stokastik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu); 2. Program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang. Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian. Ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w W. Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak (Kall dan Wallace, 1994). Model pemograman stokastik periode tunggal dapat dirumuskan sebagai z = min F (x) = min x X x X EG [f(x, ξ)] = min f(x, ξ)dg( ξ) x X ξ (2.1) x arg min F (x), jadi x X z = F (x ), dimana ξ adalah vektor random, dan distribusi G harus independen dari vektor keputusan x. Diasumsikan bahwa daerah layak X independen dari ξ, yaitu diasumsikan secara relatif merupakan jalan yang komplit. Notasi topi digunakan untuk membedakan antara masalah sebenarnya dan masalah berbasis skenario, sehingga Ĝ, ˆF, dan ˆx masing-masing digunakan untuk fungsi distribusi, fungsi objektif, dan solusi optimal berbasis skenario. Selain itu, huruf tebal menunjukkan vektor, sehingga ˆξ menyatakan vektor stokastik. Sehingga, versi berbasis skenario dari masalah optimisasi adalah ẑ = min ˆF(x) = min EĜ[f(x, ˆξ)] = min f(x, ˆξ)dĜ(ˆξ) x X x X x X ˆξ (2.2) ˆx arg min ˆF (x), jadi ẑ = ˆF(ˆx ), x X
13 7 2.2 Metode Aproksimasi Dalam kasus tertentu, jika ξ pada (1.1) adalah vektor random diskrit yang hanya mencapai nilai terbatas dari nilai-nilai ξ 1, ξ 2,..., ξ L dengan probabilitas p 1 > 0,p 2 > 0,..., p L > 0, L l=1 p l = 1, sehingga diperoleh L F (x)= p l f(x, ξ l ) (2.3) l=1 Tetapi dalam kasus tertentu lainnya, jika vektor random ξ =(ξ 1, ξ 2,..., ξ m ) mempunyai fungsi probabilitas kepadatan ϕ(ξ 1, ξ 2,..., ξ m ) rumus umum (1.1) menjadi bentuk integral Riemann F (x) = f(x, ξ)ϕ(ξ)dξ 2...dξ m (2.4) R m Untuk mengevaluasi fungsi objektif F pada titik x tertentu perlu menghitung integral ganda yang berhubungan dengan mengukur gambaran ξ. Jika tidak mungkin melakukan integrasi analitis, maka harus digunakan metode numerik, yang biasanya membutuhkan banyak usaha komputasi, yang meningkat pesat dengan dimensi ξ dan dengan akurasi yang dibutuhkan. Menurut Bazaraa dan Shetty (1979), aplikasi dari metode umum pemograman nonlinier untuk masalah pemograman stokastik akan memerlukan perhitungan integral dari bentuk (1.1) pada setiap titik x k,k =0, 1, 2,..., yang dihasilkan dari algoritma optimisasi. Kesulitan meningkat jika teknik yang dihasilkan dari algoritma optimisasi juga memerlukan gradien F (x k ),k =0, 1, 2,..., yang dalam kasus ini menjadi lebih sulit untuk evaluasi secara objektif. Fungsi f(x, ξ) pada (1.1) secara terus-menerus dideferensialkan terhadap x untuk setiap ξ, kemudian, di bawah kondisi tambahan yang wajar F (x) secara terus-menerus dideferensialkan dan F (x) = x f(x, ξ(ω))p (dω) (2.5) Ω dimana x f(x, ξ) menunjukkan gradien dari f terhadap x. Dalam dua kasus tertentu di atas diperoleh L F (x)= p l f(x, ξ l ) (2.6) l=1
14 8 dan F (x) = R m x f(x, ξ)ϕ(ξ)dξ 1 dξ 2...dξ m (2.7) Karena metode pemrograman nonlinier biasanya memerlukan banyak perulangan untuk mencapai daerah hasil, upaya perhitungan total diperlukan di luar biaya yang dapat diberikan. Ada dua pendekatan pokok dalam mengatasi kesulitan di atas : teknik aproksimasi dan metode stokastik quasigradient. Pada teknik aproksimasi masalah sebenarnya diganti dengan hal sederhana melalui mengaproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ξ agar integral pada (1.1) lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ξ sebagai vektor random diskrit dan digunakan pada (2.1). Metode stokastik quasigradient tidak menggunakan perhitungan integral pada (1.1). Ide pokok dari metode ini adalah membuat langkah-langkah random dalam perhitungan berdasarkan beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada tiap langkah. Kebalikan dari teknik aproksimasi, metode ini cenderung tidak mendapatkan gambaran umum dari F (x), tetapi menggunakan nilai random f(x, ξ k ) dan menyesuaikan gradien x f(x, ξ k ) (atau subgradien pada kasus nondiferensial) dihitung pada beberapa realisasi sampel ξ k dari ξ,k =0, 1, 2,... Beberapa jenis metode self-learning dibangun, dimana setiap langkah tertentu mungkin tidak efisien, tetapi nilai yang besar menunjukkan sifat umum statistik yang berarti konvergen dengan satu solusi aproksimasi. Ketika membentuk aproksimasi untuk masalah pemorgraman stokastik harus dianalisis pertanyaan yang saling terkait berikut. 1. Harus ditemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random asli ξ dengan yang diskrit; 2. Harus dipelajari hubungan antara masalah sebenarnya dengan masalah aproksimasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat;
15 9 3. Dibutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, jika tidak cukup, dengan membangun aproksimasi yang lebih baik untuk ξ. Sebelum menyelidiki masalah ini secara detil, berikut beberapa ide dasar dan bentuk matematika dari pendekatan ini. Misalkan Ξ R m menjadi pendukung dari vektor random ξ (yaitu himpunan terkecil tertutup di R m sehingga P {ξεξ} = 1), dan misalkan S L adalah koleksi terbatas dari himpunan bagian Ξ l,l=1, 2,..., L, dimana Ξ memenuhi kondisi berikut: L Ξ l =Ξ, (2.8) l=1 Ξ i Ξ j = ; i j; i, j =1, 2,..., L. (2.9) Dinyatakan bahwa S L adalah partisi dari Ξ. Untuk setiap partisi dapat menggunakan integral (1.1) sebagai berikut L F (x) = f(x, ξ)p (dξ) = f(x, ξ)p (dξ), (2.10) Ξ l=1 Ξ dimana integrasi melalui dukungan Ξ R m dan menggunakan deskripsi dari distribusi ξ pada rentang nilai-nilainya. Pada kasus tertentu (2.2), yang secara khusus berguna, (2.8) menjadi F (x)= L l=1 Ξ l f(x, ξ)ϕ(ξ)dξ 1 dξ 2...dξ m (2.11) Metode yang paling sederhana untuk menghitung integral pada perkiraan masing-masing integral melalui Ξ l sebagai berikut f(x, ξ)p (dξ) f(x, ξ l ) P (dξ) =f(x, ξ l )P {ξεξ l } (2.12) Ξ l Ξ l
16 10 dimana ξ l dipilih mewakili subset Ξ l. Dengan kata lain, diaproksimasi fungsi f(x, ξ) dengan fungsi berikutnya pada ξ, yang bernilai konstan pada setiap himpunan Ξ l,l =1, 2,..., L. Dengan demikian diperoleh aproksimasi F (x): F L (x) = L p l f(x, ξ l ) (2.13) l=1 dengan p l = P {ξεξ l } (2.14) Dari (2.6) dan (2.7) diperoleh L l=1 p l = 1, aproksimasi ini dapat diinterpretasikan secara ekuivalen sebagai aproksimasi ξ dengan sebuah vektor random diskrit ξ mencapai nilai ξ l dengan probabilitas p l,l=1, 2,..., L, dan formula aproksimasi (2.11) tepat berbentuk (2.1). Pada umumnya, jika bentuk Ξ terbatas dan jika max P {ξεξ l} 0 sampai 1 l L L, kemudian untuk setiap x, berdasarkan asumsi yang tepat pada f(x, ξ) diperoleh titik konvergen dari nilai fungsi : F L (x) F (x) sampai L. Hal ini menjadi dasar dan sangat diperlukan, akan tetapi, tidak cukup, karena terdapat konvergensi dari urutan solusi ˆx L dari masalah aproksimasi, atau paling tidak bagian urutan konvergen untuk solusi yang sebenarnya dari masalah optimisasi. Beberapa kondisi tambahan, misalnya kepadatan dari himpunan yang mungkin dari x dengan konvergensi seragam dari F L ke F, dibutuhkan untuk kepastian jenis konvergensi. Hal yang sering terjadi, yaitu bahwa dalam prakteknya nilai x memuaskan, dimana nilai objektif terletak antara nilai toleransi tertentu dengan tujuan ke nilai minimum, dan hal ini mungkin tercapai pada masalah yang lebih luas. Akan tetapi, masih sangat sulit untuk menentukan terlebih dahulu bagaimana sebaiknya partisi dapat memastikan keakuratan aproksimasi. Pembagian Ξ ke dalam beberapa bentuk kecil Ξ l,l = 1, 2,..., L, tanpa strategi apapun secara langsung dapat meningkatkan kompleksitas komputasi dari masalah aproksimasi. Untuk mengilustrasikan kesulitan yang mungkin timbul, andaikan bahwa terdapat 10 variabel acak skalar bebas dalam masalah yang sebenarnya, sehingga ξ =(ξ 1, ξ 2,..., ξ 10 ). Jika dukungan dari setiap ξ j,j =1, 2,..., 10, dibagi menjadi
