Dgraf Eksetrk dar Graf Crow NugrohoArf udbo 1, Tr Atmojo Kusmaad 1 Program tud Tekk Iformatka TMIK Duta Bagsa urakarta Fakultas MIPA UN urakarta ABTRAK Dberka G suatu graf dega hmpua berhgga verte V(G) da hmpua edge E(G). Jarak dar verte u ke verte v d G, dotaska d(u,v), pajag dar path terpedek dar verte u ke v. Eksetrstas verte u dalam graf G jarak maksmum dar verte u ke sebarag verte ag la d G, dotaska e(u). Verte v dsebut verte eksetrk dar u jka d(u,v) e(u). Dgraf eksetrk ED(G) dar suatu graf G suatu graf ag mempua hmpua verte ag sama dega hmpua verte G, da terdapat suatu arc (edge berarah) ag meghubugka verte u ke v jka v suatu verte eksetrk dar u. Dalam makalah dseldk dgraf eksetrk pada graf crow ag merupaka salah satu kelas graf Kata kuc: eksetrk, dgraf, graf crow. A. PENDAHULUAN Dgraf eksetrk dgraf dar suatu graf telah baak dguaka. Hal dapat dlhat dar peelta ag megguaka eksetrk dgraf. Peelta tersebut atara la pada jarga komukas komputer (Kamalesh da rvatsa, 8) da makroekoom (Keller, 7). Demka juga perkembagaa dalam bdag matematka dapat dlhat pada barsa eksetrstas dar graf terhubug (Ferrero da Harar, 9), barsa eksetrk da skls dalam graf (Harrs dkk, ), karaktersas dar eksetrk dgraf (Gmbert dkk, 6). edagka pada beberapa klas graf telah dtemuka eksetrk dgrafa (Kusmaad dkk, 15). Dalam makalah dbahas eksetrk dgraf dar suatu klas dalam graf atu graf crow. Pegerta da otas ag berkata dalam makalah dambl dar Chartrad da Lesak (1996) serta Harrs dkk (). Dketahu graf G dega hmpua verte V(G) da hmpua edge E(G). Jarak dua verte u da v dalam G, dotaska dega d(u,v), merupaka pajag path terpedek dar verte u ke verte v. Jka tdak ada path ag meghubugka kedua verte, d(u,v) =. Eksetrstas dar verte u dalam graf G ddefska sebaga jarak maksmum dar verte u ke Duta.com IN : 86-9436 Volume 9 Nomor 1 eptember 15 37
sembarag verte laa dalam G. eksetrstas verte u dotaska sebaga e(u) = ma{d(u, v) v V(G)}. edagka verte v merupaka verte eksetrk dar verte u jka d(u,v) e(u). Dgraf eksetk dar graf G atu ED(G) graf ag mempua hmpua verte ag sama dega G, V(ED(G)) = V(G) da terdapat arc (edge berarah) ag meghubugka setap verte dalam G ke verte eksetrka. uatu arc dalam dgraf D dkataka arc smetr jka arc tersebut meghubugka verte u da v, demka juga sebalka. ALGORITMA BREATH FIRT EARCH Dar defs jarak, dapat dkataka jka tdak ada ltasa ag meghubugka verte u da v, maka duv (,). elajuta, utuk meelesaka masalah ltasa terpedek dalam suatu graf G dguaka algortma BF (Breadth Frst earch) Moore. Meurut Chartrad da Oellerma (1993) lagkah-lagkah algortma BF Moore sebaga berkut : 1. dambl salah satu verte, msal u, da dlabel ag meataka jarak dar u ke dra sedr, sedagka semua verte sela u dlabel,. semua verte berlabel ag adjacet dega u dlabel 1, 3. semua verte berlabel ag adjacet dega verte berlabel 1 dlabel da demka seterusa sampa verte ag dmaksud, msal v, sudah berlabel hgga. Dalam hal, label dar setap verte meataka jarak dar verte u. Label u u G : v 1 v v 3 v1 v5 v 1 v 4 v5 v6 v4 v6 v 7 v 1 v 3 3 v 7 v 8 v v 8 v 9 v 1 (a) (b) Gambar 1. Graf utuk Meglustraska Jarak Duta.com IN : 86-9436 Volume 9 Nomor 1 eptember 15 38
ebaga lustras, dberka graf G pada Gambar 1(a) dtetuka jaraka dar verte u ke setap verte d G dega algortma BF Moore sebaga berkut. 1. Verte u dlabel da semua verte sela u dlabel.. emua verte berlabel ag adjacet dega u, atu,, da v, dlabel 1. 3. emua verte berlabel ag adjacet dega verte berlabel 1, atu, v, v6 1, v, dlabel. v1 v 5 v3 1 7 4. emua verte berlabel ag adjacet dega verte berlabel, atu v, dlabel 3. Dega demka, dperoleh label tap-tap verte atu pada Gambar 1(b). B. METODE PENELITIAN Peelta merupaka peelta ag ddasarka pada stud pustaka ag bersfat teorts. Utuk meelesaka permasalaha tersebut aka dlakuka tahapa-tahapa sebaga berkut. 1. Meelusur pustaka ag berupa buku-buku referes, jural, artkel da megkaj kosep-kosep dasar ag berkata dega graf, etermal problem da khususa dgraph eksetrk.. Mempelajar da megkaj beberapa hasl peelta tetag dgraph eksetrk pada suatu graf ag sudah dperoleh. 