tigonometi 4.1 Pebandingan Tigonometi 0 Y x P(x,y) y X x disebut absis y disebut odinat jai-jai sudut positif diuku dai sumbu X belawanan aah putaan jaum jam Definisi : = x + y sin = y cos = x tan = y x csc = y sec = x cot = x y Ketentuan di atas juga belaku untuk kuadan II, III dan IV. Kaena x dan y maka belaku 1 cos 1 dan 1 sin 1. Khusus untuk tan dan cot dapat benilai setiap haga positif dan negatif. Secaa umum, pebandingan tigonometi pada segitiga siku-siku sembaang adalah sebagai beikut : Hipotenusa (sisi miing) sisi depan sudut sisi samping sudut Matematika Dasa Page 17
Jadi: Contoh 4.1 sin = depan miing csc = 1 sin cos = samping miing sec = 1 cos tan = depan samping cot = 1 tan Tentukan nilai sin, cos, dan tan dai gamba beikut : c b a Jawab: sin = a c Contoh 4. cos = b c tan = a b Diketahui tan = 4. Tentukan sin dan cos! 3 Jawab: tan = 4 3 = y x = 3 + 4 = 9 + 16 = 5 = 5 sin = 4 5 cos = 3 5 4. Sudut-Sudut Istimewa Untuk 0 0 90 0 Untuk menentukan nilai pebandingan tigonometi pada sudut-sudut istimewa 0 0 90 0 kita pegunakan gamba sebagai beikut : 45 0 1 60 0 1 P(0, ) 45 0 1 30 0 3 P(, 0) Matematika Dasa Page 18
Dai gamba di atas jika kita nyatakan dengan tabel sebagai beikut : cos sin tan cot sec csc 0 1 0 0 1 30 1 3 1 45 60 1 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 3 3 3 90 0 1 0 1 Contoh 4.3 C Tentukan AC dan AB! 5 A 60 B Jawaban: tan 60 = AC 5 AC = tan 60. 5 = 3. 5 = 5 3 Latihan 4.1 cos 60 = 5 AB AB = 5 cos 60 = 5 1 = 10 1. Tentukan nilai sin, cos, dan tan dai gamba beikut! a) c b) b a q p Matematika Dasa Page 19
. Tentukan nilai sin β, cos β, dan tan β dai gamba beikut! a) B b) 6 8 A β C P β 6 6 R Q 3. Pehatikan gamba beikut! A 60 B D 45 C Jika DC = 6 cm, maka tentukan AB 4. Jika sin = 3, maka tentukan cos dan tan 10 5. Jika tan β =, maka tentukan sin β dan cos β 6. Tentukan nilai dai: a. sin 30 3 cos 30 + 6 3 tan 30 b. 3 tan 60 +6 sin 60 sin 45 +6 cos 30 7. Tentukan AB dan BC dai gamba beikut B 30 C 1 A Matematika Dasa Page 0
4.3 Sudut-Sudut Beelasi A. Relasi dan (180 ) Y sin(180 ) = y = sin P (-x,y) (180 ) P(x,y) X cos(180 ) = x = cos tan(180 ) = y = tan x B. Relasi dan (180 + ) P(x,y) sin(180 ) = y = sin (180 + ) cos(180 ) = x = cos tan(180 ) = y = tan x P (-x,-y) C. Relasi dan (360 ) atau P(x,y) P (x,-y) sin(180 ) = y = sin cos(180 ) = x = cos tan(180 ) = y x = tan D. Relasi dan (90 ) P (x,y) sin(180 ) = x = cos P(x,y) cos(180 ) = y = sin 90 tan(180 ) = y = cot x Matematika Dasa Page 1
E. Relasi dan (90 + ) P (-x,y) 90 + P(x,y) sin(180 ) = x = cos cos(180 ) = y = sin tan(180 ) = x y = cot F. Relasi dan (70 ) 70 P(x,y) sin(180 ) = x = cos cos(180 ) = y = sin tan(180 ) = x = cot y P (-x,-y) G. Relasi dan (70 + ) sin(180 ) = x = cos 70 + P(x,y) cos(180 ) = y tan(180 ) = y x = sin = cot P (x,-y) Contoh 4.4 Tentukan nilai dai: a. sin 150 b. cos 5 c. tan 330 Jawaban: a. sin 150 = sin(180 30 ) = sin 30 = 1 Matematika Dasa Page