17 11 10 subinterval, diperoleh himpunan bagian Ξ l dari dukungan Ξ pada ξ, jumlah yang nyata di luar kemampuan komputasi. Untuk menghindari jumlah berlebihan dari subset Ξ l harus digunakan partisi yang tidak seragam yang sesuai untuk sifat dari f(x, ξ) sebagai fungsi ξ. Masalah membentuk beberapa partisi berkaitan erat dengan cara memilih titik-titik ξ l εξ l. Dari segi konvergensi, ini dapat menjadi titik bebas; namun, jika lebih berhati-hati dalam memilih, dinamakan ekspektasi bersyarat ξ l = E{ξ(ω)/ξ(ω)εΞ l } (2.15) dengan probabilitas p l = P {ξ(ω)εξ l } (2.16) maka dapat meningkatkan akurasi aproksimasi pada banyak kasus, tetapi juga memperoleh informasi yang dapat membantu untuk memperbaiki partisi yang benar jika akurasi tidak mencukupi. Memang, jika fungsi f(x, ξ) linier terhadap ξ pada himpunan Ξ l, maka dengan ξ l didefinisikan oleh (2.13) diperoleh kesetaraan pada (2.10), f(x, ξ)p (dξ) =f(x, ξ l )P {ξεξ l } (2.17) Ξ l Ini berarti bahwa pembagian selanjutnya dari subset Ξ l tidak menggunakan peningkatan akurasi dari aproksimasi pada x. Di sisi lain, jika f(x,.) nonlinier pada Ξ l, aproksimasi pada Ξ l dapat agak kasar dan partisi halus dari Ξ l diinginkan. Oleh karena itu, kepadatan partisi pada berbagai sub-wilayah dari bentuk Ξ l harus terkait dengan sifat nonlinier dari f(x,.). Umumnya, tidak diketahui sifat rinci fungsi f(x, ξ), beberapa informasi dapat diperoleh dalam memecahkan masalah aproksimasi yang pasti. Selain itu, sifat dari fungsi f(x,.) berubah ketika x berubah, dan perlu untuk memiliki partisi yang baikmdari x mendekati solusi masalah. Jadi, metode aproksimasi yang membentuk partisi Ξ dan mengaproksimasi sebuah solusi menjadi masalah asli yang saling terkait adalah sebagai berikut:
18 12 1. Pilih partisi awal Ξ l,l=1, 2,..., L yang memenuhi (2.6) dan (2.7); 2. Pilih titik ξ l εξ dan probabilitas p l,l =1, 2,..., L sesuai dengan (2.13) dan (2.14); 3. Memecahkan masalah aproksimasi; 4. Pada solusi x L dianalisis akurasi aproksimasi dengan menyelidiki sifat fungsi f( x L, ξ) pada masing-masing subset Ξ l,l =1, 2,..., L, memilih hal-hal yang harus dibagi lagi, jika akurasi tidak cukup, dan ulangi langkah 3. Realisasi rinci dari prosedur ini tergantung pada sifat dari kelas masalah yang diterapkan. Pendekatan untuk evaluasi aproksimasi dan metode solusi untuk multi stage linier program stokastik dengan mengukur kinerja solusi yang diperoleh pada suatu himpunan skenario out-of-sample. Titik utama dari pendekatan adalah untuk mengembalikan kelayakan solusi untuk masalah aproksimasi sepanjang skenario out-of-sample. Untuk tujuan ini, dipertimbangkan dan dibandingkan kelayakan yang berbeda dan mengoptimalkan berdasarkan metode proyeksi. Dengan demikian, dipelajari bahwa kualitas solusi untuk tes model berdasarkan pada keklasikkan serta mengkombinasikan pohon skenario. Secara umum, metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk memiliki dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aproksimasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario atau pohon skenario terbatas. Teknik ini mengikuti prinsip-prinsip yang berbeda seperti random sampling, momen pencocokan, ukuran probabilitas, Quasi Monte-Carlo sampling. Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu dan sifat perkiraan statistik dan berbatas telah ditetapkan. Analisis stabilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lanjutan bagaimana aproksimasi akan terlibat. Disatu sisi, hasil teoritis ini mungkin memerlukan masalah optimisasi dan variabel-variabel random yang mendasari untuk memenuhi asumsi keteraturan tertentu yang mungkin sulit untuk memverifikasi dalam beberapa kasus kepentingan
