PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Mayag Novhta Sar *, Bustam, Sgt Sugarto Mahasswa Program Stud S Matematka FMIPA Uverstas Rau Dose Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Rau Kamus Bawdya Pekabaru (893), Idoesa * mayagovhtasar9@gmal.com ABSTRACT Ths artcledscusses the arameter estmator of eoetal Pareto dstrbuto. Parameters are estmated by costas ad, usg the method of momets ad method of mamum lkelhood. Method of momets estmator s ubased estmator ad themethod of mamum lkelhood estmator s ubased estmator for adbasfor. ace of method of momets ad mea square error of method of mamum lkelhood are obtaed usg umercal smulato. The smulato results show that the method of mamum lkelhood estmator better tha the method of momets estmator. Keywords: Eoetal dstrbuto, Paretodstrbuto, method of momets, method of mamum lkelhood, mea square error ABSTRAK Artkel membahas tetag eaksr arameter dstrbus eksoesal Pareto. Parameter yag dtaksr adalah arameter dega da kosta, megguaka metode mome da metode maksmum lkelhood. Peaksr dar metode mome meruaka eaksr tak bas da eaksr dar metode maksmum lkelhood meruaka eaksr tak bas utuk da bas utuk. as dar metode mome da Mea Square Error dar metode maksmum lkelhood dcar megguaka smulas umerk. Hasl smulas meujukka eaksr dar metode maksmum lkelhood lebh bak dbadg eaksr dar metode mome. Kata Kuc: dstrbus eksoesal, dstrbus Pareto, metode mome, metode maksmum lkelhood, mea square error. PENDAHULUAN Probabltas adalah ukura kemugka terjad atau tdakya suatu erstwa. Utuk meyataka suatu robabltas derluka model matemats yag secara teorts dyataka dega dstrbus robabltas. Dstrbus robabltas ada umumya dbedaka mejad dua yatu dstrbus robabltas dskrt da dstrbus robabltas kotu. Dstrbus robabltas dskrt adalah dstrbus yag memuya la varabel radom berua ttk-ttk atau bayakya terhtug. Dstrbus robabltas kotu Reostory FMIPA
adalah dstrbus yag memuya la varabel radom berua terval da bayakya tak terhtug. Dalam suatu dstrbus terdaat arameter yag laya belum dketahu. Oleh karea tu erlu dtaksr melalu formas yag ada dalam statstk samel. Peaksra suatu arameter daat dlakuka dega berbaga metode, dataraya yatu metode mome da metode maksmum lkelhood. Peaksr yag deroleh dar dharaka memuya la tdak terlalu jauh dega la arameter yag dtaksr. Peaksra suatu arameter dstrbus telah bayak dlakuka sebelumya. Al-Athar [] membahas tetag eaksra arameter dstrbus Pareto gada dega megguaka metode maksmum lkelhood da metode mome. Aula et al [3] membahas eaksr arameter dstrbus eksoesal dega megguaka arameter metode mome, metode lkelhood da metode Bayesa. Rytgaard [7] membahas tetag eaksra arameter dstrbus eksoesal dega megguaka metode mome da metode maksmum lkelhood. Peelta membahas tetag eaksra arameter dstrbus eksoesal Pareto yag meruaka rujuka dar jural Eoetal Pareto Dstrbuto yag derkealka oleh Al-Kadm da Bosh [].. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO Dstrbus eksoesal Pareto memuya tga erameter, yatu satu arameter betuk yag meruaka arameter betuk dar dstrbus Pareto da dua arameter skala da yag masg-masg meruaka arameter skala dar dstrbus Pareto da arameter skala dar dstrbus eksoesal. Parameter yag aka dtaksr adalah arameter dega da dagga kosta. Dstrbus eksoesal Pareto meruaka dstrbus yag bergatug ada dstrbus eksoetal da dstrbus Pareto. Berkut dberka fugs kumulatf dstrbus da fugs keadata eluag (fk) dar dstrbus eksoesal Pareto da ;,, e, F 0, f ;,, e, 0. () Dstrbus eksoesal Pareto memuya eksektas, varas da mome keberturut-turut sebaga berkut E.. E r r r, r,,... Reostory FMIPA