b. cos 5 = cos(180 + 45 ) = cos 45 = 1 c. tan 330 = tan(360 30 ) = tan 30 = 1 3 3 Latihan 4. 1. Tentukan nilai dai: a. sin 10 b. sin 135 c. cos 40 d. tan 300 e. cos 330 f. tan 150 g. sin 40 h. cos 10. Jika sin = 3 dan 90 < < 180 maka tentukan cos dan tan 5 3. Jika tan = 3 dan 70 < < 360 maka tentukan sin dan cos 4. Tentukan untuk 70 < < 360 dai: a. sin = 1 b. cos = 1 c. tan = 3 5. Sedehanakan: a. 4 sin 5 + cos 300 sin 315 + cos 315 b. 3 tan 40 sin 10 + sin 315 + 3 3 tan 330 4.4 Identitas Tigonometi Dalam aljaba, vaiabel dan konstanta biasanya meepesentasikan bilangan eal. Nilai fungsi tigonometi juga bilangan eal. Oleh kaena itu, opeasi di aljaba juga digunakan dalam tigonometi. Penyataan aljaba memuat opeasi penjumlahan, penguangan, pekalian, pembagian, dan pepangkatan. Opeasiopeasi tesebut digunakan untuk membentuk penyataan tigonometi. Suatu kesamaan antaa dua penyataan yang benilai bena untuk semua nilai dai vaiabel dimana penyataan tesebut didefinisikan disebut identitas. Suatu identitas yang memuat penyataan tigonometi disebut identitas tigonometi. A. Identitas Resipokal Kaitan antaa fungsi sin, cos, dan tan, dengan fungsi cotan, sec, dan cosec, untuk semua nilai A, kecuali untuk fungsi yang tidak tedefinisi adalah sepeti beikut. csc = 1 sin sec = 1 cos cot = 1 tan Matematika Dasa Page 3
Identitas tesebut disebut identitas esipokal. B. Identitas Hasil Bagi C sin = BC AC cos = AB AC A B tan = BC AB Dai hubungan cos, sin, dan tan, didapatkan bahwa tan = sin = tan. cos. sin cos atau Dai hubungan tesebut maka didapatkan identitas hasil bagi sebagai beikut. tan = cot = sin cos cos sin sin = cos tan cos = sin cot C. Identitas Pythagoas sin + cos = 1 Pehatikan sin + cos = 1, jika kedua uas dibagi dengan cos, denga cos 0, maka sin + cos = 1 cos cos cos tan + 1 = sec Pehatikan sin + cos = 1, jika kedua uas dibagi dengan sin, denga sin 0, maka Kesimpulan sin + cos = 1 sin sin sin 1 + cot = csc Identitas Pythagoas sin + cos = 1 tan + 1 = sec 1 + cot = csc Matematika Dasa Page 4
D. Identitas Simeti Untuk menentukan tanda nilai suatu fungsi, pelu diketahui besa sudut atau kuadan yang memuat letak salah satu kaki sudutnya(kaki sudut yang lain teletak pada sumbu X). Untuk menentukan nilai fungsi ini dipelukan identitas simeti dai sin dan cos. Untuk nilai fungsi yang lain mengikuti nilai sin dan cos. Beikut ini adalah identitas tigonometi yang belaku untuk sembaang bilangan bulat k dan semua nilai A. Didapatkan: sin(a + 360 ) = sin A cos(a + 360 ) = cos A Bentuk Umum: sin(a + k. 360 ) = sin A dengan k bilangan bulat. cos(a + k. 360 ) = cos A 4.5 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut A. Rumus cos(a + b) dan cos(a b) Gamba beikut adalah lingkaan bepusat di titik O(0,0) dengan jai-jai, sehingga titik koodinat A (,0). Matematika Dasa Page 5
Misalkan: AOB = a adian BOC = b adian AOD = -b adian Dai gamba tesebut telihat bahwa: AOC = AOB + BOC = a + b, sedangkan DOB = DOA + AOB = b + a, sehingga AOC = DOB, Kaena AOC = DOB maka AOC konguen dengan BOD akibatnya AC = BD. Oleh kaena itu (AC) = (BD)... (*) Kita ingat bahwa koodinat Catesius sebuah titik dapat dinyatakan sebagai ( cos a, sin a), sehingga : Koodinat titik A adalah (,0) Koodinat titik B adalah ( cos a, sin a) Koodinat titik C adalah ( cos (a + b), sin (a + b)) Koodinat titik D adalah ( cos (-b), sin (-b)) = ( cos b, - sin b) Titik A (,0) dan C ( cos (a + b), sin (a + b)), Matematika Dasa Page 6
