Kode, GSR, dan Operasi Pada

BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar elemen V terhadap elemen dari F 2 yang memenuhi kondisi berikut: 1. u + v V, u, v V 2. u + v = v + u, u, v V 3. u + (v + w) = (u + v) + w, u, v, w V 4. 0 V 0 + v = v, v V 5. u V u V u + ( u) = ( u) + u = 0 6. rv V, r F 2, v V 7. 1 V 1v = v, v V 3

8. r(u + v) = ru + rv, r F 2, u, v V 9. (r + s)v = rv + sv, r, s F 2, v V 10. (rs)v = r(sv), r, s F 2, v V Suatu subhimpunan tak kosong U dari ruang vektor V,U V, merupakan subruang dari V jika dan hanya jika 1. untuk setiap u 1, u 2 U, berlaku u 1 + u 2 U 2. untuk setiap k F 2 dan u U, berlaku ku U Misalkan vektor-vektor v 1, v 2,..., v k F n 2. Vektor w F n 2 dikatakan kombinasi linier dari v 1, v 2,..., v k jika w dapat dituliskan sebagai berikut: w = r 1 v 1 + r 2 v 2 + r 3 v 3 +... + r k v k, untuk suatu r 1, r 2,..., r k F 2. Selanjutnya himpunan semua kombinasi linier dari v 1, v 2,..., v k disebut span dari v 1, v 2,..., v k atau biasa dinotasikan sebagai span {v 1, v 2,... v k }. Kumpulan vektor v 1, v 2,..., v k dikatakan bebas linier jika kombinasi linier r 1 v 1 + r 2 v 2 +... + r k v k = 0 hanya dipenuhi oleh r i = 0 untuk i = 1, 2,..., k. Jika v 1, v 2,... v k tidak bebas linier maka kita katakan bahwa v 1, v 2,... v k bergantung linier. Himpunan vektor v 1, v 2,..., v k di V disebut basis untuk V jika 1. v 1, v 2,..., v k bebas linier 2. span {v 1, v 2,..., v k } = V Selanjutnya dimensi dari V adalah banyaknya elemen dari suatu basis V. 4

2.1.1 Vektor Eigen dan Nilai Eigen Misalkan A sebuah matriks persegi. Definisi 2.1.1. vektor tak nol x disebut vektor eigen dari A jika dan hanya jika terdapat bilangan (riil atau kompleks) λ sehingga: A x = λ x. jika bilangan λ tersebut ada, maka λ disebut nilai eigen dari A dan vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. 2.2 Kode atas F 2 Suatu kode C atas F 2 dengan panjang n merupakan subhimpunan tak hampa atas ruang vektor F n 2, yaitu C = {(c 1, c 2,..., c n ) c i F 2, i = 1, 2,..., n}. Selanjutnya setiap unsur di kode C yaitu c = (c 1, c 2,..., c n ) C dinamakan katakode dari kode C. Unsur c i dinamakan koordinat ke-i dari katakode c. Jika setiap unsur pada katakode C bernilai nol, yaitu c = (0, 0,..., 0) maka kata tersebut dinamakan katakode nol atau biasa dinotasikan dengan 0 C. Suatu kode C dinamakan kode linier jika kode tersebut merupakan subruang dari F2 n, dengan kata lain kode C dinamakan kode linier jika kode tersebut tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar atas F 2. Contoh sederhana dari kode linier yaitu C = {000, 111}, karena: 000 + 000 = 000, 111 + 111 = 000, 000 + 111 = 111, 111 + 000 = 111 Untuk selanjutnya kode yang akan ditinjau adalah kode linier. 5

