EKSISTENSI DAN KONSTRUKSI GENERALISASI

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. V No. Hal SSN : c Jurusan Matematika FMPA UNAND KSSTNS DAN KONSTRUKS GNRALSAS {}-NVRS DAN {, 2}-NVRS ZAHY DL FTR, YANTA, NOVA NOLZA BAKAR Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, ndonesia, [email protected] Abstrak. Generalisasi invers merupakan perluasan dari konsep invers matriks. Untuk setiap matriks A berukuran m n dari elemen real atau kompleks, terdapat matriks tunggal X sehingga memenuhi empat persamaan yang dikenal dengan persamaan Penrose. Generalisasi invers yang memenuhi keempat persamaan Penrose disebut invers Moore- Penrose, sedangkan yang hanya memenuhi beberapa persamaan Penrose tetap disebut sebagai generalisasi invers. Tugas akhir ini membahas tentang generalisasi {}-invers dan {, 2}-invers. Untuk menentukan {}-invers dan {, 2}-invers dari suatu matriks, maka matriks tersebut harus diubah kedalam bentuk normal Hermite terlebih dahulu. Kata Kunci: Matriks, generalisasi invers, persamaan Penrose, matriks normal Hermite.. Pendahuluan Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan entri atau anggota matriks. Matriks sama halnya dengan variabel biasa, dapat dikalikan, dijumlah, dikurangkan, dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pada tahun 920.H Moore mendeskripsikan salah satu jenis invers matriks yang dikenal dengan nama generalisasi invers. Generalisasi invers merupakan perluasan dari konsep invers matriks, dimana invers matriks tidak lagi hanya untuk matriks yang nonsingular. Kemudian pada tahun 955 Roger Penrose berhasil mendeskripsikan empat persamaan yang harus dipenuhi untuk menentukan generalisasi invers 2. Persamaan tersebut dikenal sebagai persamaan Penrose, dan generalisasi invers yang memenuhi keempat persamaan Penrose dikenal dengan nama nvers Moore-Penrose. Sedangkan generalisasi invers yang hanya memenuhi beberapa persamaan Penrose tetap dinamakan sebagai generalisasi invers. Persamaan invers Moore-Penrose adalah sebagai berikut. AXA = A, (.) XAX = X, (.2) (AX) = AX, (.3) (XA) = XA. (.4) 77

2 78 Zahy dil Fitri dkk. Untuk memudahkan penyebutan, maka generalisasi invers dibagi ke dalam kelaskelas tertentu. Pembagian kelas-kelas ini didasarkan kepada banyaknya persamaan Penrose yang dapat dipenuhi berdasarkan persamaan (.) persamaan (.4), yaitu {}-invers, {, 2}-invers, {, 2, 3}-invers, {, 2, 4}-invers dan {, 2, 3, 4}-invers. 2. Persamaan Penrose Pada tahun 955, Penrose 2 menunjukkan bahwa untuk setiap matriks hingga A (persegi atau persegi panjang) dari elemen real atau kompleks, terdapat matriks tunggal X sehingga memenuhi empat persamaan yang dikenal sebagai Persamaan Penrose. Persamaan inilah yang menjadi dasar adanya gene-ralisasi invers suatu matriks. mpat persamaan Penrose tersebut adalah: AXA = A (2.) XAX = X (2.2) (AX) = AX (2.3) (XA) = XA (2.4) dimana A C m n, X C n m, dan A adalah transpos konjugat dari A. Matriks X yang memenuhi persamaan (2.), (2.2), (2.3), dan (2.4) disimbolkan dengan X = A. Generalisasi invers yang memenuhi keempat persamaan Penrose disebut nvers Moore-Penrose, sedangkan yang hanya memenuhi beberapa persamaan Penrose tetap disebut sebagai generalisasi invers. Teorema Jika A C n n matriks nonsingular, maka A = A. Definisi Misalkan A C m n dan X C n m () Matriks X disebut {}-invers dari matriks A jika memenuhi persamaan (2.) dan selanjutnya dinotasikan dengan X A {} atau A (). (2) Matriks X disebut {, 2}-invers dari matriks A jika memenuhi persamaan (2.) dan (2.2) yang selanjutnya dinotasikan dengan X A {, 2} atau A (,2). (3) Matriks X disebut {, 2, 3}-invers dari matriks A jika memenuhi persamaan (2.), (2.2) dan (2.3) yang selanjutnya dinotasikan dengan X A {, 2, 3} atau A (,2,3). (4) Matriks X disebut {, 2, 4}-invers dari matriks A jika memenuhi persamaan (2.),(2.2) dan (2.4) yang selanjutnya dinotasikan dengan X A {, 2, 4} atau A (,2,4). (5) Matriks X disebut {, 2, 3, 4}-invers dari matriks A jika memenuhi persamaan (2.),(2.2), (2.3) dan (2.4) yang selanjutnya dinotasikan dengan X A {, 2, 3, 4} atau A (,2,3,4). Teorema Jika A C m n dan A {, 2, 3, 4} tidak kosong, maka invers Moore-Penrose untuk A adalah tunggal.