AC = ( cos (a + b) ) + ( sin (a + b) 0) = cos (a + b) cos (a + b) + + sin (a + b) = (cos (a + b) + sin (a + b) + 1 - cos (a + b)) = (1 + 1 cos ( a + b)) = ( cos ( a + b) BD = ( cos b cos a ) + (- sin b sin a) = cos b cos a cos b + cos a + sin b + sin a sin b + sin a = ( - cos a cos b + sin a sin b) Dai pesamaan (*) : (AC) = (BD), maka dipeoleh hubungan ( cos ( a + b)) = ( - cos a cos b + sin a sin b). Jika masing-masing uas dibagi dengan, dipeoleh cos ( a + b) = - cos a cos b + sin a sin b cos ( a + b) = - cos a cos b + sin a sin b Selanjutnya jika kedua uas dikalikan dengan ( 1 ), dipeoleh cos (a + b) = cos a cos b + sin a sin b Jadi didapatkan umus untuk cos (a + b), yaitu : cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b Kaena sudut a dan b diambil sebaang sudut, umus ini juga belaku untuk sebaang sudut, baik positif maupun negatif, dalam satuan deajat maupun adian. Misalnya, jika sudut-sudutnya dinyatakan dalam satuan deajat, umus kosinius jumlah dua sudut di atas dapat dituliskan sebagai beikut : Contoh 4.5 cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b Dengan menyatakan 75 = 45 + 30, hitunglah nilai cos 75! Jawaban: cos 75 = cos(45 + 30 ) = cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 = 1 (1 3) 1 (1) = 1 ( 6 ) 3 Matematika Dasa Page 7
B. Rumus sin(a + b) dan sin(a b) sin(a + b) = cos(90 (a + b)) = cos((90 a) b) = cos(90 a) cos b + sin(90 a) sin b = sin a cos b + cos a sin b sin(a b) = cos(90 (a b)) = cos((90 a) + b) = cos(90 a) cos b sin(90 a) sin b = sin a cos b cos a sin b Maka dapat disimpulkan: Contoh 4.6 sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b Dengan menyatakan 105 = 60 + 45, tentukan nilai sin 105! sin 105 = sin(60 + 45 ) = sin 60 cos 45 + cos 60 sin 45 = 1 3 (1 ) + 1 (1 ) = 1 ( 6 + ) 4 C. Rumus tan(a + b) dan tan(a b) tan(a + b) = sin(a+b) sin a cos b+cos a sin b = cos(a+b) cos a cos b sin a sin b Jika pembilang dan penyebut pada uas kanan dibagi cos a cos b, dipeoleh: tan(a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos a cos b cos a cos b sin a sin b cos a cos b sin a cos b cos a sin b + = cos a cos b cos a cos b cos a cos b sin a sin b cos a cos b cos a cos b sin a sin b = cos a + cos b tan a + tan b = sin a b 1 ( cos a ) (sin cos b ) 1 tan a tan b Dengan caa yang sama, didapat pula: tan(a b) = tan a tan b 1 + tan a tan b Matematika Dasa Page 8
Maka dapat disimpulkan: Contoh 4.7 tan(a ± b) = tan a ± tan b 1 tan a tan b Tanpa menggunakan kalkulato atau tabel, hitunglah tan 15! Jawaban: tan 15 = tan(45 30 ) = Latihan 4.3 1. Tentukan nilai dai: 1 tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 = 1 3 3 1 + (1) ( 1 = 3 3 3) a. sin 75 b. sin 105 c. cos 165 d. cos 195 e. tan 5 f. tan 15. Sedehanakanlah: a. sin 137 cos 17 cos 137 sin 17 b. cos cos 4 + sin sin 4 c. tan 79 tan 19 1+tan 79 tan 19 3. Jika cos = 3 5 1 dan sin =, dan β lancip, maka tentukan: 13 a. sin( β) b. cos( + β) c. tan(β ) 4. Jika sin x = sin(x + 45 ), buktikan tan x = + 1 5. Jika + β = π dan cos cos β = 3 maka tentukan cos( β)! 6 4 6. Jika tan(x + y) = 1 dan tan y = 1, maka tentukan tan x! 4.6 Rumus Tigonometi Sudut Ganda Untuk mencai umus tigonometi sudut ganda, cukup menggunakan umus tigonometi jumlah dan selisih dua sudut. sin a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = sin a cos a cos a = cos(a + a) = cos a cos a sin a sin a = cos a sin a Kaena sin a + cos a = 1 sin a = 1 cos a cos a = 1 sin a Matematika Dasa Page 9