2.3 Bobot dan Jarak Kode 2.3.1 Bobot Katakode dan Bobot Kode Misalkan c = (c 1, c 2,..., c n ) suatu katakode di C. Bobot Hamming dari katakode c adalah banyaknya digit tak nol dari c. Secara formal bobot Hamming katakode dari c yang dinotasikan dengan wt H (c) didefinisikan sebagai : wt H (c) = {i c i 0, i = 1, 2,..., n} Selanjutnya bobot dari suatu kode C merupakan bobot terkecil dari katakode tak nol di C, dinotasikan dengan wt H (C), dan secara formal didefinisikan sebagai: wt H (C) = min{wt H (c) c 0 c, c C} 2.3.2 Jarak antar Katakode dan Jarak Kode Misalkan v = (v 1, v 2,..., v n ) dan w = (w 1, w 2,..., w n ) merupakan dua buah katakode di C. Jarak Hamming dari v ke w adalah banyaknya posisi di v yang berbeda dengan w. Secara formal dinotasikan dengan d H (v, w)dan didefinisikan sebagai d H (v, w) = {i v i w i, i = 1, 2,..., n} Selanjutnya jarak dari kode C dinotasikan dengan d H (C), dan secara formal didefinisikan sebagai d H (C) = min{d(v, w) v, w C, v w, } 2.3.3 Hubungan Bobot dan Jarak Jika C merupakan kode linier maka kita memiliki hubungan antara bobot dan jarak yaitu d H (C) = wt H (C). 6

Bukti. misalkan x, y C maka d H (x, y) = wt H (x y), karena C kode linier maka x y C, sehingga d H (x, y) = wt H (x y) = wt H (c), c C. Jika d H (x, y) minimum maka wt H (c) minimum, berdasarkan definisi dari bobot dan jarak kode, jelas bahwa d H (C) = wt H (C). Dengan demikian kita dapat mencari jarak suatu kode linier dari bobotnya. Selanjutnya kode linier C atas F 2 dengan panjang n, dimensi k, dan jarak d ditulis sebagai kode [n, k, d]. 2.3.4 Distribusi Bobot dan Pencacah Bobot Misalkan C kode atas F 2 dengan panjang n. Distribusi bobot dari kode C dinotasikan dengan A t, didefinisikan sebagai A t = {c C wt H (c) = t}, 0 t n Yaitu banyaknya katakode di C dengan bobot t. Selanjutnya pencacah bobot dari kode C dinotasikan dengan W C (x, y), didefinisikan sebagai W C (x, y) = n i=0 A ix n i y i 2.4 Kode Dual Misalkan v = (v 1, v 2,..., v n ) dan w = (w 1, w 2,..., w n ) dua buah katakode (di F n 2 ). Hasil kali dalam antara katakode v dan w dinotasikan dengan v.w, didefinisikan sebagai v.w = n i=1 v iw i (di F 2 ). Kemudian kedua katakode tersebut dikatakan (saling) ortogonal jika v.w = 0 (di F 2 ). Selanjutnya katakode u C ortogonal terhadap kode C jika u.c = 0 (di F 2 ) untuk setiap c C. dikatakan Definisi 2.4.1. Misalkan C kode atas F 2. Kode dual dari kode C, C F n 2, dinotasikan dengan C, didefinisikan sebagai 7

C = {v F n 2 v.c = 0 untuk setiap c C} selanjutnya kode C disebut swa-ortogonal apabila C C, dan disebut swadual apabila C = C. 2.5 Matriks Pembangkit Misalkan C F n 2 suatu kode atas F 2 dengan panjang n. Definisi 2.5.1. Suatu matriks G yang memiliki n kolom dengan komponen-komponen atas F 2 dikatakan sebagai matriks pembangkit dari kode C apabila baris baris dari G merupakan basis dari kode C. 2.6 Matriks Cek Paritas Misalkan C merupakan kode dual dari kode C atas F 2 dengan panjang n. Definisi 2.6.1. Matriks H yang memiliki n baris dengan komponen-komponen atas F 2 dikatakan sebagai matriks cek paritas dari kode C apabila kolom-kolom dari H merupakan basis dari kode C. 2.7 Graf Γ disebut graf tak berarah dengan n titik apabila Γ = (V, E) merupakan konfigurasi dari himpunan titik V dan himpunan sisi E, dimana setiap sisi menghubungkan sepasang titik. Dua buah titik dikatakan bertetangga jika terdapat sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut. Suatu graf dikatakan sederhana jika graf tersebut tidak memiliki titik yang bertetangga dengan dirinya sendiri dan setiap dua pasang titik dihubungkan tepat oleh satu sisi, atau dengan kata lain graf tersebut tidak memiliki loop dan sisi ganda. 8

