29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode (diketahui) dan suatu komponen tren yang berupa fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sebarang titik, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut : dengan adalah fungsi periodik dengan periode, menyatakan kemiringan tren dimana dan (diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik dan seluruh, dengan adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut Misalkan untuk suatu, kita hanya memiliki sebuah realisasi dari proses Poisson yang terdefinisi pada suatu ruang peluang dengan fungsi intensitas seperti pada yang diamati pada interval terbatas. Untuk setiap bilangan nyata dan untuk suatu bilangan bulat positif, diperoleh fungsi sebaran dari waktu tunggu berikut
30 dimana Karena memenuhi maka diperoleh Misalkan dimana untuk setiap bilangan nyata, maka menunjukkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan. Maka untuk setiap didapatkan dengan. Dimisalkan merupakan intensitas global dari. Maka untuk setiap dapat ditulis sebagai berikut Untuk setiap bilangan nyata dan untuk setiap bilangan bulat positif, diperoleh fungsi kepekatan dari waktu tunggu, berikut
31 Berdasarkan dan, diperoleh penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu secara berturut-turut dengan menggunakan data amatan, yaitu suatu proses Poisson yang diamati pada diberikan sebagai berikut dengan dengan penduga seperti pada sebagai berikut : dengan adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan, yaitu, penduga seperti pada sebagai berikut : untuk dan dan penduga seperti pada sebagai berikut :
32 dimana adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk. Berikutnya, diformulasikan penduga sebagai berikut : dengan. 4.2 Beberapa Lema Teknis Berikut ini disajikan beberapa lema teknis. Prinsip-prinsip yang diperoleh melalui keempat lema berikut ini digunakan sebagai salah satu alat untuk membuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu. Lema 4.1 Misalkan dan adalah barisan-barisan peubah acak, serta dan adalah konstanta bilangan nyata. Jika dan untuk, maka Bukti : untuk Misalkan dan untuk, dengan menggunakan Definisi L.12 dan misalkan diberikan, maka Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh
33 sehingga Dengan kata lain, terbukti bahwa untuk Lema 4.2 Misalkan dan adalah barisan-barisan peubah acak, serta dan adalah konstanta bilangan nyata. Jika dan untuk, maka Bukti : untuk Misalkan dan untuk, dengan menggunakan Definisi L.12 dan misalkan diberikan, maka Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh sehingga Dengan kata lain, terbukti bahwa untuk
34 Lema 4.3 Misalkan dan adalah barisan-barisan peubah acak, serta dan adalah konstanta bilangan nyata. Jika dan untuk, maka Bukti :, untuk. Diasumsikan bahwa dan untuk, dengan menggunakan Definisi L.12 dan misalkan diberikan, maka Perhatikan ruas kanan dari. Berdasarkan diperoleh, sehingga artinya Berikutnya, berdasarkan diperoleh, sehingga artinya Berikutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari, sehingga diperoleh hubungan berikut : ke
35 Kemudian, untuk, diperoleh sebagai berikut : Berdasarkan hasil yang diperoleh pada, diperoleh sebagai berikut artinya terbukti bahwa, untuk. Lema 4.4 Misalkan adalah barisan-barisan peubah acak, dan adalah konstanta bilangan nyata. Jika dan adalah fungsi kontinu, maka, untuk. Bukti : Diasumsikan, artinya untuk Akan dibuktikan bahwa, untuk. Artinya, Perhatikan, karena adalah fungsi kontinu, diberikan, ada, sehingga sehingga, Berdasarkan, diperoleh sebagai berikut : Jadi terbukti bahwa, untuk.