maka, cos a = cos a sin a = (1 sin a) sin a = 1 sin a cos a = cos a sin a = cos a (1 cos a) = cos a 1 tan a = tan(a + a) = Maka dapat disimpulkan: tan a+tan a 1 tan a tan a = tan a 1 tan a sin a = sin a cos a cos a = 1 sin a atau cos a = cos a 1 tan a = tan a 1 tan a Latihan 4.4 1. Jika sin x = 5 dan 0 x π, maka tentukan: 13 a. sin x b. cos x c. tan x. Tunjukkan: a. sin 3a = 4 sin 3 a + 3 sin a b. cos 3a = 4 cos 3 a 3 cos a 3. Jika tan a = 1 dan tan b =, maka tentukan: 5 a. tan a b. tan(a + b) 4. Jika θ sudut lancip yang memenuhi cos θ = 1 + sin θ, maka tentunkan θ! 5. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, buktikan bahwa sin A = ab c. 4.7 Rumus Pekalian Sinus dan Kosinus sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a b) = sin a cos b cos a sin b +/- (+) sin(a + b) + sin(a b) = sin a cos b sin a cos b = sin(a + b) + sin(a b) Matematika Dasa Page 30
( ) sin(a + b) sin(a b) = cos a sin b cos a sin b = sin(a + b) sin(a b) cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b +/- (+) cos(a + b) + cos(a b) = cos a cos b cos a cos b = cos(a + b) + cos(a b) ( ) cos(a + b) cos(a b) = sin a sin b sin a sin b = cos(a + b) cos(a b) Maka dapat disimpulkan: sin a cos b = sin(a + b) + sin(a b) cos a sin b = sin(a + b) sin(a b) cos a cos b = cos(a + b) + cos(a b) sin a sin b = cos(a + b) cos(a b) Contoh 4.8 Hitunglah 4 sin 15 cos 45! Jawaban: 4 sin 15 cos 45 =. sin 15 cos 45 =. sin(15 + 45 ) + sin(15 45 ) =. sin 60 sin( 30 ) =. sin 60 ( sin 30 ) =. 1 3 ( 1 ) = 1 3 Latihan 4.5 1. Tentukan nilai dai: a. cos 15 sin 75 b. cos 45 cos 15 c. 6 cos 105 sin 15. Nyatakan sebagai bentuk penjumlahan dan penguangan sinus dan kosinus, sedehanakan dai; a. cos(x + π) cos(x π) b. 4 sin ( 1 x + 1 y) sin (1 x 1 y) 3. Tunjukkan bahwa 8 sin 0 sin 40 sin 80 = 3 Matematika Dasa Page 31
4. Hitunglah 8 sin 70 sin 50 sin 10! 5. Buktikan bahwa: a. sin x cos 3 x + sin 3 x cos x = sin x b. 1 cos 5x cos 3x sin 5x sin 3x = sin x 4.8 Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus sin(a + b) + sin(a b) = sin a cos b. (*) sin(a + b) sin(a b) = cos a sin b. (*) cos(a + b) + cos(a b) = cos a cos b. (*) cos(a + b) cos(a b) = sin a sin b (*) Jika a + b = dan a b = β, maka a + b = a + b = a b = β a b = β a = + β + b = β - Maka pesamaan (*) menjadi: Contoh 4.9 Tentukan cos 75 cos 15! Jawaban: + b b sin + sin β = sin ( ) cos ( ) + b b sin sin β = cos ( ) sin ( ) + b b cos + cos β = cos ( ) cos ( ) + b b cos cos β = sin ( ) sin ( ) 75 + 15 75 15 cos 75 cos 15 = sin ( ) sin ( ) = sin 45 sin 30 = ( 1 ) (1 ) = 1 Matematika Dasa Page 3
Contoh 4.10 Nyatakan dalam bentuk pekalian dai sin 3x + sin x! Jawaban: 3x + x 3x x sin 3x + sin x = sin ( ) cos ( ) = sin x cos x Latihan 4.6 1. Tentukan nilai dai: a. cos 105 cos 15 b. sin 75 sin 15 c. sin 315 + sin 15. Nyatakan cos(x + h) cos x sebagai bentuk pekalian! 3. Buktikan sin 105 + sin 15 = 1 6! 4. Buktikan tan x tan y = sin(x y) cos x cos y! 5. Diketahui tan x = 4. Tentukan nilai cos 3x + cos x! 3 Matematika Dasa Page 33