Selajutya aka dbahas eaksr arameter dega da kosta megguaka metode mome da metode maksmum lkelhood dserta sfat da MSE kedua metode. 3. PENAKSIR DARI METODE MOMEN Msalka,, 3,..., meruaka samel radom dar dstrbus eksoesal Pareto dega fk ada ersamaa (), kemuda aka dtetuka eaksr arameter dega megguaka metode mome. Mome samel ertama adalah m. Peaksr mome ddaatka dar eyelesaa ersamaa berkut [5] m Asumska da kosta,maka eaksr arameter metode mome adalah m. () 4. PENAKSIR DARI METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Msalka,, 3,..., meruaka samel radom berukura yag berasal dar fk ada ersamaa (), maka fugs lkelhood mejad e L;,,. Utuk medaatka eaksr maksmum lkelhood dar arameter dguaka l fugs lkelhood yag dsebut log-lkelhood da dotaska dega l L Loglkelhood meruaka fugs ak. Maksmum dar l L meruaka maksmum lkelhood dar adalahsolus dar ersamaa berkut l e 0 Asumska da kosta, maka eaksr arameter metode maksmum lkelhood adalah. (3) Reostory FMIPA 3
Reostory FMIPA 4 Utuk meetuka eaksr terbak atara eaksr dar metode mome da eaksr dar metode maksmum lkelhood dlakuka erbadga MSE dar kedua metode. Berdasarka ersamaa () yag meruaka eaksr dar metode mome da ersamaa (3) yag meruaka eaksr dar metode Maksmum lkelhood. Utuk la eaksr dar metode mome da eaksr dar metode maksmum lkelhood berla sama. Oleh karea tu MSE yag dbadgka adalah MSE eaksr arameter utuk. 5. MEAN SQUARE ERROR (MSE) MSE yag deroleh dar metode mome da MSE yag deroleh dar metode maksmum lkelhood ddaatka setelah sfat dar eaksr tersebut dketahu. Sfat eaksr yag dguaka adalah eaksr bas da eaksr tak bas. jka eaksr meruaka eaksr tak bas maka dcar varas, amu jka eaksr adalah eaksr bas, maka dcar MSE eaksr tersebut. Berkut dberka teroema MSE. Teorema [4, h. 309]Jka adalah eaksr dar maka. b MSE Bukt: Pembukta Teorema daat dlhat ada buku Ba [4, h. 30]. MSE Peaksr dar Metode Mome Peaksr arameter dar metode mome ada ersamaa () meruaka eaksr takbas. Berdasarka Teorema la MSE sama dega la varas. as eaksr dar metode mome adalah m m
MSE PeaksrdarMetode Maksmum Lkelhood Peaksr ada ersamaa (3) meruaka eaksr bas maka erlu dcar MSE eaksr metode maksmum lkelhood. Utuk medaatka la MSE berdasarka Teorema, erlu dcar da b. Berkut dberka la dar (4) Utuk medaatka dguaka Teorema da Akbat berkut Teorema [5, h. 309] Msalka adalah varabel radom yag memlk Mome ke-, dega E da E E. Bla g suatu fugs yag memlk E g mejad turua ke-, maka E g g g 3 4 3 4 g g 6 4... r r r r g E. r! r! g Bukt: Pembukta Teorema daat dlhat ada buku Dudewcz [5, h. 309]. Akbat 3 [5, h. 30] Jka dambl d Teorema, maka deroleh hamra sebaga berkut E g g g. Bukt: Pembukta Akbat 3 daat dlhat ada buku Dudewcz [5, h. 30]. Akbat 4 [5, h. 30] as dar g adalah g g. Bukt: Pembukta Akbat 4 daat dlhat ada buku Dudewcz [5, h. 30]. Msalka Y mejad, Y Y g maka g Y Y g EY Y., dega megguaka Akbat (5) Reostory FMIPA 5
Utuk medaatka la megguaka teorema berkut E Y da Y maka erlu dketahu dstrbus dar Teorema 5 [4, h. 98] Msalka adalah varabel radom dega fk f, asumska Y g meruaka trasformas satu-satu dar A f 0 ke B y fy y 0, dega vers trasformas g Y. Jka dferesal dar g kotu da berla tdak ol ada B, maka fk dar adalah f Y y f g y g y, y B. y Bukt: Pembukta Teorema 5 daat dlhat ada buku Ba[4, h. 98]. Msalka Z maka g z z da z g z z, dega megguaka ersamaa ada Teorema 3 da fk ada ersamaa () dega > 0, 0 da > 0. Fk dar Z adalah f Y z z e, z 0. (6) Berdasarka ersamaa (6)dketahu Z berdstrbus eksoesal dega arameter, sehgga fugs embagkt mome dar adalah M Y t, t. t Setelah dstrbus dketahu maka daat dcar dstrbus Y megguaka metode fugs embagkt mome sebaga berkut Teorema 6 [4, h. ] Jka embagkt mome M t,..., Z dega, varabel radom deede dega fugs Z maka fugs embagkt mome dar Y M Y t M t M t M t z z Bukt: Pembukta Teorema 6 daat dlhat ada buku Ba [4, h. ]. z adalah M Y t t t t Reostory FMIPA 6
