Matematika Ekonomi BAB. Diferensial Fungsi Sederhana A. Kuosien Diferensi dan Derivatif 1.1 Kuosien diferensi ( y/ ) mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas. ( y/ ) dapat juga kita kenal sebagai lereng dari kurva y f() Penjelasan kuosien diferensi :
Contoh: Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi
Matematika Ekonomi 1. Derivatif Derifatif/turunan hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi. Diferensiasi penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal penambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol Penjelasan : Turunan fungsi limit dari kuosien diferensinya Contoh :
Matematika Ekonomi B. Kaidah-kaidah Diferensial 1. Diferensiasi konstanta Jika y k, dimana k adalah konstanta, maka / 0 contoh : y 5 / 0. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y n, dimana n adalah konstanta, maka / n n-1 contoh : y / -1. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y kv, dimana v h(), / k dv/
Matematika Ekonomi contoh : y 5 / 5( ) 15 4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi jika y k/v, dimana vh(), maka : kdv / v 5 contoh : y, 5( ( ) ) 15 6 5.Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi jika y u + v, dimana u g() dan v h() maka / / + dv/ contoh : y 4 + u 4,/ 8 v,dv/ / / + dv/ 8 + 6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y uv, dimana u g() dan v h() dv maka u + v contoh : y (4 )( ) u dv + v (4 )( ) + ( )(8) 1 4 + 8 4 0 4
Matematika Ekonomi 7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y u/v. dimana u g() dan v h() dv v u maka v 4 contoh : y dv v u ( )(8) (4 v ( ) 8 4 1 6 4 4 4 8. Diferensiasi Fungsi komposit Jika yf(u) sedangkan ug(),dengan bentuk lain yf{g()}, maka : )( contoh : y (4 + 5) misal : u 4 + 5 y u 1, u 5 u(1 ) (4 + 5)(1 ) 96 + 10 )
Matematika Ekonomi 9. Diferensiasi fungsi berpangkat Jika yu n, dimana ug() dan n adalah konstanta, maka / nu n-1.(/) Contoh : y (4 nu + 5) n 1, misal : u 10. Diferensiasi fungsi logaritmik Jika y a log, maka contoh : 1 ln a y 5 (4 11.Diferensiasi fungsi kompositlogaritmik Jika y a logu, dimana ug(), maka : log, 4 + 5)(1 + 5 1 ln ) 96 a 5 1 + 10 1 ln 5
a log e u contoh : y log + ( ) misalkan : u ( + ) a log e u log e 5 ( + ) + 5log e ( )( + ) ( + ) ( ) ( + ) 5log e ( 6) Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 5 ( + ) 1.Diferensiasi fungsi kompositlogaritmik-berpangkat Jika y ( a logu) n, dimana u g() dan n adalah konstanta, maka : a log e u contoh : y (log5 ) misalkan u 5 10 log e (log 5 ) (10) 5 0(log5 5 ) log e 6 (log5 ) log e
Matematika Ekonomi 1. Diferensiasi fungsi logaritmik-napier Jika y ln, maka / 1/ Contoh : y ln 5, / 1/ 1/5 14.Diferensiasi fungsi Komposit- Logaritmik-Napier Jika y ln u, dimana u g(), maka : 1 u contoh : y ln ( misalkan : u ( 1 ( u ( + + + ) 5 ) ( + ) ) 5 ) ( + ) ( 5 6) 15.Diferensiasi fungsi Komposit- Logaritmik-Napier-berpangkat Jika y (ln u) n, dimana u g() dan n : konstanta,maka
Matematika Ekonomi 1 u contoh : y (ln5 ) misalkan u 5 10 1 6 (ln5 ) (10) (ln5 5 16. Diferensiasi fungsi eksponensial Jika y a, dimana a : konstanta, maka :/ a ln a Contoh : y 5, ) a Dalam hal sebab ln ln a e 5 1 y e ln 5, maka e juga, 17.Diferensasi fungsi komposit eksponensial Jika y a u dimana u g(), maka :
Contoh : y 9 a a u u ln ln a a 4 9 misalkan u 4 Kasus Khusus :dalam hal y e (ln9)(6) (6)9 u, maka 4 Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 4 e u 6 ln 9 18. Diferensiasi fungsi kompleks Jika y u v, dimana u g() dan v h() Maka : v 1 vu + u contoh : y 4 v dv lnu u 4 / 4, misalkan : v dv / v 1 v dv vu + u ln u 1 ( )4 (4) + 4 ln 4( ) 16 + + 1 + ln 4 4 + (4 + ln 4) 19. Diferensiasi fungsi balikan
Matematika Ekonomi Jika y f() dan g(y) adalah fungsifungsi yang saling berbalikan (inverse functions) Maka : 1 / contoh : 5y + 0,5 y 4 5 + y 1 / 1 (5 + y ) 0.Diferensiasi Implisit Jika f (, y)0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), / dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari
Matematika Ekonomi contoh : 4y 8y ( 8y + ) + 4y + y 4y 8y + + 0, tentukan y 4y + 1 C. Hakikat Derivatif dan Diferensial 4y 0 y lereng dari kurva lim y 0 y f()
Matematika Ekonomi D. Derivatif dari Derivatif Tergantung pada derajatnya, sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Turunan pertama (first derivative)
Matematika Ekonomi sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kea (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, dan seterusnya. Contoh : Derivatif pertama dan derivative kea sangat bermanfaat untuk menelaah fungsi yang bersangkutan seperti menentukan posisi-posisi khusus dari kurva fungsi nonlinier.
E. Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1. Fungsi Menaik dan Menurun Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kekan tertentu. Contoh : Tentukan apakah y f() 1/ 4 +1-5 merupakan fungsi menaik ataukah fungsi menurun pada 5 dan 7. Selidiki pula untuk 6
Matematika Ekonomi F 1 (X) -8+1 F 1 (5) 5-8(5) +1 -<0 fungsi menurun F 1 (7) 7-8(7) +1 5<0 fungsi menurun F 1 (6) 6-8(6) +1 0 fungsi berada di titik ekstrim yaitu titik minimum. Titik ekstrim fungsi parabolic Turunan pertama dari fungsi parabolik y f() berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. Sedangkan turunan kea berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
Matematika Ekonomi Contoh: y f() - 8 + 1.fungsi parabolik y f () / 8.fungsi linear y f () d y/.konstanta Parabola y f() - 8 + 1, mencapai titik ekstrim dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y 0, nilai variabel bebas 4. 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y -4
Matematika Ekonomi. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kea dari fungsi tersebut Fungsi Kubik y f() mencapai titik ekstrim pada y 0 Jika y < 0 pada y 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y > 0 pada y 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y f() berada di titik belok pada y 0 Contoh : y 1/ + 8 y 6 + 8 y 6 Jika y 0, 6 + 8 0 ( )( 4) 0 1, 4
Matematika Ekonomi Untuk 1 dimasukkan pada persamaan kubik maka y.67 (,.67) titik ekstrim maksimum karena untuk 1 apabila dimasukkan dalam turunan ke a, maka y - < 0 (turunan kea negatif) Untuk 4 dimasukkan pada persamaan kubik maka y. (4,.) titik ekstrim minimum karena untuk 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke a, maka y > 0 (turunan kea positif) Titik belok Jika y 0 6 0, nilai dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkannilai y titik belok (,) Jadi, fungsi kubik y 1/ + 8 berada di : Titik maksimum pada koordinat (;,67) Titik belok pada koordinat (;) Titik minimum pada koordinat (4;,)
Matematika Ekonomi Referensi : http://rosihan.web.id