PROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2009
LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR OLEH : IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 Surabaya, 24 Februari 2010 Menyetujui : Pembimbing, Arief Bustomi,MSi NIP. 10730418 199802.1.001 Mengetahui : Ketua Jurusan Fisika, Koordinator Tugas Akhir, Drs. Heny Faisal, MSi Lila Yuwana, MSi NIP. 19630921 198903.1.002 NIP. 19750908 200003.1.001
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Persoalan fisika baru dapat terselesaikan apabila dikenai suatu persamaan differensial yang merupakan representasi matematis dari hukum fisika untuk suatu persoalan tertentu. Penyelesaian persamaan differensial untuk sistem fisis harus memperhatikan kondisi syarat batas dari bagian-bagian batas (ujung) dari sistem. Untuk menggambarkan kondisi dari sistem digunakan 3 sistem koordinat, yaitu kartesian, silinder dan bola. Dan penggunaan masing-masing koordinat disesuaikan dengan bentuk geometri sistemnya. Dalam kehidupan nyata, tidak semua sistem dapat dinyatakan dengan bentuk geometri kartesian, silinder atau bola. Sehingga, digunakan koordinat polar untuk sistem geometri kartesian,misalnya. 1.2. Perumusan Masalah Perumusan masalah dari penelitian tugas akhir ini adalah mencoba mengembangkan suatu metode analisa untuk suatu sistem dengan bentuk geometri tertentu menggunakan sistem koordinat yang tidak sesuai dengan geometrinya. Dalam penelitian ini, akan diteliti suatu sistem dengan geometri kartesian menggunakan sistem koordinat polar dalam analisanya. Yaitu, dengan menambahkan jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk sistem geometri kartesian. 1.3. Batasan Masalah Batasan Masalah dalam tugas akhir ini adalah menemukan pengaruh penambahan jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri kartesian dengan menggunakan program Matlab 2008. 1.4. Tujuan Tujuan pada penelitian tugas akhir ini adalah menguji seberapa besar pengaruh penambahan jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri kartesian.
1.5. Manfaat Manfaaat tugas akhir ini adalah untuk memberikan informasi tentang pengaruh penambahan jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri kartesian.
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Transformasi Fourier Pada tahun 1822, ahli matematika,joseph Fourier, menemukan bahwa: setiap fungsi periodik dapat dibentuk dari gelombang-gelombang sinus/cosinus yang dijumlahkan. Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut (lihat gambar 2.1) f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9+sin(11x)/11 Hasil dalam transformasi fourier Gambar 2.1. Sinyal kotak hasil transformasi fourier Deret fourier fungsi periodik f(x) dengan periode 2l: f(x) = dx...(2.1) dimana: C n = dx...(2.2) Bila K n = K = K n+1 - K n = = Sehingga persamaan (2.1) dan (2.2) dapat ditulis: f(x) =...(2.3) C n = dx = dz...(2.4) Substitusi persamaan (2.4) ke (2.3) f(x) = dz = dz...(2.5)
Jika l maka f(x) = dz dk f(x) = dk dz...(2.6) selanjutnya didefinisikan: F(k) = dz F(k) = dx...(2.7) Sehingga: f(x) = dk...(2.8) persamaan (2.7) dan (2.8) disebut pasangan transformasi fourier. 2.2. Persamaan Differensial Parsial (PDP) Elliptik Persamaan Poisson dalam bentuk aslinya adalah: 2 V = - 1/ε o ρ(x,y,z) Dalam dua dimensi bentuknya menjadi sebagai berikut: 2 V/ x 2 + 2 V/ y 2 = - 1/ε o ρ(x,y) Yang apabila direduksi (ruas kanan = 0) akan menjadi persamaan Laplace: 2 V/ x 2 + 2 V/ y 2 = 0 Di mana V (x,y) adalah potensial listrik. Persamaan Laplace dapat diselesaikan dengan berbagai macam metode, yaitu: secara analitik adalah dengan metode pemisahan variabel. Dan dengan metode numerik seperti metode Jacobi dan Gauss-Seidel. 2.2.1. Metode Pemisahan Variabel Metode Pemisahan Variabel dimulai dengan memperkenalkan Variabel V (x,y) = X(x).Y(y). Dan variabel ini disubstitusi ke parsamaan Laplace kemudian dibagi dengan V (x,y) sehingga menghasilkan: + = 0 Karena persamaan ini harus sama dengan nol untuk semua nilai x dan y maka kedua sukunya bisa disamakan dengan konstan, misalnya:
= - = Dimana k adalah tetapan kompleks. Akibatnya, persamaan di atas hanya suatu persamaan differensial biasa yang memiliki penyelesaian analitis: X(x) = C s sin (kx) + C c cos (kx) Y(y) = C s sinh (ky) + C c cosh (ky) Dimana C adalah konstan yang bisa dicari apabila syarat awal dan syarat batas diberikan. Misalkan syarat awal dan syarat batas adalah V(x,y=0) = V(x=0,y) = V(x=Lx,y) = 0 V(x,y=Ly) = V o Maka syarat ini hanya dipenuhi apabila C c = 0 dan C c = 0. Kemudian pada x = Lx akan terpenuhi apabila k = n.π / Lx. Oleh sebab itu, penyelesaian persamaan Laplace adalah gelombang superposisi: V(x,y) = sin (nπx/l x ) sinh (nπy/l x ) Koefisien C n dapat diperoleh dengan memasukkan nilai syarat batas pada y=ly, yaitu V o sehingga penyelesaian akhirnya adalah: V(x,y) = V o sin (nπx/l x ) sinh (nπy/lx) / sinh (nπly/lx) 2.3. Persamaan Laplace Dalam persoalan listrik statik tertentu yang melibatkan penghantar, ternyata seluruh muatan terdapat pada permukaan penghantar atau dalam bentuk muatan titik yang tetap. Dalam hal ini ρ di sebagian besar titik dalam ruang sama dengan nol. Dan di tempat yang rapat muatannya nol, persamaan Poisson mempunyai bentuk yang lebih sederhana. 2 φ = 0 Yang dikenal sebagai persamaan Laplace. 2.3.1. Persamaan Laplace Koordinat Silinder Ditinjau Persamaan laplace koordinat silinder 2 φ = 0 1/r / r (r φ/ r) + 1/r 2 2 φ/ 2 ) + 2 φ/ z 2 = 0...(2.9) Langkah ke-1: Separasi Variabel φ (r,,z) = R (r), ( ), Z (z)...(2.10)
Gambar 2.2. Persamaan Laplace dalam koordinat silinder Substitusi ke pers. 1: Z/r d/dr (r dr/dr) + RZ/r 2 d 2 /d 2 + R d 2 Z/dz 2...(2.11) Langkah ke-2: Pembagian dengan R Z 1/rR d/dr (r dr/dr) + 1/r 2 d 2 /d 2 + 1/Z d 2 Z/dz 2...(2.12) Langkah ke-3 : 1/Z d 2 Z/dz 2 = -k 2 d 2 Z/dz 2 + k 2 Z = 0...(2.12.a.1) 1/Z d 2 Z/dz 2 = k 2 d 2 Z/dz 2 - k 2 Z = 0...(2.12.a.2) maka pers. 4 menjadi: r/r d/dr (r dr/dr) + 1/ d 2 /d 2 - k 2 r 2 = 0 r/r d/dr (r dr/dr) + 1/ d 2 /d 2 + k 2 r 2 = 0 Langkah ke-4: 1/ d 2 /d 2 = -m 2 d 2 /d 2 + m 2 = 0...(2.12.b) sehingga pers. 4 sekarang menjadi : r d/dr (r dr/dr) (k 2 r 2 + m 2 )R = 0...(2.12.c.1) r d/dr (r dr/dr) + (k 2 r 2 m 2 )R = 0...(2.12.c.2) pers. (5.c.1) adalah persamaan bessel termodifikasi pers. (5.c.2) adalah persamaan bessel standart Solusi pers. 5: Solusi pers. (5.a.1) untuk konstanta k 2 Z(z) = E 1 cos kz + F 1 sin kz E 2 e ikz + F 2 e -ikz Solusi pers. (5.a.2) untuk konstanta k 2 Z(z) = E 3 cosh kz + F 3 sinh kz E 4 e kz + F 4 e -kz
Solusi pers. (5.b) ( ) = C cos m + D sin m Solusi pers. (5.c.1) untuk konstanta k 2 R(r) = A 1 I m (kr) + B 1 K m (kr) Solusi pers. (5.c.2) untuk konstanta k 2 R(r) = A 1 J m (kr) + B 1 N m (kr)
BAB 3 METODOLOGI Kajian Pustaka Membuat program Matlab Uji hasil perhitungan dan program Matlab Pengambilan data secara analitis dan secara numerik dengan matlab Hasil
BAB 4 JADWAL KEGIATAN No. Jenis Kegiatan Bulan februari maret april mei Juni 1. I 2. II 3. III 4. IV 5. V 6. VI Tabel 4.1 Jadwal Perencanaan Kerja Keterangan Kegiatan: I. Penyusunan Proposal II. Konsultasi dengan dosen pembimbing III. Kajian pustaka IV Pengambilan data V. Processing data VI. Penyusunan laporan tugas akhir
DAFTAR PUSTAKA Reitz, John R., Dasar Teori Listrik Magnet, Penerbit ITB, Bandung, 1993 Hayt, william H., Elektromagnetika Teknologi, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991