19 13 praktis. Di sisi lain, kuantitatif batas kesalahan dan sifat statistik tidak tersedia untuk semua kelas masalah. Selanjutnya, karena kompleksitas numerik dari model program stokastik. kadang-kadang perlu menggunakan aproksimasi yang terlalu kasar untuk mendapatkan batas kesalahan yang berarti atau interval kepercayaan melalui hasil asimtotik. Dalam kasus tersebut, harus menggunakan metode numerik untuk mengukur kinerja dan kualitas dari metode aproksimsi dan solusi. Karena tugas utama program stokastik adalah untuk memberikan strategi keputusan yang cukup kuat yang dapat diterapkan dalam skenario kehidupan nyata, hal itu menunjukkan program tersebut untuk mengukur kualitas suatu metode aproksimsi dengan mengevaluasi solusi (optimal) diperoleh dari pemecahan masalah aproksimasi. Hal ini dapat dilakukan, misalnya, dengan mengevaluasi solusi ini bersama metode pohon skenario. 2.3 Metode Numerik Menurut Ralston dan Rabinowitz (1978) metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Atau bisa dikatakan bahwa metode numerik adalah cara penyelesaian matematis yang dikembangkan dari cara analitis, dan memasuki wilayah simulasi. Salah satu metode numerik yang sering digunakan adalah metode Deret Taylor. Aproksimasi orde ke-0 dilakukan dengan mengambil 1 suku pertama, yaitu nilai sebelumnya. f(x i+1 ) f(x i ) (2.18) Aproksimasi orde ke-1 dilakukan dengan menambahi suku lainnya. f(x i+1 ) f(x i )+f (x i )(x i+1 x i ) f (x i ) adalah kemiringan/slope (2.19) Aproksimasi orde ke-2 dilakukan dengan menambahi lagi suku lainnya. f(x i+1 ) f(x i )+f (x i )(x i+1 x i )+ f (x i ) (x i+1 x i ) 2 (2.20) 2!
20 14 Sehingga Deret Taylor selengkapnya adalah sebagai berikut: f(x i+1 )=f(x i )+f (x i )(x i+1 x i )+ f (x i ) (x i+1 x i ) 2 2! + f (x i ) 3! (x i+1 x i ) f n (x i ) (x i+1 x i ) n + R n (2.21) n! dimana R n = f n+1 (ξ) (n+1)! (x i+1 x i ) n+1 dan ξ adalah suatu harga x pada interval h = x i+1 x i. Seringkali ada baiknya untuk memudahkan Deret Taylor dengan mendefinisikan suatu ukuran langkah h = x i+1 x i dan menyatakan persamaan (2.4) sebagai : f(x i+1 )=f(x i )+f (x i )h + f (x i ) 2! Dimana suku sisa sekarang adalah h 2 + f (x i ) 3! h f n (x i ) h n + R n (2.22) n! R n = f n+1 (ξ) (n + 1)! hn + 1 (2.23)
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK TESIS Oleh MUHAMMAD ISMAIL 127021006/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 EVALUASI NUMERIK
Lebih terperinciBAB 2 PROGRAM STOKASTIK
BAB 2 PROGRAM STOKASTIK 2.1 Pengertian Program Stokastik Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan program stokastik dengan tujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Tujuan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Banyak konsep program stokastik tahap ganda telah dikembangkan. Filosofi dasar dari model metode pemodelan skenario diajukan oleh Hoyland dan Wallace (2001). Para pengguna menyatakan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Persoalan keputusan sering diformulasikan sebagai. persoalan optimisasi, jadi dalam berbagai situasi, pengambil keputusan ingin
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dunia saat ini dilanda oleh adanya kondisi ketidakpastian yang tinggi, namun pengambil keputusan tetap harus menentukan keputusan walau dalam kondisi yang demikian.
