BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI PROGRAM. pengujian struktur aljabar, yaitu implementasi sistem tersebut dan juga evaluasi dari

BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI PROGRAM Pada bab 4 ini akan dijelaskan mengenai hasil dari rancangan program aplikasi pengujian struktur aljabar, yaitu implementasi sistem tersebut dan juga evaluasi dari implementasi system untuk mengetahui kelebihan dan kelemahan serta kinerja sistem aplikasi yang telah dibuat. 4.1 Kebutuhan Sistem Kebutuhan untuk menjalankan sistem aplikasi yang telah dibuat sangat berkaitan dengan perangkat yang digunakan. Beberapa kriteria standar ditentukan agar sistem aplikasi yang dibuat dapat dijalankan. Kebutuhan tersebut menyangkut perangkat keras maupun perangkat lunak yang digunakan untuk menjalankan sistem aplikasi pembuktian struktur aljabar ini. Dalam perancangan program aplikasi ini, digunakan komputer dan sistem operasi dengan spesifikasi sebagai berikut. Processor : AMD Athlon II X4 630 2.8 GHz Memory : 4 GB DDR 3 Operating System : Microsoft Windows 7 Professional x64 Sedangkan untuk membuat aplikasi ini digunakan software IDE Netbeans 7 dengan bahasa pemrograman Java. Program aplikasi ini dapat dijalankan pada semua komputer dengan sistem operasi apapun yang memiliki Java Runtime Environment (JRE). 4.2 Pengoperasian dan Tampilan Program Aplikasi Untuk menjalankan aplikasi ini, cukup dengan menjalankan java executable dari program.

54 4.2.1 Pengoperasian Program Utama Program utama dalam aplikasi ini menawarkan pilihan untuk meng-input elemen-elemen himpunan dan tabel Cayley kepada pengguna, yang nantinya hasil dari input tersebut akan diuji ke dalam pengklasifikasian struktur aljabar grup umum dan grup khusus. Berikut akan dijelaskan langkah demi langkah contoh pengoperasian pengujian tersebut. 4.2.2 Tampilan Layar Aplikasi Tampilan awal program berupa sambutan dan keterangan mengenai kegunaan aplikasi, dengan demikian pengguna akan langsung memahami fungsi utama program. Gambar 4.1 Tampilan Pembuka Pada tahap ini, satu-satunya pilihan yang tersedia adalah untuk melakukan input himpunan beserta tabel Cayley untuk dua himpunan terpisah. Jelas bahwa sebelum input tersedia secara lengkap, pengujian tidak dapat dilakukan.

55 Gambar 4.2 Tampilan dengan Pilihan untuk Meng-input Input kepada sistem dapat dilakukan melalui menu File > Input. Menu ini akan menampilkan form input yang dapat digunakan untuk memberikan input berupa dua himpunan yang akan diuji.

56 Gambar 4.3 Tampilan untuk Menginput Elemen Himpunan Himpunan input dituliskan sebagai sejumlah elemen yang dipisahkan oleh koma. Sedangkan operator dapat dipilih dari daftar yang tersedia di sampingnya. Pilihan operator yang ada adalah +, -, *, #,, dan. Setelah informasi input lengkap diisi, tombol Submit dapat ditekan untuk menghasilkan kerangka tabel Cayley. Tombol Clear berguna untuk menghapus himpunan input yang telah di-submit jika terdapat kesalahan.

57 Gambar 4.4 Tampilan Setelah Elemen di-input Selanjutnya tabel Cayley dapat dilengkapi dengan hasil operasi biner yang diinginkan. Proses pengisian yang sama berlaku pula bagi himpunan kedua. Setelah kedua himpunan selesai di-input, tombol Finish dapat ditekan. Jika elemen, operasi biner, dan hasil operasi biner tidak diisi, maka akan muncul peringatan seperti berikut.

58 Gambar 4.5 Tampilan Elemen Tidak di-input Jika diketahui tabel Cayley himpunan A masih ada yang belum lengkap diisi namun pengguna telah menekan tombol Finish, akan muncul peringatan seperti berikut.

59 Gambar 4.6 Tampilan Notifikasi Tabel Cayley A Peringatan juga akan muncul seperti berikut jika pengguna menekan tombol Finish tanpa mengisi tabel Cayley selanjutnya pada himpunan B.

60 Gambar 4.7 Tampilan Notifikasi Tabel Cayley B Setelah proses input selesai dilakukan, tampilan program akan kembali ke program utama. Pada jendela utama kini tersedia pilihan untuk melakukan berbagai uji grup dan Menu File > Input tidak bisa lagi dipilih. Sebagai gantinya, himpunan input dapat dimodifikasi menggunakan tombol Edit.

61 Gambar 4.8 Tampilan Program Utama Tombol Detail akan membuka jendela laporan hasil uji karakteristik dan grup umum masing-masing himpunan. Gambar 4.9 Tampilan Detail Himpunan Karakteristik yang diuji adalah tertutup, asosiatif, identitas (unkes), invers, dan komutatif. Grup umum yang diuji adalah grupoid, semigrup, monoid, dan grup. Untuk masing-masing hasil uji, tersedia tooltip untuk melihat detail hasil pengujian.

62 Gambar 4.10 Tampilan Detail Disertai Tooltip (Sifat Umum) Gambar di atas adalah gambar dengan hasil uji yang dijelaskan dengan tooltip. Seperti juga pada gambar di bawah ini. Gambr 4.11 Tampilan Detail Disertai Tooltip (Grup Umum) Selanjutnya, uji grup khusus dapat dilakukan dengan meng-klik tombol Group Test yang ada pada tampilan utama. Tombol ini akan membuka jendela baru yang berisi pengujian grup-grup khusus dan laporan detailnya.