36 Corollary 4.1 Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka untuk setiap bilangan nyata, diperoleh untuk. Bukti : Perhatikan bahwa, dapat pula dinyatakan seperti berikut Dengan kata lain, akan dibuktikan bahwa merupakan penduga konsisten dari. Berdasarkan dan, diperoleh hubungan berikut : untuk. Berikutnya, untuk membuktikan, dapat ditunjukkan dengan membuktikan Lema 4.5, serta menggunakan prinsip Lema 4.1, Teorema 3.1 dan Teorema 3.3 sebagai berikut : Lema 4.5 Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka untuk setiap bilangan nyata, diperoleh untuk. Bukti : Melalui Lema 4.5, akan dibuktikan bahwa konsisten dari, untuk. Langkah pertama, dengan menggunakan sebagai berikut merupakan penduga, diperoleh nilai harapannya
37 Untuk persamaan pertama dari ruas kanan integral sebagai berikut kita dapat mengganti batas Karena fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut Perhatikan komponen pertama dengan menggunakan diperoleh dengan menggunakan pada persamaan di atas, diperoleh
38 untuk. Berikutnya, perhatikan komponen kedua berikut
39 Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan persamaan di atas dan pada diperoleh untuk. Perhatikan kembali persamaan kedua dari ruas kanan dengan menggunakan diperoleh sebagai berikut, kemudian untuk. Selanjutnya, dengan mensubstitusikan dan pada maka diperoleh untuk Langkah berikutnya, dengan memisalkan diperoleh sebagai berikut
40 dengan Perhatikan, Karena merupakan proses Poisson, maka sehingga persamaan di atas ditulis menjadi Karena fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, jadi persamaan di atas dituliskan sebagai berikut
41 Berdasarkan, diperoleh komponen pertama sebagai berikut Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, sehingga dalam tiga kasus berikut : dapat dibedakan Untuk kasus Untuk
42 Untuk Berikutnya, untuk komponen kedua diperoleh Perhatikan salah satu komponen ruas kanan pada ekspansi Taylor, diperoleh bahwa, dengan menggunakan Karena untuk, maka perilaku sama dengan. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi
43 Berdasarkan, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
44 Selanjutnya, dengan mensubstitusikan ke, diperoleh hubungan berikut Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka dalam tiga kasus berikut : dapat dibedakan Untuk kasus Untuk kasus
45 Untuk kasus Berdasarkan hasil yang didapatkan dari langkah-langkah sebelumnya, diperoleh ruas kanan sebagai berikut : Untuk kasus Untuk kasus
46 Untuk kasus berikut, Kemudian, kita lanjutkan untuk memperoleh nilai ragam dari sebagai Berdasarkan persamaan di atas dapat dituliskan menjadi Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, maka diperoleh sebagai berikut berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka dibedakan dalam tiga kasus, yaitu : Pertama, kasus Untuk, karena dan berakibat dan, sehingga.
47 Kedua, kasus Untuk, karena dan berakibat dan, sehingga. Ketiga, kasus Untuk, karena dan berakibat dan, sehingga. Berdasarkan dan, diperoleh Selanjutnya, dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari dan ke diperoleh yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut, yaitu : Untuk kasus Untuk kasus
48 Untuk kasus Langkah berikutnya, untuk membuktikan Lema 4.5, dengan menggunakan diperoleh Berdasarkan dan diperoleh Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa adalah penduga konsisten bagi, yaitu bahwa untuk setiap berlaku Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut Berdasarkan ketaksamaan segitiga, maka menjadi Selanjutnya, berdasarkan, maka ada sehingga untuk setiap. Kemudian, dengan mensubstitusikan ke, diperoleh
49 Berikutnya, dengan melihat hubungan antara dan diperoleh Berdasarkan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh Perhatikan, dengan melihat hubungan dan diperoleh bahwa Artinya, Lema 4.5 terbukti. Perhatikan, dengan menggunakan Lema 4.5, Teorema 3.1, Teorema 3.3 dan prinsip Lema 4.1 untuk membuktikan Corollary 4.1, sehingga diperoleh untuk. Terbukti bahwa merupakan penduga konsisten dari, 4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga. Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu masalah utama dalam penelitian ini. Teorema 4.1 Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka untuk setiap bilangan nyata dan untuk setiap bilangan bulat positif diperoleh untuk
50 Bukti : Berdasarkan dan, maka diperoleh
51 Perhatikan, salah satu komponen pertama ruas kanan dari berikut : Kemudian, dengan menggunakan deret Taylor pada ruas kanan, diperoleh
52 Berdasarkan Corollary 4.1, diperoleh, untuk. Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4, diperoleh untuk, karena merupakan fungsi kontinu. Kemudian, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 dan melihat hubungan yang ditunjukkan pada langkah di atas, diperoleh untuk. Berikutnya, perhatikan salah satu komponen kedua ruas kanan dari berikut : Berdasarkan langkah yang diperoleh melalui Induksi Matematika pada untuk semua, ditunjukkan bahwa. Langkah pertama, basis induksi : Untuk, diperoleh
53 (berdasarkan Corollary 4.1). Langkah kedua, hipotesis induksi : Diasumsikan benar bahwa. Langkah ketiga, langkah induksi : Akan ditunjukkan bahwa Perhatikan, dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari langkah pertama dan langkah kedua, maka persamaan di atas menjadi Karena langkah pertama sampai langkah ketiga diperlihatkan benar, sehingga terbukti bahwa untuk semua Selanjutnya, dengan mensubstitusikan pada, diperoleh hubungan berikut : Berdasarkan hasil yang diperoleh pada dan, maka diperoleh
54 Berdasarkan hubungan yang diperoleh dari dan ditunjukkan bahwa, dengan kata lain Teorema 4.1 terbukti. 4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi kepekatan waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga. Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu masalah utama dalam penelitian ini. Teorema 4.2 Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, serta maka untuk setiap bilangan nyata dan bilangan bulat positif, diperoleh untuk asalkan merupakan titik Lebesgue dari. Bukti : untuk, dapat pula dinyatakan sebagai untuk.