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Stokastik Keputusan adalah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada, sedangkan pengambilan keputusan adalah
Lebih terperinciStudi dan Implementasi Integrasi Monte Carlo
Studi dan Implementasi Integrasi Monte Carlo Firdi Mulia - 13507045 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Pengantar Proses Stokastik
Bab 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai pengantar proses stokastik dan rantai Markov, yang akan digunakan untuk analisis pada bab-bab selanjutnya. 2.1 Pengantar Proses
Lebih terperinciPENYELESAIAN PROGRAM LINIER STOKASTIK DENGAN MARKOV CHAIN
PENYELESAIAN PROGRAM LINIER STOKASTIK DENGAN MARKOV CHAIN TESIS Oleh HINDRA 107021010/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 PENYELESAIAN PROGRAM LINIER
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. komoditas, model pergerakan harga komoditas, rantai Markov, simulasi Standard
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas beberapa tinjauan mengenai teori yang diperlukan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya antara lain tentang kontrak berjangka komoditas, model pergerakan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Banyak masalah nyata yang dapat dibawa ke model program linear. Metode penyelesaian program linear telah digunakan para ahli untuk menyelesaikan masalah di
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan
Lebih terperinciIII RELAKSASI LAGRANGE
III RELAKSASI LAGRANGE Relaksasi Lagrange merupakan salah satu metode yang terus dikembangkan dalam aplikasi pemrograman matematik. Sebagian besar konsep teoretis dari banyak aplikasi menggunakan metode
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciBab II. Prinsip Fundamental Simulasi Monte Carlo
Bab II Prinsip Fundamental Simulasi Monte Carlo Metoda monte carlo adalah suatu metoda pemecahan masalah fisis dengan menirukan proses-proses nyata di alam memanfaatkan bilangan acak/ random. Jadi metoda
Lebih terperinciMETODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TESIS Oleh RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK 117021050/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciBab 2 TINJAUAN PUSTAKA
Bab 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Masalah Transportasi Masalah transportasi pertama kali digunakan pada awal perang dunia kedua untuk menentukan bagaimana mengirimkan pasukan yang terletak disuatu tempat latihan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB LANDASAN TEORI Efisiensi Menurut Vincent Gaspersz (998, hal 4), efisiensi adalah ukuran yang menunjukan bagaimana baiknya sumber daya digunakan dalam proses produksi untuk menghasilkan output Efisiensi
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Konsep program linier (linear programming) ditemukan dan diperkenalkan seorang ahli matematika bangsa Amerika, Dr.George Dantzig yaitu dengan dikembangkannya metode
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Suatu integral dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu secara analitik dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu integral dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu secara analitik dan secara numerik. Perhitungan secara analitik dilakukan untuk menyelesaikan integral pada fungsi
Lebih terperinciMODEL MANAJEMEN PEROLEHAN HOTEL UNTUK MULTIPLE DAY STAY DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
MODEL MANAJEMEN PEROLEHAN HOTEL UNTUK MULTIPLE DAY STAY DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh RIMA APRILIA 097021077/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Lebih terperinciBAB 3 LANDASAN TEORI
BAB 3 LANDASAN TEORI 3.1 Pengertian Program Stokastik Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang tidak dapat diprediksi dengan pasti, ada kalanya segala sesuatu berjalan sesuai dengan apa yang diharapkan atau
Lebih terperinci44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA)
44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya dan diketahui jumlah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Program Dinamik
5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Dinamik Pemrograman dinamik adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Pemrograman
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Investasi adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa yang akan
Lebih terperinciBAB 2 KAJIAN PUSTAKA
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Program Linier Penyelesaian program linear dengan algoritma interior point dapat merupakan sebuah penyelesaian persoalan yang kompleks. Permasalahan dalam program linier mungkin
Lebih terperinciBab IV Simulasi Metode Monte Carlo Mengatasi Masalah dalam Distribusi Data
24 Bab IV Simulasi Metode Monte Carlo Mengatasi Masalah dalam Distribusi Data IV.1 Mengenal Metode Monte Carlo Distribusi probabilitas digunakan dalam menganalisis sampel data. Sebagaimana kita ketahui,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Statistika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari prosedur-prosedur
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Statistika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis dan interpretasi data. Statistika