63 Gambar 4.12 Tampilan Pengujian Grup Khusus Jika sebelumnya hanya di-input elemen pada 1 himpunan saja, maka tampilan grup khusus akan menjadi seperti berikut. Gambar 4.13 Tampilan Pengujian Grup Khusus (1 Himpunan) Berikut adalah tampilan dari masing-masing grup khusus yang dapat diuji yaitu grup siklik, grup komutatif, homomorfisma grup, grup periodik, grup aperiodik, grup campuran, grup faktor, dan subgrup normal.

64 Uji Grup Siklik Gambar 4.14 Tampilan Pengujian Grup Siklik Uji Grup Siklik menganalisa generator-generator yang dimiliki kedua himpunan dan apakah mereka masing-masing merupakan grup siklik. Laporan hasil uji menampilkan daftar generator beserta masing-masing ordenya. Uji Grup Komutatif Gambar 4.15 Tampilan Pengujian Grup Komutatif Uji Grup Komutatif menganalisa apakah masing-masing himpunan merupakan grup komutatif. Sifat grup dan sifat komutatif diuji dan hasilnya dirinci sebagai laporan.

65 Uji Homomorfisma Grup Gambar 4.16 Tampilan Pengujian Homomorfisma Grup Uji Homomorfisma Grup memeriksa dua arah, yakni apakah θ: A B dan θ: B A merupakan homomorfisma grup dengan f: A B dan f: B A yang telah didefinisikan sebelumnya. Hasil laporan berupa keterangan karakteristik fungsi (Injektif, Surjektif, Bijektif) dan hasil uji sifat homomorfismanya sendiri. Uji Grup Periodik, Aperiodik, dan Campuran (Type of Group) Gambar 4.17 Tampilan Pengujian Grup Periodik, Aperiodik, dan Campuran Uji Grup Berhingga menganalisis apakah masing-masing grup merupakan grup berhingga. Elemen identitas himpunan akan dipisahkan dan elemen lainnya akan

66 diperiksa ordenya untuk menghasilkan elemen identitas tersebut. Selanjutnya laporan akan menunjukkan apakah himpunan bersifat periodik, aperiodik, atau campuran. Uji Subgrup Normal Gambar 4.18 Tampilan Pengujian Subgrup Normal Uji Subgrup normal dilakukan dua arah, yakni A terhadap B dan B terhadap A. Masing-masing pengujian merupakan gabungan antara 2 pengujian yang lebih kecil, yakni pengujian subgroup dan pengujian subgroup normal. Jika tidak lolos pengujian subgroup, maka pengujian subgroup normal (koset kiri = koset kanan) tidak akan dilakukan.

67 Uji Grup Faktor Gambar 4.19 Tampilan Pengujian Grup Faktor Uji Grup Faktor menunjukkan dekomposisi himpunan A yang merupakan Union dari B dan memeriksa apakah hasil dekomposisinya membentuk grup sendiri. Jika ya, hubungan A/B akan dilaporkan sebagai Grup Faktor. 4.3 Proses Pengujian Untuk mengetahui program apakah dapat melakukan pengujian dengan tepat atau tidak, akan dilakukan percobaan pada 2 himpunan berikut. Pengujian dilakukan secara manual dan juga menggunakan program yang akan diukur masing-masing waktu tempuhnya dengan stopwatch. Diketahui: 1. Sistem Aljabar (G,*) terdiri dari: Himpunan G = {0, 1, 2} Operasi * didefinisikan sebagai operasi penjumlahan modulo 3 2. Sistem Aljabar (H,#) terdiri dari: Himpunan permutasi H = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)}

68 Operasi # didefinisikan sebagai operasi komposisi Ditanyakan: Apakah kedua himpunan tersebut merupakan grup? Jika terbukti adalah grup, apakah termasuk dalam kategori grup siklik, grup abelian (komutatif), homomorfisma grup, grup periodik, grup aperiodik, grup campuran, subgrup normal, dan grup faktor? 4.3.1 Pengujian Manual Pertama didefinisikan hasil operasi dari masing-masing sistem aljabar pada tabel Cayley. Untuk operasi penjumlahan modulo 3 pada tabel G seluruh kemungkinan hasil operasinya adalah sebagai berikut. Tabel 4.1 Operasi Penjumlahan Modulo 3 * 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Sedangkan untuk operasi komposisi pada himpunan permutasi H, seluruh kemungkinan hasil operasinya adalah sebagai berikut. Tabel 4.2 Operasi Komposisi pada Himpunan Permutasi # (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 3) (2 3) (1 2) (1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 2) (1 2) (2 3) (1 3) (1) (1 3 2) (1 2 3) (1 3) (1 3) (1 2) (2 3) (1 2 3) (1) (1 3 2) (2 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1 3 2) (1 2 3) (1) Lalu dimulai pengujian sifat untuk klasifikasi struktur aljabar umum. Rinciannya yakni sebagai berikut.

