Dasar Logika Matematika Pertemuan 4: Objective Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set) Himpunan (Set) Mahasiswa dapat memodelkan himpunan dengan menggunakan diagram venn Himpunan (Set) 2 Definisi Himpunan Apa itu himpunan? Himpunan (set) adalah kumpulan objek yang memiliki anggota yang berbeda satu dengan lainnya. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HIMA adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. Georg Cantor (1845-1918) 1. Setiap anggota himpunan harus dituliskan secara rinci B = {2, 4, 6, 8, 10}. C = {TIF, KOM, PSI, DKV, MGT} {2, 4, 6, 8, 10} dan {TIF, KOM, PSI, DKV, MGT} merupakan anggota dari himpunan B dan C. Keanggotaan sebuah himpunan dapat disimbolkan dengan (elemen) dan (bukan elemen). Himpunan (Set) 3 Himpunan (Set) 4
Himpunan (Set) 5 2. Himpunan dapat juga dituliskan menggunakan simbol-simbol baku, sebagai berikut. P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3,... } N = himpunan bilangan asli atau alami (natural) = { 1, 2,... } Z = himpunan bilangan bulat integer= {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks U = semesta (universal) 3. Penyajian himpunan dapat juga direpresentasikan dalam bentuk notasi pembentukan himpunan. Format { x syarat yang harus dipenuhi oleh x}. A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5 Jawab : A = { 1, 2, 3, 4}, jika dituliskan dengan notasi himpunan, maka penulisannya sebagai berikut, A = { x x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x x P, x < 5 } Himpunan (Set) 6 4. Diagram Venn. Diagram venn digunakan untuk menggambarkan relasi antar satu hmpunan dengan himpunan lainnya. Misalkan U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}. John Venn (4 Ags 1834-4 Apr 1923) Relasi himpunan dapat dinyatakan sebagai: Subset (himpunan bagian) Disjoint (himpunan saling lepas) Overlapping (himpunan yang memiliki elemen yang sama) Himpunan (Set) 7 Himpunan (Set) 8
Himpunan (Set) 9 Subset Sebuah himpunan dikatakan subset dari himpunan lainnya jika dan hanya jika setiap elemen himpunan tersebut merupakan elemen dari himpunan lainnya ( ). A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A dikatakan subset dari B atau A B. Sedangkan B merupakan superset dari A (B A). Disjoint 2 buah himpunan dikatakan disjoint apabila kedua himpunan tidak memiliki elemen yang sama. A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka A disjoint B atau A // B. Himpunan (Set) 10 Overlapping Dua buah himpunan dikatakan overlapping jika keduanya memiliki elemen yang sama setidaknya satu elemen. A = {2, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka {2, 3, 5} dapat dikatakan sebagai intersection/irisan A dan B atau dapat dinotasikan dengan A B = {x x A dan x B} Himpunan (Set) 11. Jelaskan dan gambarkan relasi menggunakan diagram venn: 1. Menteri dan DPR 2. Pemenang Oscar dan pemenang Golden Globe 3. Atlet dan Mahasiswa. Himpunan (Set) 12
Himpunan (Set) 13 Kardinalitas Menunjukkan banyaknya elemen dalam sebuah himpunan. Dinotasikan dengan n(simbol himpunan) atau simbol himpunan i. B = { x x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 ii. T = {kucing, a, Amir, 10, paku, pena}, maka T = 5 Himpunan Kosong (Null Set) Himpunan yag memiliki nilai kardinalitas 0. Dinotasikan dengan atau { }. i. E = {x x < x}, maka n(e) = 0 ii. P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(p) = 0 iii. A = {x x adalah bilangan prima < 2}, n(a) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai { } Himpunan (Set) 14 Himpunan yang Sama Dua buah himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika setiap elemen yang satu merupakan elemen lainnya atau sebaliknya. Atau Dua buah himpunan dikatakan sama jika himpunan satu merupakan bagian dari himpunan lainnya dan sebaliknya. Notasi: A = B A B dan B A. Himpunan (Set) 15 Himpunan yang Sama Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B Jika A = { 3, 5, 8} dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: A = A, B = B, dan C = C jika A = B, maka B = A jika A = B dan B = C, maka A = C Himpunan (Set) 16
Himpunan (Set) 17 Himpunan yang Ekivalen Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika nilai kardinalitas elemen yang satu sama dengan nilai kardinalitasb himpunan lainnya. Notasi: A ~ B A = B. Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka A ~ B sebab A = B = 4 1. Intersection (Irisan). Notasi: A B = {x x A dan x B} Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B =. Artinya: A // B A = {amir, budi, ani} dan B={budi, ali, toni} maka A B = {budi} Himpunan (Set) 18 2. Union (Gabungan). Notasi: A B = {x x A atau x B} 3. Complement (Komplemen). Notasi: Ā = {x x U, x A} Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A B = {2, 5, 7, 8, 22} A = A Himpunan (Set) 19 Misalkan U = {1, 2, 3,..., 9} Jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 6, 8} Jika A = {x x/2 P, x < 9}, maka Ā = {1, 3, 5, 7, 9} Himpunan (Set) 20
Dasar Logika Matematika Pertemuan 4: Misalkan: A = Himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = Himpunan semua mobil impor C = Himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = Himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = Himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu Himpunan (Set) 22 Tentukan operasi terhadap himpunan jika memiliki kondisi berikut: 1. Mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri. E A E B atau E (A B) 2. Semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta. A C D 3. Semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta. Himpunan (Set) 23 1. Sebuah kelas terdiri 40 siswa,diantaranya 18 siswa suka IPA, 23 suka IPS, 8 siswa suka keduanya dan sejumlah siswa tidak suka keduanya, tentukan: a. Jumlah siswa yang tidak suka keduanya b. Gambarkan diagram venn 2. Suatu kelompok belajar berjumlah 21 siswa, diantaranya 10 siswa belajar bahasa inggris, dan 15 siswa belajar matematika. Tentukan: a. Jumlah siswa yang belajar keduanya, b. Gambarkan diagram venn Himpunan (Set) 24
Himpunan (Set) 25 3. Perhatikan diagram Venn di samping ini kemudian tentukan anggota himpunan A, B, M, dan N berikut notasi yang memenuhi diagram Venn tersebut jika U adalah bilangan asli! 4. Jika diketahui A adalah himpunan siswa yang aktif pada OSIS, B adalah himpunan siswa yang aktif pada Fotographi, C adalah himpunan siswa yang aktif pada Sains, D adalah himpunan siswa yang aktif pada Modern Dance sedangkan U adalah himpunan Semesta dan anggota-anggotanya adalah sebagai berikut: A = {Agus, Rina, Riska, Bonny, David, Abraham, Fely, Vita, Fania} B = {Lucky, Fathur, Vita, Fanny, Budi, Firman, David} C = {Aldo, Adnan, Benny, Monik, Fawazz, Thomas, David, Vita} D = {Natasha, Firda, Denny, Febri, Yanuar} Himpunan (Set) 26 Gambarlah sebuah diagram Venn yang merepresentasikan situasi tersebut! Beberapa voucher gratis masuk sebuah Taman Rekreasi akan diberikan kepada beberapa siswa dengan ketentuan seleksi adalah V = (A B C) D. Tentukanlah, siapakah siswa-siswa yang memperoleh voucher? Dasar Logika Matematika Pertemuan 4: Himpunan (Set) 27