Lebih terperinciBAB 2 PEMROGRAMAN STOKASTIK. 2.1 Program Stokastik Sebagai Suatu Ketidakpastian
BAB 2 PEMROGRAMAN STOKASTIK 2.1 Program Stokastik Sebagai Suatu Ketidakpastian Program stokastik adalah program matematika dimana semua data yang tergabung kedalam tujuan atau batasan berbentuk ketidakpastian
Lebih terperinciBAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL Optimisasi kombinatorial merupakan suatu cara yang digunakan untuk mencari semua kemungkinan nilai real dari suatu fungsi objektif. Proses pencarian dapat dilakukan dengan
Lebih terperinciMETODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO
METODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO TESIS Oleh ADIL H. PANGARIBUAN 087021052/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. distribusi atau bahkan peranan dari suatu distribusi yang lebih luas. Berdasarkan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Program stokastik mempunyai peranan penting dalam bidang matematika, dimana permasalahn tersebut dapat berupa ketidakpastian penyelesaian pada suatu distribusi atau
Lebih terperinciIII. HASIL DAN PEMBAHASAN
III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Hampir semua fenomena di dunia ini memiliki beberapa ketidakpastian,
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Hampir semua fenomena di dunia ini memiliki beberapa ketidakpastian, yang tidak dapat diperkirakan sebagai sesuatu yang pasti. Pada umumnya pengukuran berulang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mengenai landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya. 2.1 Matriks Sebuah matriks, biasanya dinotasikan dengan huruf kapital tebal seperti A,
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA ( ) ( ) ( )
TINJAUAN PUSTAKA Penarikan Contoh Acak Berlapis Penarikan contoh acak berlapis adalah suatu rancangan penarikan contoh acak yang membagi N unit dari populasi ke dalam L strata yang tidak saling tumpang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Di zaman sekarang, kemajuan sains dan teknologi sangat berkembang pesat. Salah satu ilmu yang berkembang adalah matematika yang merupakan induk dari semua ilmu
Lebih terperinciBAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY
BAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY 3.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang Ω,,. Misalkan ; adalah rantai Markov dengan state berhingga
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Di dalam statistika, sebuah estimator adalah hasil perhitungan suatu estimasi terhadap kuantitas tertentu berdasarkan pada data terobservasi atau
Lebih terperinciMODEL MANAJEMEN ASSET-LIABILITY UNTUK DANA PENSIUN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
MODEL MANAJEMEN ASSET-LIABILITY UNTUK DANA PENSIUN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh NOVIANTI 107021013/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 MODEL
Lebih terperinciImplementasi Metode Jumlah Riemann untuk Mendekati Luas Daerah di Bawah Kurva Suatu Fungsi Polinom dengan Divide and Conquer
Implementasi Metode Jumlah Riemann untuk Mendekati Luas Daerah di Bawah Kurva Suatu Fungsi Polinom dengan Divide and Conquer Dewita Sonya Tarabunga - 13515021 Program Studi Tenik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
7 BAB II LANDASAN EORI 2.. Dasar Dasar Peluang Program stokastik adalah salah satu cabang matematika yang berhubungan dengan keputusan optimal dalam keadaan tidak pasti yang dinyatakan dengan distribusi
Lebih terperinciManajemen Sains. Pengenalan Riset Operasi. Eko Prasetyo Teknik Informatika
Manajemen Sains Pengenalan Riset Operasi Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011 Pendahuluan Riset Operasi (Operations Research/OR) banyak diterapkan dalam menyelesaikan masalahmasalah
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva
PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva Permasalahan dan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi,
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Beras merupakan salah satu kebutuhan pokok manusia yang harus dipenuhi setiap harinya. Beras memiliki peranan penting dalam kelangsungan hidup manusia. Untuk memenuhi
Lebih terperinciBab 3 MODEL DAN ANALISIS MATEMATIKA
Bab 3 MODEL DAN ANALISIS MATEMATIKA Pada bab ini akan dimodelkan permasalahan penyebaran virus flu burung yang bergantung pada ruang dan waktu. Pada bab ini akan dibahas pula analisis dari model hingga
Lebih terperinciTEKNIK SIMULASI. Nova Nur Hidayati TI 5F
TEKNIK SIMULASI Nova Nur Hidayati TI 5F 10530982 PENDAHULUAN TUJUAN MEMPELAJARI SIMULASI Melalui kuliah ini diharapkan kita dapat mempelajari suatu sistem dengan memanfaatkan komputer untuk meniru (to
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH SIMULASI (KB) KODE / SKS : KK / 3 SKS
KODE / SKS : KK-01333 / 3 SKS 1 Pengertian dan tujuan 1. Klasifikasi Model 1 Simulasi. Perbedaan penyelesaian problem Dapat menjelaskan klasifikasi model dari matematis secara analitis dan numeris suatu
Lebih terperinciMOTIVASI. Secara umum permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Solusi persamaan : 1. analitis 2.