3 Contoh 2.4. Bentuk normal Hermite dari matriks 2 3 A = adalah ksistensi dari {}-nvers Dan {, 2}-nvers 79 0 AP = 0 2. (2.5) ksistensi dan Konstruksi dari {}-invers Teorema Misalkan R = r K (3.) merupakan matriks partisi yang berukuran m n dengan rk(r) = r dimana K C r (n r), maka {}-invers dari R C m n adalah S = r 0 r (m r) (3.2) 0 (n r) r L yang berukuran n m dengan L C (n r) (m r). Bukti. Diambil sebarang S C n m dimana S yang diberikan oleh (3.2) dengan L C (n r) (m r), dan matriks R C m n yang diberikan oleh (3.) dengan K C r (n r). Akan dibuktikan bahwa matriks S merupakan {}-invers dari R, dengan kata lain memenuhi persamaan (2.). Perhatikan bahwa RSR = r K r 0 r (m r) r K 0 (n r) r L = r K = R. Teorema Misalkan A C m n dengan rk(a) = r, C m m dan P C n n merupakan matriks nonsingular sedemikian sehingga AP = r K dimana K C r (n r), maka {}-invers dari A dapat dibentuk dari matriks partisi berikut ini A () = P r 0 r (m r) 0 (n r) r L dengan L C (n r) (m r)

4 80 Zahy dil Fitri dkk. Bukti. Misalkan P C n n dan C m m keduanya merupakan matriks nonsingular, maka terdapat C n n sedemikian sehingga P = P = n dan C m m sedemikian sehingga = = m. Perhatikan bahwa AP = r K AP = r K ( )A(P ) = r K A = r K Akan ditunjukkan A () merupakan {}-invers dari A, dengan kata lain memenuhi (2.). Perhatikan bahwa AA () A = r K r K = r K = A P Contoh 3.3. Diberikan matriks 0 2i i i A = i i r 0 r (m r) 0 (n r) r L yang berukuran 3 6. Akan ditentukan {}-invers dari A. Untuk mendapatkan {}- invers dari A, pertama matriks A disederhanakan ke dalam bentuk normal Hermite. Diperoleh bentuk normal Hermite dari A, yakni i 2 i AP = i dimana 2 i 0 0 = = i 3

5 dan Dengan mengambil ksistensi dari {}-nvers Dan {, 2}-nvers P =. (3.3) α L = β γ C 4, δ maka {}-invers dari A adalah A () r O = P O L i 0 0 = 0 0 α β γ i δ iα 3 α α 2 i 0 0 iβ = 3 β β iγ 3 γ γ iδ 3 δ δ Perlu dicatat bahwa, secara umum, skalar iα, iβ, iγ, iδ bukan imajiner murni, karena α, β, γ, δ adalah kompleks. Lema 3.4. Misalkan A C m n dengan rk(a) = r, λ C, dan λ didefinisikan sebagai { λ λ (λ 0) = 0 (λ = 0) maka (a) (A () ) A {} (b) Jika A nonsingular, maka A () = A tunggal