69 1. Tertutup Untuk sistem aljabar (G,*), seluruh kemungkinan hasil operasi ada dalam jangkauan elemen himpunan G. Demikian pula untuk sistem aljabar (H,#), seluruh kemungkinan hasil operasi ada dalam jangkauan elemen himpunan H. Terbukti operasi pada (G,*) dan operasi pada (H,#) berifat tertutup 2. Asosiatif Untuk sistem aljabar (G,*) dilakukan pengujian terhadap semua kemungkinan pasangan operasi. Tabel 4.3 Hasil Uji Asosiatif (G,*) 0*(0*0) = 0*0 = 0 sama dengan 0 = 0*0 = (0*0)*0 0*(0*1) = 0*1 = 1 sama dengan 1 = 0*1 = (0*0)*1 0*(0*2) = 0*2 = 2 sama dengan 2 = 0*2 = (0*0)*2 0*(1*0) = 0*1 = 1 sama dengan 1 = 1*0 = (0*1)*0 0*(1*1) = 0*2 = 2 sama dengan 2 = 1*1 = (0*1)*1 0*(1*2) = 0*0 = 0 sama dengan 0 = 1*2 = (0*1)*2 0*(2*0) = 0*2 = 2 sama dengan 2 = 2*0 = (0*2)*0 0*(2*1) = 0*0 = 0 sama dengan 0 = 2*1 = (0*2)*1 0*(2*2) = 0*1 = 1 sama dengan 1 = 2*2 = (0*2)*2 1*(0*0) = 1*0 = 1 sama dengan 1 = 1*0 = (1*0)*0 1*(0*1) = 1*1 = 2 sama dengan 2 = 1*1 = (1*0)*1 1*(0*2) = 1*2 = 0 sama dengan 0 = 1*2 = (1*0)*2 1*(1*0) = 1*1 = 2 sama dengan 2 = 2*0 = (1*1)*0 1*(1*1) = 1*2 = 0 sama dengan 0 = 2*1 = (1*1)*1 1*(1*2) = 1*0 = 1 sama dengan 1 = 2*2 = (1*1)*2 1*(2*0) = 1*2 = 0 sama dengan 0 = 0*0 = (1*2)*0 1*(2*1) = 1*0 = 1 sama dengan 1 = 0*1 = (1*2)*1 1*(2*2) = 1*1 = 2 sama dengan 2 = 0*2 = (1*2)*2 2*(0*0) = 2*0 = 2 sama dengan 2 = 2*0 = (2*0)*0 2*(0*1) = 2*1 = 0 sama dengan 0 = 2*1 = (2*0)*1 2*(0*2) = 2*2 = 1 sama dengan 1 = 2*2 = (2*0)*2 2*(1*0) = 2*1 = 0 sama dengan 0 = 0*0 = (2*1)*0 2*(1*1) = 2*2 = 1 sama dengan 1 = 0*1 = (2*1)*1 2*(1*2) = 2*0 = 2 sama dengan 2 = 0*2 = (2*1)*2 2*(2*0) = 2*2 = 1 sama dengan 1 = 1*0 = (2*2)*0 2*(2*1) = 2*0 = 2 sama dengan 2 = 1*1 = (2*2)*1 2*(2*2) = 2*1 = 0 sama dengan 0 = 1*2 = (2*2)*2

70 Terbukti operasi pada sistem aljabar (G,*) bersifat asosiatif. Demikian pula dilakukan pengujian sifat asosiatif untuk semua kemungkinan pasangan operasi pada sistem aljabar (H,#) sebagai berikut. Untuk memudahkan pembacaan pada tabel digunakan simbol pengganti bagi elemen-elemen, yaitu : (1) menjadi 1 (1 2) menjadi 12 (1 2 3) menjadi 123 (1 3) menjadi 13 (1 3 2) menjadi 132 (2 3) menjadi 23 Tabel 4.4 Hasil Uji Asosiatif (H,#) 1#(1#1) = 1#1 = 1 sama dengan 1 = 1#1 = (1#1)#1 1#(1#123) = 1#123 = 123 sama dengan 123 = 1#123 = (1#1)#123 1#(1#132) = 1#132 = 132 sama dengan 132 = 1#132 = (1#1)#132 1#(1#12) = 1#12 = 12 sama dengan 12 = 1#12 = (1#1)#12 1#(1#13) = 1#13 = 13 sama dengan 13 = 1#13 = (1#1)#13 1#(1#23) = 1#23 = 32 sama dengan 23 = 1#23 = (1#1)#23 1#(123#1) = 1#123 = 123 sama dengan 123 = 123#1 = (1#123)#1 1#(123#123) = 1#132 = 132 sama dengan 132 = 123#123 = (1#123)#123 1#(123#132) = 1#1 = 1 sama dengan 1 = 123#132 = (1#123)#132 1#(123#12) = 1#13 = 13 sama dengan 13 = 123#12 = (1#123)#12 1#(123#13) = 1#23 = 23 sama dengan 23 = 123#13 = (1#123)#13 1#(123#23) = 1#12 = 12 sama dengan 12 = 123#23 = (1#123)#23 1#(132#1) = 1#132 = 132 sama dengan 132 = 132#1 = (1#132)#1 1#(132#123) = 1#1 = 1 sama dengan 1 = 132#123 = (1#132)#123 1#(132#132) = 1#123 = 123 sama dengan 123 = 132#132 = (1#132)#132 1#(132#12) = 1#23 = 23 sama dengan 23 = 132#12 = (1#132)#12 1#(132#13) = 1#12 = 12 sama dengan 12 = 132#13 = (1#132)#13 1#(132#23) = 1#13 = 13 sama dengan 13 = 132#23 = (1#132)#23 1#(12#1) = 1#12 = 12 sama dengan 12 = 12#1 = (1#12)#1 1#(12#123) = 1#23 = 23 sama dengan 23 = 12#123 = (1#12)#123 1#(12#132) = 1#13 = 13 sama dengan 13 = 12#132 = (1#12)#132 1#(12#12) = 1#1 = 1 sama dengan 1 = 12#12 = (1#12)#12 1#(12#13) = 1#132 = 132 sama dengan 132 = 12#13 = (1#12)#13 1#(12#23) = 1#123 = 123 sama dengan 123 = 12#23 = (1#12)#23 1#(13#1) = 1#13 = 13 sama dengan 13 = 13#1 = (1#13)#1 1#(13#123) = 1#12 = 12 sama dengan 12 = 13#123 = (1#13)#123 1#(13#132) = 1#23 = 23 sama dengan 23 = 13#132 = (1#13)#132