KOMPUTASI NUMERIS Teknik dan cara menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan Mencakup sejumlah besar perhitungan aritmatika yang sangat banyak dan menjemukan Diperlukan komputer MOTIVASI
Lebih terperinciPERENCANAAN PRODUKSI DENGAN HASIL DAN PERMINTAAN TAK PASTI
PERENCANAAN PRODUKSI DENGAN HASIL DAN PERMINTAAN TAK PASTI TESIS Oleh MUHAMMAD DALIANI 117021043/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 PERENCANAAN PRODUKSI
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciTriyana Muliawati, S.Si., M.Si.
SI 2201 - METODE NUMERIK Triyana Muliawati, S.Si., M.Si. Prodi Matematika Institut Teknologi Sumatera Lampung Selatan 35365 Hp. +6282260066546, Email. triyana.muliawati@ma.itera.ac.id 1. Pengenalan Metode
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Deret Taylor Deret Taylor dinamai berdasarkan seorang matematikawan Inggris, Brook Taylor (1685-1731) dan deret Maclaurin dinamai berdasarkan matematikawan Skotlandia, Colin
Lebih terperinciBAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA
BAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA 5.1 Harga Saham ( ( )) Seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa opsi Amerika dapat dieksekusi kapan saja saat dimulainya kontrak
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. mengikutkan konsep dasar, seperti kapasitas dan kesesuaian. Syarat-syarat yang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam perencanaan sistem suatu struktur, hampir semua teknik mengikutkan konsep dasar, seperti kapasitas dan kesesuaian. Syarat-syarat yang harus dipenuhi struktur
Lebih terperinciPERANAN FUNGSI OBJEKTIF LINIER DALAM METODE BARRIER
PERANAN FUNGSI OBJEKTIF LINIER DALAM METODE BARRIER TESIS Oleh DAME IFA SIHOMBING 117021023/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi
Lebih terperinciMODEL PROGRAM STOKASTIK DALAM TRANSPORTASI DAN LOGISTIK
MODEL PROGRAM STOKASTIK DALAM TRANSPORTASI DAN LOGISTIK Chairunisah Abstrak Problema transportasi dan logistik dikarakteristikkan dengan proses informasi yang sangat dinamis, seperti : pesanan konsumen
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. : k N} dan A(m) menyatakan banyaknya m suku pertama (x n ) yang menjadi suku (x nk ), maka A(m)
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Konvergensi barisan bilangan real mempunyai banyak peranan dan aplikasi yang cukup penting pada beberapa bidang matematika, antara lain pada teori optimisasi,
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA. ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah. dalam hal pembahasan hasil utama berikutnya.
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciPengantar Metode Numerik
Pengantar Metode Numerik Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika. Metode numerik menggunakan perhitungan
Lebih terperinciBAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL. Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL 2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang memenuhi kondisi atau batasan yang disebut kendala dari
Lebih terperinciHUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.
HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang December 2, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik December 2, 2013 1 / 18 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciIII. LANDASAN TEORI A. PERENCANAAN PROYEK INVESTASI
III. LANDASAN TEORI A. PERENCANAAN PROYEK INVESTASI Menurut Khadariah (986), proyek adalah suatu keseluruhan kegiatan yang menggunakan sumber-sumber untuk memperoleh manfaat (benefit), atau suatu kegiatan
Lebih terperinciSidang Tugas Akhir - Juli 2013
Sidang Tugas Akhir - Juli 2013 STUDI PERBANDINGAN PERPINDAHAN PANAS MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DAN CRANK-NICHOLSON COMPARATIVE STUDY OF HEAT TRANSFER USING FINITE DIFFERENCE AND CRANK-NICHOLSON METHOD
Lebih terperinciAnalisis Komponen Utama (Principal component analysis)
Analisis Komponen Utama (Principal component analysis) A. LANDASAN TEORI Misalkan χ merupakan matriks berukuran nxp, dengan baris-baris yang berisi observasi sebanyak n dari p-variat variabel acak X. Analisis
Lebih terperinciBAB III MODEL STATE-SPACE. dalam teori kontrol modern. Model state space dapat mengatasi keterbatasan dari
BAB III MODEL STATE-SPACE 3.1 Representasi Model State-Space Representasi state space dari suatu sistem merupakan suatu konsep dasar dalam teori kontrol modern. Model state space dapat mengatasi keterbatasan