6 82 Zahy dil Fitri dkk. (c) λ A () (λa) {} (d) rk(a () ) rk(a) (e) Jika S dan T adalah nonsingular, maka T A () S SAT {} (f) Jika AA () dan A () A adalah idempoten dan matriks nonsingular, maka AA () dan A () A mempunyai rank yang sama seperti A. 4. ksistensi dan Konstruksi dari {, 2}-invers Lema Jika Y, Z A {} dan X = Y AZ, maka X A {, 2}. Bukti. Misalkan Y, Z A {} dan X = Y AZ, akan dibuktikan X A {, 2}. Matriks Y, Z A {}, berarti memenuhi AY A = A dan AZA = A. Diketahui X = Y AZ, maka akan ditunjukkan bahwa X memenuhi persamaan (2.) dan (2.2), yaitu () AXA = A(Y AZ)A = (AY A)ZA = AZA = A (2) XAX = (Y AZ)A(Y AZ) = Y (AZA)Y AZ = Y AY AZ = Y (AY A)Z = Y AZ = X Teorema Misalkan matriks A C m n dengan rk(a) = r dan X A {}. Maka X A {, 2} jika dan hanya jika rk(x) = rk(a). Teorema Misalkan matriks A C m n dengan rk(a) = r, dan X A {, 2} dengan rk(x) = rk(a), maka X = P r 0 r (m r) (4.) 0 (n r) r 0 (n r) (m r) dimana C m m dan P C n n merupakan matriks nonsingular. Bukti. Misalkan A C m n dengan rk(a) = r, dan X A {, 2} dengan rk(x) = rk(a). Akan ditunjukkan bahwa X = P r 0 r (m r). 0 (n r) r 0 (n r) (m r) Oleh karena A C m n dan rk(a) = r, maka A dapat ditulis sebagai A = r K. Selanjutnya rk(a) = rk(x) = r, maka untuk X A {} berlaku X = P r 0 r (m r). 0 (n r) r 0 (m r) (n r)

7 ksistensi dari {}-nvers Dan {, 2}-nvers 83 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa X pada persamaan (4.) memenuhi persamaan (2.) dan (2.2). Perhatikan bahwa AXA = r K P r 0 r (m r) 0 (n r) r 0 (m r) (n r) r K = r K = A XAX = P r 0 r (m r) r K 0 (n r) r 0 (m r) (n r) P r 0 r (m r) 0 (n r) r 0 (m r) (n r) = P r 0 r (m r) 0 (n r) r 0 (m r) (n r) = X Contoh 4.4. Diberikan matriks 0 2i i i A = i i Akan ditentukan {, 2}- invers dari A. Dengan memilih L = O, maka diperoleh {, 2}- invers dari A r O X = P O L i 0 0 = i i X =

8 84 Zahy dil Fitri dkk. Daftar Pustaka Anton, H Aljabar Linear lementer(terjemahan); edisi ke 8. rlangga, Jakarta 2 Ben-srael, A and Greville, Thomas N Generalized nverses Theory And Aplication; Second dition. Springer-Verlag New York, nc, USA 3 H.S, D.Suryadi dan S.Harini M Teori dan Soal Pendahuluan Aljabar Linier. Ghalia ndonesia, Jakarta 4 Hadley, G Linear Algebra (terjemahan). rlangga, Jakarta 5 Leon, S.J Aljabar Linear dan Aplikasinya(terjemahan); edisi ke 5. rlangga, Jakarta 6 Piziak, R and Odell, P.L Matrix Theory From Generalized nverses to Jordan Form. Taylor and Francis Group, Canada 7 Supranto, J Pengantar Matrix. PT RNKA CPTA, Jakarta