1#(13#12) = 1#123 = 123 sama dengan 123 = 13#12 = (1#13)#12 1#(13#13) = 1#1 = 1 sama dengan 1 = 13#13 = (1#13)#13 1#(13#23) = 1#132 = 132 sama dengan 132 = 13#23 = (1#13)#23 1#(23#1) = 1#23 = 23 sama dengan 23 = 23#1 = (1#23)#1 1#(23#123) = 1#13 = 13 sama dengan 13 = 23#123 = (1#23)#123 1#(23#132) = 1#12 = 12 sama dengan 12 = 23#132 = (1#23)#132 1#(23#12) = 1#132 = 132 sama dengan 132 = 23#12 = (1#23)#12 1#(23#13) = 1#123 = 123 sama dengan 123 = 23#13 = (1#23)#13 1#(23#23) = 1#1 = 1 sama dengan 1 = 23#23 = (1#23)#23 123#(1#1) = 123#1 = 123 sama dengan 123 = 123#1 = (123#1)#1 123#(1#123) = 123#123 = 132 sama dengan 132 = 123#123 = (123#1)#123 123#(1#132) = 123#132 = 1 sama dengan 1 = 123#132 = (123#1)#132 123#(1#12) = 123#12 = 13 sama dengan 13 = 123#12 = (123#1)#12 123#(1#13) = 123#13 = 23 sama dengan 23 = 123#13 = (123#1)#13 123#(1#23) = 123#23 = 12 sama dengan 12 = 123#23 = (123#1)#23 123#(123#1) = 123#123 = 132 sama dengan 132 = 132#1 = (123#123)#1 123#(123#123) = 123#132 = 1 sama dengan 1 = 132#123 = (123#123)#123 123#(123#132) = 123#1 = 123 sama dengan 123 = 132#132 = (123#123)#132 123#(123#12) = 123#13 = 23 sama dengan 23 = 132#12 = (123#123)#12 123#(123#13) = 123#23 = 12 sama dengan 12 = 132#13 = (123#123)#13 123#(123#23) = 123#12 = 13 sama dengan 13 = 132#23 = (123#123)#23 123#(132#1) = 123#132 = 1 sama dengan 1 = 1#1 = (123#132)#1 123#(132#123) = 123#1 = 123 sama dengan 123 = 1#123 = (123#132)#123 123#(132#132) = 123#123 = 132 sama dengan 132 = 1#132 = (123#132)#132 123#(132#12) = 123#23 = 12 sama dengan 12 = 1#12 = (123#132)#12 123#(132#13) = 123#12 = 13 sama dengan 13 = 1#13 = (123#132)#13 123#(132#23) = 123#13 = 23 sama dengan 23 = 1#23 = (123#132)#23 123#(12#1) = 123#12 = 13 sama dengan 13 = 13#1 = (123#12)#1 123#(12#123) = 123#23 = 12 sama dengan 12 = 13#123 = (123#12)#123 123#(12#132) = 123#13 = 23 sama dengan 23 = 13#132 = (123#12)#132 123#(12#12) = 123#1 = 123 sama dengan 123 = 13#12 = (123#12)#12 123#(12#13) = 123#132 = 1 sama dengan 1 = 13#13 = (123#12)#13 123#(12#23) = 123#123 = 132 sama dengan 132 = 13#23 = (123#12)#23 123#(13#1) = 123#13 = 23 sama dengan 23 = 23#1 = (123#13)#1 123#(13#123) = 123#12 = 13 sama dengan 13 = 23#123 = (123#13)#123 123#(13#132) = 123#23 = 12 sama dengan 12 = 23#132 = (123#13)#132 123#(13#12) = 123#123 = 132 sama dengan 132 = 23#12 = (123#13)#12 123#(13#13) = 123#1 = 123 sama dengan 123 = 23#13 = (123#13)#13 123#(13#23) = 123#132 = 1 sama dengan 1 = 23#23 = (123#13)#23 123#(23#1) = 123#23 = 12 sama dengan 12 = 12#1 = (123#23)#1 123#(23#123) = 123#13 = 23 sama dengan 23 = 12#123 = (123#23)#123 123#(23#132) = 123#12 = 13 sama dengan 13 = 12#132 = (123#23)#132 123#(23#12) = 123#132 = 1 sama dengan 1 = 12#12 = (123#23)#12 71

75 23#(12#123) = 23#23 = 1 sama dengan 1 = 132#123 = (23#12)#123 23#(12#132) = 23#13 = 123 sama dengan 123 = 132#132 = (23#12)#132 23#(12#12) = 23#1 = 23 sama dengan 23 = 132#12 = (23#12)#12 23#(12#13) = 23#132 = 12 sama dengan 12 = 132#13 = (23#12)#13 23#(12#23) = 23#123 = 13 sama dengan 13 = 132#23 = (23#12)#23 23#(13#1) = 23#13 = 123 sama dengan 123 = 123#1 = (23#13)#1 23#(13#123) = 23#12 = 132 sama dengan 132 = 123#123 = (23#13)#123 23#(13#132) = 23#23 = 1 sama dengan 1 = 123#132 = (23#13)#132 23#(13#12) = 23#123 = 13 sama dengan 13 = 123#12 = (23#13)#12 23#(13#13) = 23#1 = 23 sama dengan 23 = 123#13 = (23#13)#13 23#(13#23) = 23#132 = 12 sama dengan 12 = 123#23 = (23#13)#23 23#(23#1) = 23#23 = 1 sama dengan 1 = 1#1 = (23#23)#1 23#(23#123) = 23#13 = 123 sama dengan 123 = 1#123 = (23#23)#123 23#(23#132) = 23#12 = 132 sama dengan 132 = 1#132 = (23#23)#132 23#(23#12) = 23#132 = 12 sama dengan 12 = 1#12 = (23#23)#12 23#(23#13) = 23#123 = 13 sama dengan 13 = 1#13 = (23#23)#13 23#(23#23) = 23#1 = 23 sama dengan 23 = 1#23 = (23#23)#23 Terbukti operasi pada sistem aljabar (H,#) bersifat asosiatif. (G,*) dan (H,#) memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Maka (G,*) dan (H,#) memenuhi syarat semigrup. 3. Elemen identitas Untuk sistem aljabar (G,*) terdapat elemen identitas gabungan, e = 0. 0*0 = 0 1*0 = 0*1 = 1 2*0 = 0*2 = 2 Untuk sistem aljabar (H,#) juga terdapat elemen identitas gabungan, e = (1) (1)#(1) = (1) (1 2 3)#(1) = (1)#(1 2 3) = (1 2 3) (1 3 2)#(1) = (1)#(1 3 2) = (1 3 2) (1 2)#(1) = (1)#(1 2) = (1 2) (1 3)#(1) = (1)#(1 3) = (1 3)