Definisi 2.7.1. Matriks ketetanggaan dari suatu graf sederhana Γ = (V, E) adalah suatu matriks A = (a ij ) n (i,j=1) dengan entri sebagai berikut: 1, jika titik i dan j bertetangga a ij = 0, jika titik i dan j tidak bertetangga 2.7.1 Graf Strongly regular Graf strongly regular dengan parameter (n, k, λ, µ) adalah suatu graf sederhana dan tidak berarah dengan banyaknya titik n, derajat regular k, dengan sifat sebagai berikut: setiap dua titik yang bertetangga memiliki tepat λ buah tetangga bersama setiap dua titik yang tidak bertetangga memiliki tepat µ buah tetangga bersama Misalkan A merupakan matriks ketetanggaan dari GSR, maka A memenuhi persamaan berikut: A 2 = ki + λa + µ (J I A) (2.1) dengan J merupakan matriks yang semua entrinya 1, (J I A) merupakan matriks ketetanggaan dari graf komplemennya, dan derajat k merupakan nilai eigen dari A dengan vektor eigen 1 maka A memiliki 2 nilai eigen yang lain yaitu r,s dengan (r s) dengan multiplisitas berturut-turut f dan g yang memenuhi: rs = k µ, r+s = λ µ, (k r) (k s) = µ+n, n = f +g+1 dan k+fr+gs = 0 salah satu contoh dari graf strongly regular dapat dilihat pada gambar 2.1. 9

Gambar 2.1: Graf Srikhande, GSR (16,6,2,2) 2.8 Operasi-Operasi Graf 2.8.1 Operasi gabungan (union) Misalkan G 1 (V 1, E 1 ) dan G 2 (V 2, E 2 ) adalah dua buah graf yang tidak berarah. Maka gabungan dari G 1 dan G 2 dinotasikan oleh G 1 G 2 adalah sebuah graf dimana V (G 1 G 2 ) = V 1 V 2 dan E (G 1 G 2 ) = E 1 E 2. 10

2.8.2 Operasi jumlah (join) Misalkan G 1 (V 1, E 1 ) dan G 2 (V 2, E 2 ) adalah dua buah graf yang tidak berarah. Maka operasi jumlah dari kedua buah graf ini dinotasikan oleh G 1 +G 2 adalah graf dengan himpunan titik dari (G 1 G 2 ), dimana setiap titik yang berasal dari G 1 bertetangga dengan semua titik yang berasal dari G 2. 2.8.3 Operasi kali(product) Misalkan G 1 (V 1, E 1 ) dan G 2 (V 2, E 2 ) adalah dua buah graf yang tidak berarah. Maka operasi kali dari G 1 dan G 2 dinotasikan oleh G 1 G 2 adalah sebuah graf dengan himpunan titik V 1 V 2 dimana dua buah titik (u 1, u 2 ) dan (v 1, v 2 ) V 1 V 2 dikatakan bertetangga di G 1 G 2 jika dan hanya jika 1. u 1 = v 1 dan u 2 v 2 E 2 2. u 2 = v 2 dan u 1 v 1 E 1 G 1 G 2 bersifat komutatif. 11

2.8.4 Line Graf Diberikan sebuah graf G, maka line graf dari G atau dinotasikan dengan L(G) adalah sebuah graf sehingga 1. Setiap titik di L(G) merepresentasikan sisi di G 2. Dua buah titik di L(G) dikatakan bertetangga jika dan hanya jika sisi sisi di G yang berkorespondensi dengan titik tersebut berinsidensi di G 12