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel
5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang September 27, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik September 27, 2013 1 / 12 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciMenurut Ming-Hsuan, Kriegman dan Ahuja (2002), faktor-faktor yang mempengaruhi sebuah sistem pengenalan wajah dapat digolongkan sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Bab ini akan menjelaskan berbagai landasan teori yang digunakan oleh penulis dalam penelitian ini dan menguraikan hasil studi literatur yang telah dilakukan penulis. Bab ini terbagi
Lebih terperinciBAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN
BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN 4.1. Asimtotik Orde-2 Berdasarkan hasil simulasi pada Helmers dan Mangku (2007) kasus kernel seragam, aproksimasi asimtotik orde pertama pada ragam dan bias, gagal memprediksikan
Lebih terperinciBAB IV SIMULASI MONTE CARLO
BAB IV SIMULASI MONTE CARLO Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit,
Lebih terperinciBAB III PENJADWALAN KULIAH DI DEPARTEMEN MATEMATIKA DENGAN ALGORITMA MEMETIKA. Penjadwalan kuliah di departemen Matematika UI melibatkan
BAB III PENJADWALAN KULIAH DI DEPARTEMEN MATEMATIKA DENGAN ALGORITMA MEMETIKA Penjadwalan kuliah di departemen Matematika UI melibatkan beberapa komponen yakni ruang kuliah, dosen serta mahasiswa. Seorang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pemodelan difusi dan sebaran temperatur pada geometri menjadi hal yang penting dalam berbagai bidang, seperti bidang fisika, kimia maupun kedokteran. Persamaan
Lebih terperinciSistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang
Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna
Lebih terperinciOPTIMASI PROGRAM LINIER PECAHAN DENGAN FUNGSI TUJUAN BERKOEFISIEN INTERVAL
Saintia Matematika Vol. XX, No. XX (XXXX), pp. 17 24. OPTIMASI PROGRAM LINIER PECAHAN DENGAN FUNGSI TUJUAN BERKOEFISIEN INTERVAL M Khahfi Zuhanda, Syawaluddin, Esther S M Nababan Abstrak. Beberapa tahun
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinciBab IV Simulasi dan Pembahasan
Bab IV Simulasi dan Pembahasan IV.1 Gambaran Umum Simulasi Untuk menganalisis program pemodelan network flow analysis yang telah dirancang maka perlu dilakukan simulasi program tersebut. Dalam penelitian
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciHanif Fakhrurroja, MT
Pertemuan 2 Model-Model Riset Operasional Hanif Fakhrurroja, MT PIKSI GANESHA, 2013 Hanif Fakhrurroja @hanifoza hanifoza@gmail.com Pendahuluan Pendahuluan Model Dalam Riset Operasional Sebuah model keputusan
Lebih terperinciSYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciPENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR TESIS Oleh FADHILAH JULI YANTI HARAHAP 127021019/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Lebih terperinciAnalisis Model dan Simulasi. Hanna Lestari, M.Eng
Analisis Model dan Simulasi Hanna Lestari, M.Eng Simulasi dan Pemodelan Klasifikasi Model preskriptif deskriptif diskret kontinu probabilistik deterministik statik dinamik loop terbuka - tertutup Simulasi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Proses Industrialisasi mengkonsumsi sejumlah besar air yang digunakan untuk
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Proses Industrialisasi mengkonsumsi sejumlah besar air yang digunakan untuk operasi pembersihan, proses pemisahan, uap dan pembangkit listrik, pendingin, dan lain lain.
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciMODEL PERSOALAN PENENTUAN LOKASI KOMPETITIF
MODEL PERSOALAN PENENTUAN LOKASI KOMPETITIF TESIS Oleh DESI VINSENSIA 107021005/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 UNIVERSITAS UNIVERSITAS SUMATERA SIMATERA
Lebih terperinciFAKTOR - FAKTOR YANG MEMPENGARUHI KEPADATAN PENDUDUK KOTA MEDAN TAHUN 2012
FAKTOR - FAKTOR YANG MEMPENGARUHI KEPADATAN PENDUDUK KOTA MEDAN TAHUN 2012 TUGAS AKHIR Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Ahli Madya RAHMAD NUR HIDAYAT S 102407069 PROGRAM
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Optimasi Non-Linier Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinier
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Semakin tingginya mobilitas penduduk di suatu negara terutama di kota besar tentulah memiliki banyak permasalahan, mulai dari kemacetan yang tak terselesaikan hingga moda
Lebih terperinci