76 (2 3)#(1) = (1)#(2 3) = (2 3) (G,*) dan (H,#) memenuhi sifat semigrup dan memiliki elemen identitas. Maka (G,*) dan (H,#) memenuhi syarat monoid. 4. Invers Setiap elemen dalam sistem aljabar (G,*) memiliki invers. Invers 0 adalah 0 Invers 1 adalah 2 Invers 2 adalah 1 Setiap elemen dalam sistem aljabar (H,#) juga memiliki invers. Invers (1) adalah (1) Invers (1 2 3) adalah (1 3 2) Invers (1 3 2) adalah (1 2 3) Invers (1 2) adalah (1 2) Invers (1 3) adalah (1 3) Invers (2 3) adalah (2 3) (G,*) dan (H,#) memenuhi sifat Monoid dan tiap elemennya memiliki invers. Maka (G,*) dan (H,#) memenuhi syarat Grup. 5. Komutatif Untuk sistem aljabar (G,*) dilakukan pengujian terhadap semua kemungkinan pasangan operasi sebagai berikut.

77 Tabel 4.5 Hasil Uji Komutatif (G,*) 0*0 = 0 sama dengan 0 = 0*0 0*1 = 1 sama dengan 1 = 1*0 0*2 = 2 sama dengan 2 = 2*0 1*0 = 1 sama dengan 1 = 0*1 1*1 = 2 sama dengan 2 = 1*1 1*2 = 0 sama dengan 0 = 2*1 2*0 = 2 sama dengan 2 = 0*2 2*1 = 0 sama dengan 0 = 1*2 2*2 = 1 sama dengan 1 = 2*2 Terbukti operasi pada (G,*) memenuhi sifat komutatif. Demikian pula untuk sistem aljabar (H,#) dilakukan pengujian terhadap semua kemungkinan pasangan operasi sebagai berikut. Tabel 4.6 Hasil Uji Komutatif (H,#) (1)#(1) = (1) sama dengan (1) = (1)#(1) (1)#(1 2 3) = (1 2 3) sama dengan (1 2 3) = (1 2 3)#(1) (1)#(1 3 2) = (1 3 2) sama dengan (1 3 2) = (1 3 2)#(1) (1)#(1 2) = (1 2) sama dengan (1 2) = (1 2)#(1) (1)#(1 3) = (1 3) sama dengan (1 3) = (1 3)#(1) (1)#(2 3) = (2 3) sama dengan (2 3) = (2 3)#(1) (1 2 3)#(1) = (1 2 3) sama dengan (1 2 3) = (1)#(1 2 3) (1 2 3)#(1 2 3) = (1 3 2) sama dengan (1 3 2) = (1 2 3)#(1 2 3) (1 2 3)#(1 3 2) = (1) sama dengan (1) = (1 3 2)#(1 2 3) (1 2 3)#(1 2) = (1 3) Tidak sama dengan (2 3) = (1 2)#(1 2 3) (1 2 3)#(1 3) = (2 3) (1 2 3)#(2 3) = (1 2) Tidak sama dengan (1 2) = (1 3)#(1 2 3) Tidak sama dengan (1 3) = (2 3)#(1 2 3) (1 3 2)#(1) = (1 3 2) sama dengan (1 3 2) = (1)#(1 3 2) (1 3 2)#(1 2 3) = (1) sama dengan (1) = (1 2 3)#(1 3 2) (1 3 2)#(1 3 2) = (1 2 3) sama dengan (1 2 3) = (1 3 2)#(1 3 2) (1 3 2)#(1 2) = (2 3) Tidak sama dengan (1 3) = (1 2)#(1 3 2) (1 3 2)#(1 3) = (1 2) Tidak sama dengan (2 3) = (1 3)#(1 3 2)

