BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang berperan penting dalam berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang banyak diperbincangkan adalah analisis, yaitu cabang ilmu yang membahas tentang konsep-konsep fungsi, limit fungsi, kekontinuan fungsi, pengintegralan fungsi, barisan, kekonvergenan barisan, dan deret. Analisis fungsional merupakan salah satu topik yang dibahas dalam Matematika analisis. Analisis fungsional banyak bekerja dalam suatu himpunan dengan aksioma-aksioma tertentu yang disebut dengan ruang. Beberapa ruang yang dibahas antara lain ruang vektor, ruang bernorma, ruang Banach, ruang pre-hilbert dan ruang Hilbert. Ruang vektor dikembangkan menjadi bahasan mengenai konsep ruang bernorma, yaitu ruang vektor yang dilengkapi dengan fungsi, yang disebut norma, dari ruang vektor tersebut ke R dan memenuhi beberapa aksioma tertentu. Beberapa sifat di dalam ruang bernorma yang digunakan dalam konsep analisis fungsional ialah ketertutupan himpunan, kekonvergenan barisan, kelengkapan, dan pemetaan pada ruang bernorma. Kemudian, suatu sifat yang menjelaskan bahwa tidak semua barisan Cauchy di dalam ruang bernorma merupakan barisan yang konvergen menjadi dasar dari pendefinisian ruang Banach. Salah satu contoh dari ruang bernorma adalah ruang pre-hilbert, yaitu ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu fungsi yang disebut inner product. Karena ruang pre-hilbert merupakan ruang bernorma, maka sifat-sifat yang berlaku pada ruang bernorma juga berlaku pada ruang pre-hilbert. Selanjutnya, ruang pre-hilbert yang lengkap disebut ruang Hilbert. Pemetaan dari ruang vektor ke ruang vektor dikenal sebagai operator. Sifatsifat operator yang banyak digunakan dalam analisis fungsional ialah kelinearan, kekontinuan dan keterbatasan. Operator dari ruang vektor ke R atau C dikenal 1
2 sebagai fungsional. Kemudian dikembangkan suatu teorema yang dikenal sebagai Teorema Representasi Riesz. Teorema ini menjadi dasar eksistensi dari adjoint operator. Selanjutnya, Berberian(1978) dan Debnath(2005) mempelajari salah satu jenis operator linear yaitu operator linear tak terbatas. Operator linear tak terbatas memanfaatkan karakteristik ruang L 2 [a, b] untuk mengkonstruksi contoh-contohnya. Operator ini berkaitan dengan masalah persamaan diferensial yang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Akan tetapi, tidak mudah mengenali apakah suatu operator merupakan operator linear tak terbatas atau bukan. Dengan demikian, dalam skripsi ini akan dibahas pendefinisian dan beberapa karakteristik yang dimiliki oleh operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert. Sehingga lebih mudah untuk mengenali dan memahami operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert. Lebih lanjut, dibahas mengenai resolvent dan spektrum dari operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Bagaimana pendefinisian dan karakteristik operator linear pada ruang Hilbert, khususnya pada ruang L 2 [a, b]. 2. Bagaimana operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert secara umum beserta sifat-sifat yang berlaku di dalamnya. 1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada ruang L 2 [a, b] dan pengertian beserta sifat-sifat yang berlaku di dalam operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert. Konsep operator yang dibahas terbatas pada konsep operator linear dari subset ruang Hilbert ke ruang Hilbert.
