Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 (MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS Euis Hartini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran, Jl. Raya Bandung-Sumedang KM. 2 Jatinangor Email : euis_hartini@yahoo.co.id Abstrak Di dalam persamaan A x = λ x, di mana matriks A ε M (C), diperoleh skalar λ ε C adalah nilai coneigen dari nilai A dan x ε C adalah vektor coneigen (vektor coninvarian) dari A yang berkaitan dengan λ. Tidak setiap matriks di M (C) mempunyai vektor coninvarian. Dengan demikian, didefinisikan subruang L ε C dan L subruang coninvarian dari matriks A jika A L L dengan L = {x x ε L } di mana x adalah konjugat dari vektor kolom x. Pada paper ini akan dibuktikan untuk setiap matriks A ε M (C) (n 3) mempunyai subruang coninvarian dimensi- atau 2. Sedangkan untuk A matriks normal konjugat (A ε CN ), jika setiap subruang coninvarian dari A ε CN maka berlaku juga subruang coninvarian dari A. Kata Kunci : Nilai coneigen, vektor coninvarian, subruang coninvarian, dan matriks normal konjugat.. PENDAHULUAN Sebarang vektor x yang ditransformasikan oleh matriks kuadrat A berordo n n atas lapangan F kedalam λx, sehingga Ax = λx, di mana x disebut vektor invarian atau vektor karakteristik atau vektor eigen dari A yang berkaitan dengan skalar λ (nilai eigen) dari matriks A. Untuk menentukan λ nilai eigen dari matriks A berordo n n, yaitu melalui persamaan karakteristik det(λi A) = 0 dan untuk menentukan x vektor invarian yang berkaitan dengan λ yaitu (λi A)x = 0. Menurut sifat jika λ, λ,, λ adalah nilai eigen yang berlainan dari matriks A berordo n n dan jika x, x,, x merupakan vektor-vektor invarian tak nol yang masing-masing berkaitan dengan nilai eigennya, maka {x } untuk i=, 2,, k adalah bebas linier. Jika λ nilai eigen dari A berordo n n maka rank λ I A adalah n dan dimensi ruang vektor invarian yang berkaitan dengan λ adalah. Selanjutnya untuk skalar λ C dan vektor tak nol x C masing-masing disebut nilai coneigen dan vektor coninvarian yang berkaitan dengan λ dari matriks A M (C), berlaku Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 20 258
Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 Ax = λx. Di dalam ruang vektor yang skalarnya bilangan real disebut ruang vektor real dan ruang vektor yang skalarnya kompleks disebut suatu ruang vektor kompleks. Dengan demikian di dalam ruang vektor yang skalarnya coneigen invarian dari matriks kuadrat kompleks disebut ruang vektor coneigen invarian matriks kuadrat kompleks. 2. PEMBAHASAN Dalam pembahasan paper ini diberikan definisi-definisi untuk menunjang pembuktian teorema berikutnya, yaitu sebagai berikut Definisi. Kenormalan suatu matriks kuadrat A adalah AA = A A () Definisi 2. Suatu matriks A M (C) dikatakan normal konjugat jika AA = A (2) Misalkan matriks A, B M (C) dikatakan consingular jika B = SAS untuk matriks S nonsingluar. Didefinisikan matriks perkalian berikut ini. berikut ini : A = A A dan A = AA = A (3) Karena tidak setiap matriks di M (C) mempunyai vektor coneigen maka didefinisikan Definisi 3. Subruang L ε C dan L subruang coninvarian dari matriks A M (C) jika A L L (4) dengan L = {x x ε L } di mana x adalah konjugat dari vektor kolom x. Hal khusus, jika dimensi L =, maka untuk setiap vektor tak nol x coneigen (vektor coninvarian) dari A. Berikut ini contoh dari Definisi 3. L disebut vektor Contoh. 2 + i A = maka i 3 det (λi A) = λ 2 i + i λ 3 = (λ 2)(λ 3) 2 = λ 5λ + 4 = (λ )(λ 4) = 0 Jadi, nilai coneigen matriks A adalah λ = dan λ = 4 Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 20 259
Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 i Untuk λ = λ =, maka + i 2 x x = 0 0 diperoleh x = ( i)s dan x = s. Jadi, x = ( i)s i = s merupakan ruang eigen ( ruang solusi/ coninvarian) yang s i berdimensi satu dengan basis u =, u merupakan vektor coninvarian dari A. 2 i Untuk λ = λ = 4 maka x + i x = 0 0 diperoleh x = dan x = s. Jadi, x = s s = s merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu dengan basis v =, v merupakan vektor coninvarian dari A. 2 + i i Dengan demikian, A L = = + i dan L = i 3 Jadi, berlaku A L L. Sebagai dasar pada subruang coninvarian diberikan teorema berikut ini. Teorema. Untuk setiap matriks A ε M (C) (n 3) mempunyai subruang coninvarian dimensi atau 2. Bukti : Misalkan x merupakan vektor eigen A dengan A x = A Ax = λx (5) untuk suatu λ ε C. Didefinisikan y = Ax (6) Andaikan y dan x adalah bergantung linier, yaitu Ax = μx (7) Untuk suatu μ ε C, maka x adalah vektor coninvarian dari A dan L = span{x} merupakan subruang coninvarian dimensi-. Persamaan (7) akan berlaku A x = A Ax = μ x, sedangkan persamaan (5) nilai eigen λ merupakan bilangan nonnegatif. Diasumsikan bahwa y dan x adalah bebas linier. Maka persamaan (6) dapat ditulis sebagai Ax = y dan persamaan (5) dapat ditulis sebagai berikut Ay = λ x, (8) hal ini berarti L = span{x, y} adalah subruang coninvarian dimensi-2 dari A. Sehingga didapat hubungan matriks berikut ini A{x, y} = {x, y} 0 λ. (9) 0 Dengan y vektor eigen dari A dari persamaan(6) dan perkalian persamaan (8) dengan A diperoleh Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 20 260
Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 A y = A Ay = λax = λ y. (0) Jadi vektor x berkaitan dengan nilai eigen λ, dan vektor y berkaitan λ. Dengan demikian L subruang dimensi-2, dalam hal ini subruang invarian dari invarian A dibangun oleh dua vektor eigen yaitu pasangan nilai eigen konjugat kompleks. Jika λ 0 maka dari (9) berlaku μ = λ dan untuk (6) dapat didefinisikan Maka diperoleh dan y = Ax () Ax = μy, Ay = μx A[x y] = [x y] 0 μ. (2) μ 0 Diberikan contoh untuk matriks berordo 3 x 3 atas bilangan kompleks. Contoh 2. i A = i i untuk menentukan nilai coninvarian λ dari matriks A dengan melalui i λ + i det (λi A) = 0 yaitu i λ i = 0 i λ + (λ + )(λ )(λ + ) + i + i (λ ) i (λ + ) i (λ + ) = 0 λ + λ = 0 λ (λ + ) = 0 Jadi, nilai coninvarian dari A adalah λ = 0 dan λ = x i 0 Untuk λ = 0 maka i i x = 0 diperoleh x =, x = 0, dan x =. Jadi, i x 0 x = 0 merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu dengan basis u = 0, u merupakan vektor coninvarian dari A. 0 i x 0 Untuk λ = maka i 2 i x = 0 diperoleh x = i, x =, dan x = 0. Jadi, i 0 x 0 i x = merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu dengan 0 i basis v =, v merupakan vektor coninvarian dari A. 0 Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 20 26
Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 Sifat. Misalkan A. i submatriks dari baris i,, i (i i i ) dari suatu matriks A M (C). Jika A C ℵ maka A = A,...,,, Selanjutnya akan diberikan matriks normal konjugat Cℵ, di mana jika A ε Cℵ maka A ε ℵ dan A ε ℵ. Sifat subruang coninvarian dari berikut ini. A ε Cℵ diberikan pada teorema Teorema 2. Jika untuk setiap subruang coninvarian dari A ε C ℵ maka berlaku juga subruang coninvarian dari A. Bukti : Misalkan L merupakan subruang coninvarian dimensi-k dari A ( k n). Misalkan basis ortonomal q,, q di L dan q,, q, q,, q merupakan elemen ruang C dan didefinisikan Q = Q Partisi B yang bersesuaian dengan Q B = B B B B dimana B adalah blok k k. Dari (3) dapat ditulis Q = [q q ], B = Q AQ (3) AQ = QB. (4) maka menurut definisi subruang coninvarian B = 0. Misalkan B ε Cℵ berlaku (3) B = 0. dari (3), diperoleh B = Q A Q dan A Q = QB (5) Persamaan (5) berarti L adalah subruang coninvarian dari A. Contoh 3. 2 i A = i 2 maka 2 i A = i 2 = A, A = A 2 + i = + i 2, A 2 i = i 2 = A, dan A 2 + i = = A + i 2 Jadi, AA 2 i = i 2 2 + i + i 2 A = A 2 i = i 2 2 + i + i 2 Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 20 262
Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 Dengan demikian AA =A, sehingga A merupakan matriks normal conjugate. Selanjutnya, untuk menentukan nilai coneigen λ dan vektor invariant dari matriks di atas diperoleh det (λi A) = 0 λ 2 + i + i λ 2 = (λ 2) ( + i) = 0 Jadi, nilai-nilai coneigen dari matriks A adalah λ 2 = + i λ = i + Untuk λ = i + 3 i + + i (λ 2) + ( + i)((λ 2) ( + i) = 0 + i i + x x = 0 0 maka diperoleh x = t dan x = t λ 2 = ( + i) λ = i + 3 dan Jadi, x = t = t merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang t berdimensi satu dengan basis u =, u merupakan vektor coninvarian dari A. Untuk λ = i + 3 i + + i + i i + x x = 0 0 maka diperoleh x = s dan x = s Jadi, x = s = s merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang s berdimensi satu dengan basis v =, v merupakan vektor coninvarian dari A. Karena A matriks normal conjugate, maka nilai coneigen dan vektor coninvarian dari matriks A sama halnya dengan nilai coneigen dan vektor coninvarian dari matriks A. 3. KESIMPULAN Untuk setiap matriks A berordo 2 x 2 atas bilangan komplek mempunyai subruang coninvarian berdimensi -. Sedangkan untuk setiap matriks A berordo n x n atas bilangan kompleks dengan n 3 mempunyai subruang coninvarian berdimensi - atau 2. Untuk A matriks normal conjugate, subruang coninvarian A sama halnya dengan subruang coninvarian A. 4. DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard, 2000, Dasar dasar Aljabar Linear, diterjemkan pleh Ir. Hari Suminto, Interaksara, Batam Ayres, Frank,Jr.PhD, 994, Matriks, diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Erlangga, JakartaFaϐbender,H dan Ikramov,Kh. D.,2006, Some observation on the Youla form and conjugate-normal matrices. http://www.icm.tu-bs.de/~hfassben/papers/youla.pdf (diakses pada bulan Juni 20) Faϐbender, H, dan Kh. D. Ikramov, 30 November 2007, Conjugate-normal matrices A Survey. http://www.icm.tu- bs.de/~hfassben/papers/youla.pdf (diakses pada bulan Juni 20) Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 20 263