BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Integral merupakan salah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Jauh sebelum integral diperkenalkan, para matematikawan telah lebih dulu mengembangkan permasalahan dalam diferensiasi. Seiring dengan berkembangnya diferensiasi, matematikawan berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Inilah yang menjadi awal mula lahirnya operasi integral sebagai invers dari diferensiasi. Hingga kini, terus berkembangnya dunia ilmu pengetahuan telah menuntut untuk berkembang pula kalkulus beserta dua operasi yang melengkapinya, terutama integral. Matematika, yang menjadi bidang ilmu paling utama dalam mengkonstruksi dan merumuskan permasalah nyata ke dalam bentuk teori, menemui banyak permasalahan-permasalahan baru terkait penggunaan integral dalam penentuan solusi. Salah satu bentuk integral yang banyak diterapkan pada bidang-bidang ilmu selain matematika adalah bentuk integral singular. Mengingat definisi dasar dari integral adalah sebagai jumlahan parsial dari sub bagian luasan di bawah kurva yang diintegralkan. Dari sini timbul permasalahan baru, yaitu apabila terdapat titik pada kurva yang menyebabkan kurva diskontinu di titik tersebut yang kemudian kurva ini disebut sebagai kurva fungsi singular, menjadikan penyelesaian analitis dari integral tidak dapat ditentukan secara eksak, ini yang selanjutnya disebut sebagai permasalahan integral singular. Dengan demikian, diperlukan adanya pendekatan secara numerik yang memungkinkan nilai solusi dari integral singular ini cukup dekat dengan solusi eksaknya. Pendekatan secara numerik permasalahan tersebut yang menjadi landasan penulisan skripsi ini. Penentuan solusi integral singular dengan menggunakan pendekatan numerik sangatlah sulit bila diselesaikan secara manual. Selain karena keterbatasan peng- 1
2 gunaan iterasi, dalam penghitungan secara manual, kemungkinan terjadi human error dalam penghitungan juga cukup besar, sehingga sangat diperlukan penghitungan secara komputasional yang dapat dikerjakan dengan teknologi terkini agar penyelesaian numerik masalah integral singular dapat diselesaikan dengan cara yang jauh lebih efektif dan lebih efisien. Untuk dapat diterapkan secara komputasional pada teknologi terkini, khususnya pada komputer, maka diperlukan program yang dapat menjalankan rangkaian perintah-perintah berdasarkan metode numerik yang diperoleh dari penurunan matematis. Program yang akan digunakan disini adalah MATLAB, artinya diperlukan bahasa yang dapat dimengerti oleh program MATLAB agar dapat menentukan solusi dari suatu permasalahan integral singular sesuai dengan numerisasi matematis. Karena keterbatasan kemampuan program, maka bahasa yang dapat diimplementasikan pada program MATLAB tidaklah sama dengan penulisan matematis yang dipahami manusia. Inilah alasan diperlukannya bahasa program yang dibentuk berdasarkan algoritma yang kemudian dialihbahasakan ke dalam bentuk syntax MATLAB. Uraian singkat ini yang melatarbelakangi penulis dalam menyusun skripsi mengenai kuadratur numerik untuk penyelesaian integral singular. 1.2. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana mengkonstruksi kuadratur numerik untuk mencari solusi integral singular dengan memanfaatkan polinomial Legendre? 2. Bagaimana menentukan algoritma untuk penerapan metode kuadratur numerik secara komputasional untuk program MATLAB? 3. Bagaimana akurasi solusi integral singular yang diperoleh dengan menggunakan kuadratur numerik terhadap solusi yang diperoleh dengan pendekatan pada titik diskontinu?
3 1.3. Batasan Masalah Masalah yang dibahas pada skripsi ini dibatasi pada permasalahan integral di R pada interval [ 1, 1] dengan jenis singularitas dalam bentuk log x, 1 x, 1 x 2. 1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Mengkonstruksi rumus kuadratur numerik untuk menyelesaikan permasalahan integral singular dengan singluaritas dalam bentuk log x, 1, 1. x x 2 2. Menentukan algoritma dan syntax dari rumus kuadratur numerik untuk masalah integral singular dalam bentuk log x, 1, 1 yang dapat diterapkan pada x x 2 program MATLAB. 3. Memenuhi syarat kelulusan program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Manfaat yang diharapkan penulis dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Memberi pemaparan terkait penentuan solusi dari permasalahan integral, khususnya integral singular dalam bentuk log x, 1, 1, dengan pendekatan secara numerik. x x 2 2. Menjabarkan rumus kuadratur numerik untuk menentukan solusi numerik permasalahan integral singular, yang dapat diterapkan pada berbagai bidang, dengan kasus yang memuat permasalah integral singular. 3. Memberikan pemaparan algoritma dan syntax dari rumus kuadratur numerik untuk penyelesaian permasalahan integral singular agar dapat diterapkan secara komputasional, khususnya pada program MATLAB. 1.5. Tinjauan Pustaka Pembahasan mengenai permasalahan integral secara analitis telah banyak dipaparkan di dunia matematika, diantaranya pemaparan oleh Apostol (1967).