3 1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini juga bertujuan untuk mengetahui bahwa ruang L 2 [a, b] merupakan ruang Hilbert dan pengertian serta sifat-sifat dalam operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert. Lebih lanjut dibahas tentang resolvent dan spektrum dari operator linear tak terbatas. 1.5. Tinjauan Pustaka Salah satu teori yang banyak dibahas dalam Matematika analisis adalah analisis fungsional, khususnya teori operator. Beberapa ruang yang dibahas dalam analisis fungsional di antaranya ruang vektor, ruang bernorma, ruang Banach, ruang pre-hilbert dan ruang Hilbert. Kreyszig(1978) dan Rudin(1991) membahas mengenai ruang bernorma, yaitu ruang vektor yang dilengkapi oleh fungsi dari ruang vektor tersebut ke R yang memenuhi aksioma tertentu dan disebut sebagai norma. Selanjutnya, dari suatu sifat yang menyatakan bahwa tidak semua barisan Cauchy konvergen, diperoleh definisi mengenai ruang Banach. Salah satu contoh ruang bernorma ialah ruang pre-hilbert. Ruang pre-hilbert merupakan ruang vektor yang dilengkapi fungsi yang disebut inner-product. Karena ruang pre-hilbert merupakan ruang bernorma, maka beberapa konsep seperti ketertutupan himpunan, kekonvergenan barisan, kelengkapan, dan pemetaan pada ruang bernorma berlaku pula pada ruang pre-hilbert. Pembahasan ruang pre-hilbert diacu dari Berberian(1971) dan Debnath(2005). Dalam kedua buku tersebut membahas tentang ruang Hilbert. Salah satu contoh ruang Hilbert ialah ruang L 2 [a, b]. Pembahasan mengenai ukuran Lebesgue yang menjadi dasar pembahasan ruang L 2 [a, b] diacu berdasarkan Royden(1988) dan Wheeden(1977). Sebelumnya, Berberian(1971) dan Kreyszig(1978) juga membahas mengenai pemetaan yang bekerja pada ruang vektor. Salah satu pemetaan yang banyak dibahas adalah pemetaan dari ruang vektor ke R atau C yang dikenal sebagai fungsional. Selanjutnya, dikembangkan tentang pemetaan dari ruang vektor ke ruang vektor yang dikenal sebagai operator. Fungsional beserta sifat-sifat yang berlaku di
4 dalamnya dan operator beserta sifat-sifatnya menjadi dasar dari pembahasan analisis fungsional. Pada skripsi ini dipelajari mengenai teori operator pada ruang Hilbert yang karakteristik dan sifat-sifatnya berdasar pada konsep mengenai fungsional. Ada banyak jenis operator yang telah ditemukan, salah satunya operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai pengertian, karakteristik dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya. Pembahasan ini mengacu pada Debnath(2005) dan Remling(2013). Beberapa contoh yang diberikan memerlukan teori tambahan yang diacu dari beberapa buku, seperti Reed(1980) dan Paul(2011). 1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah studi literatur. Diawali dengan membaca literatur-literatur mengenai pengertian ruang Hilbert beserta sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dan pengertian operator linear kontinu pada ruang Hilbert. Di dalam penelitian ini, yang akan dilakukan adalah melengkapi bukti beberapa sifat yang dikemukakan dalam literatur utama dan menambahkan beberapa sifat yang belum dikemukakan dalam literatur tersebut. Beberapa sifat yang ditambahkan diperoleh dari literatur-literatur lain yang terkait dan melakukan generalisasi. Selain itu, dikonstruksikan contoh kasus dari beberapa definisi yang diberikan pada literatur utama untuk membantu memahami definisi yang terkait. Contoh-contoh yang dimaksud diambil dari beberapa literatur yang kemudian disesuaikan sehingga diperoleh contoh yang diharapkan. Penelitian dilakukan dengan terlebih dahulu mempelajari konsep ruang Hilbert dan operator linear pada ruang Hilbert, khususnya untuk operator linear tak terbatas. Selanjutnya, dengan mempelajari literatur-literatur yang dibutuhkan, diperoleh beberapa hasil dalam skripsi ini, yaitu mengenai sifat-sifat yang berlaku dalam ruang Hilbert dan operator linear. Berdasarkan sifat keterbatasan operator, didefinisikan operator linear tak terbatas. Selanjutnya menggunakan Teorema Representasi Riesz yang sudah diberikan, diperoleh eksistensi adjoint operator tak terbatas. Kemudian dibahas juga mengenai grafik, sifat ketertutupan dan closable, serta sifat
5 simetrik dan self-adjoint operator linear tak terbatas. Lebih lanjut dibahas mengenai resolvent dan spektrum dari operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert. Contoh-contoh yang diberikan dalam pembahasan operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert mengacu pada ruang L 2 [a, b]. 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, dan metodologi penelitian. BAB II DASAR TEORI Dalam dasar teori berisi mengenai pengertian dari ruang bernorma, sifat-sifat ruang bernorma, pengertian dari ruang Banach, pengertian dan sifat-sifat ruang pre- Hilbert, pengertian dan sifat-sifat ruang Hilbert, komplemen orthogonal, serta pemetaan linear dan kontinu. BAB III RUANG L 2 Pada bab ini dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan ruang L 2 beserta beberapa sifat di dalamnya. BAB IV OPERATOR LINEAR TAK TERBATAS PADA RUANG HILBERT Bab ini terdiri dari lima subbab. Subbab pertama menjelaskan tentang operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert serta penjelasan mengenai operator linear tak terbatas yang terdefinisi secara rapat. Subbab kedua menjelaskan tentang eksistensi adjoint operator linear tak terbatas. Selanjutnya dijelaskan tentang grafik operator, operator tertutup, dan operator yang closable beserta karakteristik dan sifat-sifat yang berlaku. Kemudian dibahas juga mengenai simetrik dan self-adjoint operator serta resolvent dan spektrum operator linear tak terbatas pada ruang Hilbert.
6 BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari hasil penelitian.