78 (1 3 2)#(2 3) = (1 3) Tidak sama dengan (1 2) = (2 3)#(1 3 2) (1 2)#(1) = (1 2) sama dengan (1 2) = (1)#(1 2) (1 2)#(1 2 3) = (2 3) sama dengan (2 3) = (1 2 3)#(1 2) (1 2)#(1 3 2) = (1 3) sama dengan (1 3) = (1 3 2)#(1 2) (1 2)#(1 2) = (1) sama dengan (1) = (1 2)#(1 2) (1 2)#(1 3) = (1 3 2) (1 2)#(2 3) = (1 2 3) Tidak sama dengan (1 2 3) = (1 3)#(1 2) Tidak sama dengan (1 3 2) = (2 3)#(1 2) (1 3)#(1) = (1 3) sama dengan (1 3) = (1)#(1 3) (1 3)#(1 2 3) = (1 2) sama dengan (1 2) = (1 2 3)#(1 3) (1 3)#(1 3 2) = (2 3) sama dengan (2 3) = (1 3 2)#(1 3) (1 3)#(1 2) = (1 2 3) sama dengan (1 2 3) = (1 2)#(1 3) (1 3)#(1 3) = (1) sama dengan (1) = (1 3)#(1 3) (1 3)#(2 3) = (1 3 2) Tidak sama dengan (1 2 3) = (2 3)#(1 3) (2 3)#(1) = (2 3) sama dengan (2 3) = (1)#(2 3) (2 3)#(1 2 3) = (1 3) sama dengan (1 3) = (1 2 3)#(2 3) (2 3)#(1 3 2) = (1 2) sama dengan (1 2) = (1 3 2)#(2 3) (2 3)#(1 2) = (1 3 2) sama dengan (1 3 2) = (1 2)#(2 3) (2 3)#(1 3) = (1 2 3) sama dengan (1 2 3) = (1 3)#(2 3) (2 3)#(2 3) = (1) sama dengan (1) = (2 3)#(2 3) Terbukti operasi pada (H,#) tidak memenuhi sifat komutatif. Berikut adalah pengujian terhadap beberapa grup khusus. Grup Abelian (Komutatif) Karena (G,*) memenuhi sifat komutatif, maka (G,*) merupakan grup abelian (komutatif). Sebaliknya grup (H,#) tidak memenuhi sifat komutatif maka grup (H,#) bukan merupakan grup abelian (komutatif).

79 Grup Siklik Untuk sistem aljabar (G,*) dilakukan pengujian operasi tiap elemen dengan dirinya sendiri sebagai berikut. 0 = 0*0 0 = 1*1*1 0 = 2*2*2 1 = 1*1*1*1 1 = 2*2 2 = 1*1 2 = 2*2*2*2 Ada elemen 1 dan 2 yang hasil operasi dengan dirinya sendiri dapat menghasilkan seluruh elemen dalam himpunan G, maka (G,*) adalah grup siklik. Demikian pula untuk sistem aljabar (H,#) dilakukan pengujian operasi tiap elemen dengan dirinya sendiri sebagai berikut. (1) = (1)#(1) (1) = (1 2 3)#(1 2 3)#(1 2 3) (1 2 3) = (1 2 3)#(1 2 3)#(1 2 3)#(1 2 3) (1 3 2) = (1 2 3)#(1 2 3) (1) = (1 3 2)#(1 3 2)#(1 3 2) (1) = (1 2)#(1 2) (1 2 3) = (1 3 2)#(1 3 2) (1 2) = (1 2)#(1 2)#(1 2) (1 3 2) = (1 3 2)#(1 3 2)#(1 3 2)#(1 3 2) (1) = (1 3)#(1 3) (1) = (2 3)#(2 3) (1 3) = (1 3)#(1 3)#(1 3) (2 3) = (2 3)#(2 3)#(2 3) Tidak ada elemen pada grup H yang hasil operasi dengan dirinya sendiri dapat menghasilkan seluruh elemen dalam himpunan H, maka (H,#) bukan Grup Siklik. Homomorfisma Grup Dilakukan uji homomorfisma antara Grup G dengan Grup H. Berdasarkan data perbandingan hasil operasi berikut akan dibuat fungsi pemetaan θ yang memetakan elemen di Grup G ke Grup H (θ:g H).

80 Tabel 4.7 Perbandingan Hasil Operasi (G,*) dan (H,#) # (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 3) (2 3) (1 2) * 0 1 2 (1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) 0 0 1 2 (1 2) (1 2) (2 3) (1 3) (1) (1 3 2) (1 2 3) 1 1 2 0 (1 3) (1 3) (1 2) (2 3) (1 2 3) (1) (1 3 2) 2 2 0 1 (2 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1 3 2) (1 2 3) (1) θ(0) = (1) θ(1) = (1 2 3) θ(2) = (1 3 2) Pertama-tama akan diperiksa sifat dari fungsi pemetaan θ sebagai berikut. 1. Tiap hasil pemetaan elemen pada Grup G tidak ada yang sama. Maka fungsi θ merupakan fungsi injektif. 2. Ada elemen pada Grup H yang tidak menjadi hasil pemetaan θ, yakni (1 2), (1 3), dan (2 3). Maka fungsi θ bukan fungsi surjektif. 3. Fungsi θ adalah fungsi injektif, tapi bukan fungsi surjektif. Maka fungsi θ bukan fungsi bijektif. Selanjutnya akan dilakukan pengujian terhadap syarat homomorfisma antar grup, yakni untuk semua a, b G dipenuhi θ ( a * b) = θ ( a)# θ ( b). Penjabaran hasil pengujiannya adalah sebagai berikut. Tabel 4.8 Hasil Uji Syarat Homomorfisma (G,*) dengan (H,#) θ(0*0) = θ(0) = (1) sama dengan (1) = (1)#(1) = θ(0)#θ(0) θ(0*1) = θ(1) = (1 2 3) sama dengan (1 2 3) = (1)#(1 2 3) = θ(0)#θ(1) θ(0*2) = θ(2) = (1 3 2) sama dengan (1 3 2) = (1)#(1 3 2) = θ(0)#θ(2) θ(1*0) = θ(1) = (1 2 3) sama dengan (1 2 3) = (1 2 3)#(1) = θ(1)#θ(0) θ(1*1) = θ(2) = (1 3 2) sama dengan (1 3 2) = (1 2 3)#(1 2 3) = θ(1)#θ(1) θ(1*2) = θ(0) = (1) sama dengan (1) = (1 2 3)#(1 3 2) = θ(1)#θ(2) θ(2*0) = θ(2) = (1 3 2) sama dengan (1 3 2) = (1 3 2)#(1) = θ(2)#θ(0) θ(2*1) = θ(0) = (1) sama dengan (1) = (1 3 2)#(1 2 3) = θ(2)#θ(1) θ(2*2) = θ(1) = (1 2 3) sama dengan (1 2 3) = (1 3 2)#(1 3 2) = θ(2)#θ(2)

