II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu peubah acak dan dinotasikan dengan Ω. Definisi 2 (Kejadian) Kejadian suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. Definisi 3 (Kejadian saling lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya himpunan kosong. Definisi 4 (Medan - ) Medan- suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1. 2. Jika, maka 3. Jika, maka i1 A i Jika, maka medan- disebut medan Borel. Anggota medan Borel disebut himpunan Borel. Definisi 5 (Ukuran peluang) Misalkan Ω ruang contoh suatu percobaan dan medan- pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata, atau disebut ukuran peluang jika 1. P tak negatif, yaitu setiap 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan n1 n1 maka P An = P An. 3. P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1. Pasangan disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian dan dikatakan saling bebas jika: Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika: setiap himpunan bagian J dari I. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak) Misalkan medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak suatu fungsi dengan sifat bahwa setiap Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. Definisi 9 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak yang didefinisikan oleh Fungsi acak X. disebut fungsi sebaran dari peubah
3 Definisi 10 (Peubah acak kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat ditulis sebagai suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. Definisi 11 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X fungsi yang diberikan oleh Definisi 12 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh k=0,1, Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Misalkan X dan Y peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan. Maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter (Taylor & Karlin 1984) Bukti : lihat Lampiran 1. 2.3 Nilai Harapan dan Ragam Definisi 13 (Nilai harapan) 1. Jika X peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan dari X dinotasikan dengan E(X) Definisi 14 (Ragam) Misalkan X peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan. Ragam dari X, dinotasikan dengan atau, Definisi 15 (Fungsi indikator) Misalkan suatu kejadian. Fungsi indikator dari suatu fungsi yang diberikan oleh 2.4 Kekonvergenan Peubah Acak Terdapat beberapa cara menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak. Definisi 16 (Konvergen dalam peluang) Misalkan barisan peubah acak pada suatu ruang peluang. Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan, jika setiap berlaku, Definisi 17 (Konvergen dalam sebaran) Misalkan peubah acak pada suatu ruang peluang. Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis, jika, semua titik x dimana fungsi sebaran kontinu. 2.5 Penduga asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika X peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari X Definisi 18 (Statistik) Statistik suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. asalkan integral di atas konvergen mutlak.
4 Definisi 19 (Penduga) Misalkan contoh acak. Suatu statistik yang digunakan menduga fungsi parameter dilambangkan dengan Bilamana nilai maka nilai disebut sebagai dugaan (estimate) bagi Definisi 20 (Penduga tak bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yaitu disebut penduga tak bias bagi (ii) Jika maka disebut penduga tak bias asimtotik bagi Definisi 21 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter disebut penduga konsisten bagi Definisi 22 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga parameter fungsi dari yang didefinisikan oleh Dengan kata lain MSE nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga dan parameter, yang dapat dihitung sebagai berikut: dengan 2.6 Proses Stokastik (Cassela & Berger 1990) Definisi 23 (Proses stokastik) Proses stokastik suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state Jadi setiap pada himpunan indeks suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan sebagai waktu dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu Definisi 24 (Proses stokastik waktu kontinu) Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika berupa suatu interval. Definisi 25 (Inkremen bebas) Suatu proses stokatik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika semua peubah acak bebas. Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) bebas. Definisi 26 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama semua nilai. Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut. 2.7 Proses Poisson Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks interval bilangan real tak negatif yaitu Definisi 27 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut: (i) semua (ii) Nilai integer.
5 (iii) Jika maka (iv) Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang Definisi 28 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i). (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan Jadi semua, dengan k=0,1, Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat (iii) juga dapat diperoleh Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta semua waktu disebut proses Poisson homogen (homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu, maka disebut proses Poisson tak homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas harus memenuhi syarat semua Misalkan proses Poisson dan suatu selang bilangan nyata. Jika proses Poisson homogen, maka dengan panjang selang, sedangkan menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang Jika proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas, maka Dengan kata lain, jika Poisson tak homogen maka proses memiliki sifat (i) k=0,1, setiap selang dengan (ii) Untuk setiap bilangan bulat positif dan selangselang yang disjoint dengan proses merupakan peubah acak yang saling bebas. Definisi 29 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas pada titik yaitu nilai fungsi di. (Cressie 1993) Definisi 30 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika berlaku semua dan. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode fungsi tersebut. (Browder 1996) Definisi 31 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya fungsi periodik. (Mangku 2001) 2.8 Beberapa Definisi dan Lema Definisi 32 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika sembarang himpunan Borel terbatas kita peroleh B s ds. B (Dudley 1989) Definisi 33 (O(.) dan o(.)) Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan cara membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan menuju suatu limit. (i) Notasi menyatakan bahwa terbatas,
6 (ii) Notasi menyatakan bahwa (Serfling 1980) Definisi 34 (Titik Lebesque) Kita katakan titik Lebesque dari jika berlaku (Wheeden & Zygmund 1977) (Serfling 1980) Bukti : lihat Serfling 1980. Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika peubah acak dengan nilai harapan dan ragam, maka setiap Lema 2 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan memiliki turunan ke- yang berhingga pada suatu titik, maka Bukti: lihat Lampiran 2.