3. Mempelajar da megkaj kelas graf crow. 4. Mecar dgraf eksetrk dar graf crow dega tahapa sebaga berkut. (a) meetuka jarak, d(u,v), dar verte u ke setap verte laa dalam graf crow dega algortma BF Moore. elajuta, dtetuka eksetrstas verte u, e(u), dega memlh maksmal jarak dar verte u tersebut, (b) meetuka verte eksetrk v dar u dalam graf crow jka d(u,v) = e(u), (c) meghubugka verte u dega verte eksetrka dalam graf crow dega arc, sehgga dperoleh dgraf eksetrk dar masg-masg graf tersebut. Duta.com IN : 86-9436 Volume 9 Nomor 1 eptember 15 39
C. HAIL DAN DIKUI Graf crow utuk 3 ddefska sebaga suatu graf dega hmpua verte,,,,,,, } da hmpua edge { 1 1 1 1 {(, ) :, j 1, j} (Brouwer, 1989). Atau graf crow j graf bpartte legkap dsajka pada Gambar. K,, dega edge ag horsotal dhlagka. Gambar graf crow Gambar. Graf crow 3, 4, 5 da 6 Lema 1. Msalka suatu graf crow dega 3, maka eksetrstas verte e ( ) 3, utuk,1,, 1 da eksetrstas verte e ( ) 3, utuk,1,, 1. Bukt. Dega megguaka Algortma BF Moore dapat dketahu jarak terjauh dar verte ke verte 3, jad eksetrstas verte 3. ela tu, jarak terjauh dar verte 3. ke verte 3 jad eksetrstas verte Lemma. Msalka suatu graf crow dega 3, maka verte eksetrk dar verte, utuk,1,, 1 da verte eksetrk dar verte, utuk,1,, 1. Bukt. Verte eksetrk dapat dcar dega melhat eksetrstas ag dperoleh dar semua verte. Dar Lema 1, eksetrstas verte 3, maka verte Duta.com IN : 86-9436 Volume 9 Nomor 1 eptember 15 4
eksetrka eksetrka.. elajuta eksetrstas verte 3, maka verte Lema 3. Msalka suatu graf crow dega 3, maka dgraph eksetrka dgraph dega hmpua verte da hmpua arc V( ED( )) {, 1,, 1, 1,,, 1} A( ED( )) { /,1,, 1}. Bukt. Arc dapat dperoleh dega meggabugka setap verte dega verte eksetrka dar graf crow. Dar Lema, eksetrstas verte da eksetrstas verte, jad adjacet ke da adjacet ke, sehgga membetuk arc,,1,, 1. Teorema 4. Msalka suatu graf crow dega 3, maka dgraph eksetrk dgraf K atau dsebut juga ladder rug dega karakterstk hmpua verte da hmpua arc V( ED( )) {, 1,, 1, 1,,, 1} A( ED( )) { /,1,, 1}. Bukt. Dar Lema 3, eksetrstas verte da eksetrstas verte, jad adjacet ke da adjacet ke, sehgga membetuk arc, ag smetrs. Berdasarka hmpua arc, maka hmpua verte V ( ED( )) dapat dbetuk suatu dgraf ag la. Dega observas dperoleh bahwa ED ) K, ED ( ) 3K, ED ) 4K, sehgga jelas bahwa 3 ( 4 ED ( ) K dega hmpua verte da edge sepert dkataka dalam Lema 3. ( Duta.com IN : 86-9436 Volume 9 Nomor 1 eptember 15 41
D. KEIMPULAN Dgraf eksetrk dar graf crow dgraf K atau dsebut juga graf ladder rug. DAFTAR PUTAKA Brouwer, A. E.; Cohe, A. M.; ad Neumaer, A. Dstace-Regular Graphs. New York: prger-verlag, 1989. Cartrad, G. ad L. Lesak, 1996, Graphs ad Dgraphs 3 rd ed., Chapma ad Hall/RCR, New York. Chartrad, G. ad O. R. Oellerma, 1993, Appled ad Algorthmc Graph Theor, Iteratoal eres Pure ad Appled Mathematcs, McGraw-Hll Ic, Calfora. Ferrero, D. ad F. Harar, 9, O eccetrct sequeces of coected graphs, AKCE J. Graphs. Comb., 6, No. 3 : 41-48. Gmbert, J., N. lopez, M. Mller ad J. Ra, 6, Characterzato of Eccetrc Dgraphs, Dscrete Mathematcs, 36:1-19.. Harrs, J. M., J. L. Hrst ad M. J. Mossghoff,, Combatorcs ad Graph Theor d ed.. prger, New York. Havar, A., P. Hrcar ad G. Mooszava, 4, Eccetrc equece ad Ccles Graphs, Acta Uv. M. Bel Math, o 11:7-5. Kamalesh V.N. ad. K. rvatsa, 8, O the Assgmet of Node Number a Computer Commucato Network, Proceedgs of the World Cogress o Egeerg ad Computer cece 8, a Fracsco, UA :1-4. Keller, A. A, 7, Lecographc All Crcuts Eumerato Large cale Macroecoometrc Models, Proceedgs of the World Cogress o Egeerg ad Computer cece 7, a Fracsco, UA :1-6. Tr Atmojo Kusmaad, Yem Kusward, Bud Usodo ad Nugroho Arf udbo, The Eccetrc Dgraph of Coroa of Ccle Wth A Graph H, Far East Joural of Mathematcal ceces (FJM), Volume 97, Issue 4, Pages 47-416 Duta.com IN : 86-9436 Volume 9 Nomor 1 eptember 15 4