81 Terbukti bahwa fungsi pemetaan θ dari Grup G ke Grup H memenuhi syarat homomorfisma, maka grup H merupakan citra homomorfis dari Grup G. Selain itu, berdasarkan sifat fungsi yang telah dibuktikan, diketahui bahwa fungsi θ merupakan fungsi injektif. Maka pemetaan θ dari grup G ke grup H memenuhi syarat monomorfisma, grup H merupakan citra monomorfis dari grup G. Grup Aperiodik dan Periodik Berikut adalah order unsurnya pada grup (G,*): θ(0) = 1 unkes θ(1) = 3 θ(2) = 3 Karena order unsur-unsurnya berhingga maka grup (G,*) adalah grup periodik. Dilakukan uji yang sama pada grup (H,#). Berikut adalah order unsurnya: θ((1)) = 1 unkes θ((123)) = 3 θ((132)) = 3 θ((12)) = 2 θ ((13)) = 2 θ ((23)) = 2 Karena order unsur-unsurnya berhingga maka grup (H,#) adalah grup periodik. Subgrup Normal H = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)}bukan merupakan himpunan bagian dari G={0,1,2} maka H bukan merupakan subgrup dari G sehingga tidak dapat dibuktikan. Begitupula sebaliknya, G={0,1,2} bukan merupakan himpunan bagian dari H = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3) maka G bukan merupakan subgrup dari H sehingga tidak dapat dibuktikan.

82 Grup Faktor Salah satu syarat dari grup faktor adalah grup tersebut memiliki subgrup normal namun karena pembuktian sebelumnya (G,*) dan (H,#) keduanya bukan merupakan subgrup normal, maka grup factor tidak dapat dibuktikan. 4.3.2 Pengujian dengan Aplikasi Sampel sistem aljabar yang sama sekarang akan diproses dengan menggunakan program aplikasi pengujian yang telah dikembangan untuk melihat apakah program aplikasi dapat memberikan hasil yang tepat, sesuai dengan pengujian secara manual. Pertama-tama, perlu di-input elemen dari masing-masing sistem aljabar, seperti berikut.

83 Gambar 4.20 Input Elemen Masing Himpunan Setelah tiap elemen hasil operasi selesai di-input, tombol Finish perlu ditekan. Kemudian program akan menuju pada tampilan selanjutnya.

84 Gambar 4.21 Tampilan Program Utama Untuk mengetahui hasil uji dari sifat-sifat umum yaitu dengan menekan tombol Detail pada masing-masing himpunan dan akan tampil hasil seperti berikut. Gambar 4.22 Detail Himpunan A Sifat-sifat umum yang diuji adalah tertutup, asosiatif, identitas (unkes), invers, dan komutatif. Tanda menunjukkan bahwa himpunan memiliki sifat umum tersebut. Sedangkan tanda X menunjukkan bahwa himpunan tidak memiliki sifat umum

85 tersebut. Karakterisktik grup umum yang diuji adalah grupoid, semigrup, monoid, dan grup. Untuk masing-masing hasil uji, tersedia tooltip untuk melihat detail hasil pengujian. Gambar 4.23 Detail Himpunan A dengan Tooltip (Sifat Umum) Gambar 4.24 Detail Himpunan A dengan Tooltip (Grup) Pada himpunan B juga demikian, sifat-sifat umum yang diuji adalah tertutup, asosiatif, identitas (unkes), invers, dan komutatif. Tanda menunjukkan bahwa himpunan memiliki sifat umum tersebut. Sedangkan tanda X menunjukkan bahwa himpunan tidak memiliki sifat umum tersebut. Karakterisktik grup umum yang diuji

adalah grupoid, semigrup, monoid, dan grup. Untuk masing-masing hasil uji, tersedia tooltip untuk melihat detail hasil pengujian. 86 Gambar 4.25 Detail Himpunan B Gambar 4.26 Detail Himpunan B dengan Tooltip (Sifat Umum)

87 Gambar 4.27 Detail Himpunan B dengan Tooltip (Grup) Berikut adalah tampilan hasil pengujian himpunan A dan himpunan B terhadap grup khusus dimulai dari grup siklik. Gambar 4.28 Hasil Uji Grup Siklik Untuk detail penjelasan hasil dari pengujian grup siklik, dapat dilihat pada tabel berikut.

88 Tabel 4.9 Hasil Uji Grup Siklik ----- Cyclic Group Test ----- Set A = {0,1,2} --- Group Test --- All cayley table element is element of Set A. Set A = {0,1,2} is a Closed Set. All (a*b)*c = a*(b*c) for every a,b,c in Set A. The A Set is an Assosiative Set. The A Set's Left Unkes is 0. The A Set's Right Unkes is 0. The A Set's Identity element is 0. Inverse of 0 is 0. Inverse of 1 is 2. Inverse of 2 is 1. Set A is a Group. --- Finding Generators --- 0 = 1*1*1 n = 3 1 = 1*1*1*1 n = 4 2 = 1*1 n = 2 1 is a generator. 0 = 2*2*2 n = 3 1 = 2*2 n = 2 2 = 2*2*2*2 n = 4 2 is a generator. Set A is a Cyclic Group. --------------------------------------------------------------------------------------- Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} --- Group Test --- All cayley table element is element of Set B. Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} is a Closed Set. All (a#b)#c = a#(b#c) for every a,b,c in Set B. The B Set is an Assosiative Set. The B Set's Left Unkes is (1). The B Set's Right Unkes is (1). The B Set's Identity element is (1). Inverse of (1) is (1). Inverse of (123) is (132). Inverse of (132) is (123). Inverse of (12) is (12). Inverse of (13) is (13). Inverse of (23) is (23).