4 Bahkan untuk beberapa permasalahan integral yang memuat integrand dalam fungsi yang cukup rumit, sehingga sangat sulit menentukan solusi analitiknya, telah diberikan juga pemaparan dan konstruksi metode numerik untuk memperoleh nilai pendekatan untuk solusi yang ditulis oleh Davis dan Rabinowitz (1984). Akan tetapi, permasalahan integral yang dibahas masih dalam lingkup kasus untuk integrand dalam fungsi yang kontinu. Dalam beberapa kasus permasalahan integral dengan integrand bukan fungsi yang kontinu, tetapi hanya diskontinu di satu titik saja, masih dapat ditentukan solusi analitisnya sebagaimana yang dipaparkan oleh Bartle dan Sherbert (2011). Lebih jauh, permasalahan integral serupa ini memiliki banyak penerapan dalam berbagai bidang keilmuan eksakta lain, diantaranya di bidang fisika, yang dibenarkan oleh Arfken dan Weber (2005), Griffiths (2005). Untuk selanjutnya, permasalahan integral dengan integrand fungsi yang diskontinu di suatu titik dalam domain fungsinya disebut dengan permasalahan integral singular Karena penerapan permasalahan integral singular dalam bidang fisika menuntut integrand dalam fungsi yang cukup rumit untuk dapat diselesaikan secara manual, maka diperlukan adanya metode numerik untuk penentuan solusi dari masalah integral singular ini. Untuk integral singular sederhana dapat ditentukan metode numerik dalam penentuan solusi, hal ini dijamin dalam buku Kaplan (2002). Lalu, mengacu pada Whittaker dan Watson (1927), bahwa solusi hasil pendekatan numerik juga dapat diperoleh untuk integral singular yang tidak sederhana. Salah satu metode numerik yang dapat digunakan adalah dengan melalui konstruksi dari polinomial Legendre dan berbagai sifat yang menyertainya, ini dijelaskan oleh Ghorai (2011). Cara mengkonstruksi metode, yang dapat digunakan dalam penentuan solusi pendekatan numerik dari integral singular, secara matematis dijelaskan oleh Kolm dan Rokhlin (2000). Untuk alasan efektivitas dan efisiensi dalam penerapan metode ini, Kolm dan Rokhlin (2000) juga menjelaskan bagaimana membawa metode ini ke dalam bahasa yang dapat dipahami oleh program komputer.
5 1.6. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi literatur. Penelitian dimulai dari mengkaji polinomial Legendre dan sifat-sifat yang menyertainya melalui studi literatur dari sumber tulisan Arfken dan Weber (2005), Davis dan Rabinowitz (1984), Ghorai (2011), Griffiths (2005). Lalu, dengan memanfaatkan konsep matematika lainnya, dikonstruksikan metode numerik untuk mencari solusi pendekatan permasalahan integral singular dengan studi literatur dari sumber Davis dan Rabinowitz (1984), Kolm dan Rokhlin (2000), Whittaker dan Watson (1927). Karena metode numerik yang dihasilkan memerlukan iterasi yang sangat banyak dan penghitungan dalam skala yang besar, maka perlu untuk menggunakan komputer dalam penghitungan. Algoritma dan syntax untuk menjalankan metode numerik ini pada program MATLAB dikonstruksi dengan mengkaji jurnal penelitian Kolm dan Rokhlin (2000). Terakhir, program diimplementasikan untuk menghitung permasalahan integral singular secara langsung, lalu permasalahan yang sama dihitung secara analitis dengan membagi interval integrasi berdasarkan hasil dari mengkaji buku Bartle dan Sherbert (2011) dan Kaplan (2002). Kedua hasil ini dibandingkan untuk melihat akurasi metode numerik yang dibahas pada skripsi ini. 1.7. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi uraian dan konsep dasar yang akan digunakan untuk pembahasan pada bab-bab selanjutnya. BAB III POLINOMIAL LEGENDRE Bab ini berisi uraian dan penjelasan mengenai polinomial Legendre serta berbagai
6 sifat yang diperlukan untuk mengkonstruksi metode numerik penyelesaian permasalahan integral. BAB IV KUADRATUR NUMERIK UNTUK SINGULARITAS TUNGGAL DA- LAM BENTUK log x, 1, 1 x x 2 Bab ini berisi langkah-langkah dalam mengkonstruksi metode numerik untuk menentukan solusi dari permasalahan integral singular. BAB V ALGORITMA DAN IMPLEMENTASI PROGRAM Bab ini berisi algoritma yang akan digunakan untuk membuat syntax yang akan diimplementasikan pada program MATLAB. Selain itu, diberikan contoh sebagai hasil implementasi metode numerik dengan memanfaatkan program MATLAB. BAB VI PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan metode numerik yang dikaji pada skripsi ini, serta disajikan juga saran dari penulis untuk penelitian lanjutan.