55 Berdasarkan dan pada persamaan di atas, diperoleh Telah ditunjukkan dari langkah sebelumnya, bahwa untuk dan untuk. Berdasarkan langkah-langkah yang diperoleh sebelumnya, dapat ditunjukkan sebagai berikut Menurut Teorema 3.2, diperoleh bahwa Menurut Teorema 3.1, diperoleh bahwa untuk. untuk. Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4 terhadap Corollary 4.1, diperoleh hasil seperti berikut :, untuk, maka, untuk, karena merupakan fungsi kontinu. Berdasarkan hasil yang diperoleh seperti pada, dimana diperoleh hubungan, dibuktikan bahwa untuk (proses pembuktian dapat ditunjukkan dengan menggunakan induksi matematika, seperti pembuktian sebelumnya). Berikutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.1, diperoleh bahwa Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 terhadap hasil yang diperoleh dari langkah-langkah di atas, maka untuk. Teorema 4.2 terbukti.
56 4.5 Hasil Simulasi Di sini diperlihatkan cara menentukan penduga untuk fungsi sebaran waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua dengan menggunakan data bangkitan dengan fungsi intensitas dan Data dibangkitkan pada interval untuk dengan, dan. Kemudian dengan menggunakan pemrograman dapat diperoleh gambar grafik fungsi sebaran dan penduganya untuk waktu tunggu kejadian pertama yaitu ketika, dan kejadian kedua ketika, sebagai berikut : Untuk FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 z 0 2 4 6 8 10 z Gambar 1 Gambar 2 Grafik dan, ketika Grafik dan, ketika pada (0,10), dengan dan grid 0.05. pada (0,10), dengan dan grid 0.05.
57 FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 z 0 2 4 6 8 10 z Gambar 3 Gambar 4 Grafik dan, ketika Grafik dan, ketika pada (0,10), dengan dan grid 0.05. pada (0,10), dengan dan grid 0.05. FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FungsiSebaran 0 2 4 6 8 10 z 0 2 4 6 8 10 z Gambar 5 Gambar 6 Grafik dan, ketika Grafik dan, ketika pada (0,10), dengan dan grid 0.05. pada (0,10), dengan dan grid 0.05.
58 Untuk FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 z 0 2 4 6 8 10 z Gambar 7 Gambar 8 Grafik dan, ketika Grafik dan, ketika pada (0,10), dengan dan grid 0.05. pada (0,10), dengan dan grid 0.05. FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FungsiSebaran 0 2 4 6 8 10 z 0 2 4 6 8 10 z Gambar 9 Gambar 10 Grafik dan, ketika Grafik dan, ketika pada (0,10), dengan dan grid 0.05. pada (0,10), dengan dan grid 0.05.
59 FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FungsiSebaran 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 z 0 2 4 6 8 10 z Gambar 11 Gambar 12 Grafik dan, ketika Grafik dan, ketika pada (0,10), dengan dan grid 0.05. pada (0,10), dengan dan grid 0.05. Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa suatu penduga bagi fungsi sebaran kejadian pertama dan kejadian kedua akan mendekati sebaran yang sebenarnya jika semakin besar panjang interval pengamatan. Hal ini sesuai dengan Teorema 4.1, yaitu akan konvergen ke Untuk pangkat diperoleh pola dugaan yang lebih dekat terhadap pola fungsi sebarannya dibandingkan pangkat.