89 Set B is a Group. --- Finding Generators --- Set B is not a Cyclic Group. Berikut adalah hasil pengujian grup komutatif. Gambar 4.29 Hasil Uji Grup Komutatif Untuk detail penjelasan hasil dari pengujian grup siklik, dapat dilihat pada tabel berikut.

90 Tabel 4.10 Hasil Uji Grup Komutatif ----- Commutative Group Test ----- Set A = {0,1,2} All cayley table element is element of Set A. Set A = {0,1,2} is a Closed Set. 0*1=1 = 1*0=1 0*2=2 = 2*0=2 1*2=0 = 2*1=0 The A Set is a Commutative Set. Therefore Set A is a Commutative Group. Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} All cayley table element is element of Set B. Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} is a Closed Set. (1)#(123)=(123) = (123)#(1)=(123) (1)#(132)=(132) = (132)#(1)=(132) (1)#(12)=(12) = (12)#(1)=(12) (1)#(13)=(13) = (13)#(1)=(13) (1)#(23)=(23) = (23)#(1)=(23) (123)#(132)=(1) = (132)#(123)=(1) (123)#(12)=(13) <> (12)#(123)=(23) (123)#(13)=(23) <> (13)#(123)=(12) (123)#(23)=(12) <> (23)#(123)=(13) (132)#(12)=(23) <> (12)#(132)=(13) (132)#(13)=(12) <> (13)#(132)=(23) (132)#(23)=(13) <> (23)#(132)=(12) (12)#(13)=(132) <> (13)#(12)=(123) (12)#(23)=(123) <> (23)#(12)=(132) (13)#(23)=(132) <> (23)#(13)=(123) The B Set is not a Commutative Set. Therefore Set B is not a Commutative Group. Berikut adalah hasil pengujian terhadap homomorfisma grup. Gambar 4.30 Hasil Uji Homomorfisma Grup

91 Untuk detail penjelasan hasil dari pengujian grup siklik, dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 4.11 Hasil Uji Homomorfisma Grup ----- Homomorfism Group Test ----- Set A = {0,1,2} Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} f: A -> B is injective. (12) does not have pair. (13) does not have pair. (23) does not have pair. f: A -> B is not surjective. f: A -> B is Injective and not Surjective. Therefore f: A -> B is not Bijective. Checking whether θ(a*b) = θ(a)#θ(b) for every a,b in A = {0,1,2} θ: A -> B is a Homomorfism. θ: A -> B is injective only, therefore a Monomorphism. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} Set A = {0,1,2} F[(12)]=0 = F[(1)]=0. F[(13)]=1 = F[(123)]=1. F[(23)]=2 = F[(132)]=2. f: B -> A is not injective. All elements of A have pairs. f: B -> A is surjective. f: B -> A is not Injective and Surjective. Therefore f: B -> A is not Bijective. Checking whether θ(a#b) = θ(a)*θ(b) for every a,b in B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} F((12)#(13))=2 <> F((12))*F((13))=1. F((12)#(23))=1 <> F((12))*F((23))=2. F((13)#(13))=0 <> F((13))*F((13))=2. F((13)#(23))=2 <> F((13))*F((23))=0. F((23)#(23))=0 <> F((23))*F((23))=1. θ: B -> A is not a Homomorfism. Berikut adalah hasil pengujian terhadap grup periodic, grup aperiodik, dan grup campuran (type of group)

92 Gambar 4.31 Hasil Uji Type of Group Untuk detail penjelasan hasil dari pengujian grup siklik, dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 4.12 Hasil Uji Type of Grup ----- Type of Group Test ----- Set A = {0,1,2} 0 is the identity element. θ(0) = 1. 1 * 1 * 1 = 0 θ(1) = 3. 2 * 2 * 2 = 0 θ(2) = 3. Set A is Periodic. Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} (1) is the identity element. θ((1)) = 1. (123) # (123) # (123) = (1) θ((123)) = 3. (132) # (132) # (132) = (1) θ((132)) = 3. (12) # (12) = (1) θ((12)) = 2. (13) # (13) = (1) θ((13)) = 2. (23) # (23) = (1) θ((23)) = 2. Set B is Periodic.

93 Berikut adalah hasil pengujian terhadap subgrup normal. Gambar 4.32 Hasil Uji Subgrup Normal Untuk detail penjelasan hasil dari pengujian grup siklik, dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 4.13 Hasil Uji Subgrup Normal ----- Normal Subgroup Test ----- B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} is not part of A = {0,1,2} Set B is not a normal subgroup of Set A A = {0,1,2} is not part of B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} Set A is not a normal subgroup of Set B Berikut adalah hasil pengujian terhadap grup faktor.

94 Gambar 4.33 Hasil Uji Grup Faktor Untuk detail penjelasan hasil dari pengujian grup siklik, dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 4.14 Hasil Uji Grup Faktor ----- Factor Group Test ----- Set A = {0,1,2} Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} Set B = {(1),(123),(132),(12),(13),(23)} is not a normal subgroup of Set A = {0,1,2} Factor Group test is skipped. Demikianlah seluruh hasil pengujian dengan program aplikasi selesai dilakukan. 4.4 Hasil Evaluasi Program Dengan melihat perbandingan hasil antara pengujian secara manual dengan pengujian melalui program aplikasi, dapat dilihat bahwa program aplikasi dapat memberikan hasil pengujian yang tepat, sama dengan pengujian secara manual. Menurut pengukuran waktu menggunakan stopwatch, pengujian secara manual menempuh waktu ± 17 menit sedangkan pengujian menggunakan program aplikasi tidak ditemukan peningkatan waktu proses yang terlihat kasat mata karena program

menyelesaikan komputasi dalam waktu yang singkat tidak sampai 1 menit. Maka terbukti bahwa program aplikasi yang dibuat berhasil menjalankan fungsinya. 95