Asumska Z, Z, Z 3,..., Z meruaka samel radom berdstrbus eksoesal dega arameter, maka fugs embagkt mome dar Y Z mejad M Y t. (7) t Fugs embagkt mome ada ersamaa (7) meujukka Z berdstrbus gamma dega arameter da, sehgga eksektas da varas dar adalah E Y (8) Y (9) Substtuska ersamaa (8) da ersamaa (9) ada ersamaa (5) maka mejad. (0) mejad Selajutya subttuska ersama (0) ke ersamaa (4) maka. () Setelah selajutya aka dcar b. Utuk medaatka dcar E sebaga berkut E E E E, dega megguaka Akbat maka E mejad E. b erlu Reostory FMIPA 7
Nla b adalah b, () Selajutya substtuska ersamaa () da ersamaa () ke ersamaa ada MSE mejad Teorema maka MSE 4. 4 4 Setelah varas dar metode mome da MSEdar metode maksmum lkelhood dketahu. Selajutya aka dlakuka erbadga dar varas mome da MSE maksmum lkelhood utuk medaatka eaksr arameter terbak. Karea ada la varas metode mome terdaat fugs gamma maka erlu dlakuka smulas utuk medaatka erbadga dar varas dar metode mome da MSE dar metode maksmum lkelhood. SIMULASI Utuk memeroleh la samel radom suatu daat dlakuka dega metode trasformas vers fugs komulatf dstrbus [6], dega megguaka fugs kumulatf dstrbus dar dstrbus eksoesal Pareto ada ersamaa () da U adalah varabel radom dstrbus Uform 0, maka la samel radom dstrbus eksoesal Pareto mejad l U, U 0. Smulas dlakuka dega megguaka ukura samel = 0, 0, 30 da 40. Nla arameter 0.5,,.5,,.5 da serta egulaga sebayak R 00. Nla dar varas metode mome da MSE metode maksmum lkelhood djelaska ada Tabel. TABEL. Nla as Metode Mome da MSE Metode Maksmum Lkelhood dega 0.5,,.5,,. 5 da m 0.5 MSE Selsh MSE Nla m Selsh Nla 0 0.00009 0.000393 0.0000769 0.0008364 0.0005573 0.00079 0 0.000093 0.000045 0.000045 0.0007 0.0000578 0.0000593 30 0.000003 0.0000006 0.000006 0.00007 0.00000 0.000005 40 0.000005 0.0000000 0.000005 0.00000 0.0000000 0.00000 Reostory FMIPA 8
m.5 MSE Selsh MSE Nla m Selsh Nla 0 0.003000 0.0008708 0.00049 0.0033000 0.00000 0.00000 0 0.000830 0.0000905 0.000095 0.0004686 0.00038 0.000368 30 0.000098 0.0000034 0.000064 0.0000507 0.0000089 0.000048 40 0.000057 0.0000000 0.000057 0.0000404 0.0000000 0.0000404 Dar Tabel daat dlhat bahwa eaksr arameter dar metode maksmum lkelhood memlk la MSE lebh kecl dar la varas eaksr dar metode mome. Utuk seta la berbeda, semak besar ukura samel maka selsh dar MSE aka medekat ol. Hal meujuka bahwa la la m da aka medekat la m MSE utuk ukura samel yag semak besar. KESIMPULAN Peaksr arameter dar metode mome adalah eaksr tak bas da eaksr arameter dar metode maksmum lkelhood eaksr bersfat tak bas utuk da bas utuk dega arameter da kosta. Utuk la eaksr dar mome da eaksr dar maksmum lkelhood berla sama. Hasl smulas juga meujukka bahwa la MSEdar metode maksmum lkelhood lebh kecl dbadg la varas dar metode mome, sehgga daat dsmulka metode maksmum lkelhood lebh bak dar metode mome utuk dalam meaksr arameter dar dstrbus eksoesal Pareto. DAFTAR PUSTAKA [] Al-Kadm, K. A. & M. A. Bosh. 03. Eoetal Pareto Dstrbuto. Mathematcal Theory ad Modelg, 5: 35-46. [] Al-Athar, F. M. 0. Parameter Estmato for Double Pareto Dstrbuto. Joural of Mathematcs ad Statstcs, 7: 89-94. [3] Aula, R., Noor, F & Nur, S. 0. Estmas Parameter Pada Dstrbus Eksoesal.Jural Matematka Mur da Teraa, 5: 40-5. [4] Ba, L.J. 993. Itroducto to Probablty ad Mathematcal Statstcs, d ed. Dubury Press. Belmot, Calfora. [5] Dudewcz, E.J.& S.N. Mshra., 995. Statstka Matematka Moder, Terj. dar Moder Matematcal Statstcs, oleh Sembrg, RK. Peerbt ITB, Badug. [6] Ross, M. S. 00. Itroducto to Probablty Models, 0 th ed. Elsever Academc Press. Los Ageles, Calfora. [7] Rytgaard, M. 990. Estmato The Pareto Dstrbuto. Ast Bullet, 0: 0-6. Reostory FMIPA 9