PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON

PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON Nur Alfiani Santoso, Respatiwulan, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Proses percabangan merupakan suatu proses stokastik dimana setiap individu bereproduksi secara random dan tidak terkait dengan interaksi antar individu yang lain. Pada proses percabangan hanya terdapat satu individu sebagai induk pada waktu ke-0 dengan banyaknya individu baru yang lahir sebagai variabel random. Banyaknya individu baru yang lahir dapat memenuhi karakteristik suatu distribusi tertentu, salah satunya distribusi Poisson yang merupakan pengembangan dari distribusi binomial dengan probabilitas sukses p kecil dan banyak populasi N besar. Proses percabangan dapat menggunakan fungsi pembangkit salah satunya fungsi pembangkit probabilitas (p.g.f) dari distribusi tertentu. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan proses percabangan menggunakan fungsi pembangkit probabilitas pada distribusi Poisson. Pada proses percabangan menggunakan fungsi pembangkit dapat ditentukan nilai rata-rata dan nilai variansi untuk mengetahui bagaimana pola pemusatan dan pola penyebaran dari banyaknya individu baru yang lahir. Nilai rata-rata dan variansi terbagi menjadi dua kategori yaitu untuk setiap individu dan untuk setiap genarasi. Dari penerapan diperoleh nilai banyaknya individu baru yang meningkat setiap kenaikan waktu sehingga kesuksesan penyebaran penyakit influenza tinggi. Kata kunci : proses percabangan, distribusi Poisson, rata-rata, variansi 1. PENDAHULUAN Kesehatan manusia dapat terganggu apabila terinfeksi penyakit. Penyakit terbagi menjadi penyakit menular dan penyakit tidak menular. Pada penyebaran penyakit menular proses penyebarannya perlu diketahui oleh masyarakat agar dapat dilakukan pencegahan. Matematika dapat digunakan sebagai sarana mengetahui bagaimana pola penyebaran penyakit menular menggunakan proses percabangan. Proses percabangan adalah suatu proses stokastik dimana setiap individu bereproduksi secara random dan tidak terikat dengan interaksi antar individu yang lain. Feller [3] menyatakan bahwa salah satu contoh proses percabangan adalah mutasi genetik. Dalam setiap gen yang dibawa oleh makhluk hidup terdapat kemungkingan untuk muncul kembali pada keturunannya, melalui beberapa tahap penghapusan dan penambahan yang terjadi dalam selang waktu tertentu. Setiap individu keturunan dalam proses mutasi genetik memiliki dua kemungkinan sifat genetik yaitu mengalami mutasi genetik dan tidak mengalami 1

mutasi genetik. Menurut Walpole [7] distribusi probabilitas dengan dua kemungkinan hasil dari n percobaan dinamakan distribusi binomial. Pada kejadian binomial dengan percobaan n besar dan probabilias sukses p kecil kondisi mulai mengikuti karakteristik distribusi Poisson. Salah satu karakteristik distribusi Poisson yaitu banyaknya hasil percobaan terjadi pada interval waktu tertentu dan tidak saling bergantung, dengan probabilitas sukses p kecil memungkinkan nilainya mendekati 0. Hal ini diperjelas oleh Bain dan Engelhardt [2] yang menyatakan bahwa distribusi Poisson merupakan pengembangan dari distribusi binomial dengan jumlah percobaan n besar dan nilai probabilitas sukses p kecil, oleh karena itu distribusi Poisson digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian dalam selang waktu tertentu. Dalam suatu distribusi dapat ditentukan beberapa fungsi pembangkit. Menurut Reluga [5], fungsi pembangkit memiliki peran yang penting karena secara tidak langsung merangkum dasar-dasar pengurutan dan operasi pencarian untuk menyederhanakan bahasa matematika. Dalam mempelajari proses percabangan digunakan fungsi pembangkit probabilitas (p.g.f) selanjutnya dicari nilai rata-rata dan variansi dari p.g.f untuk mengetahui bagaimana pola pemusatan dan pola penyebaran data. Untuk mempermudah pengamatan, proses percabangan dengan fungsi pembangkit probabilitas pada distribusi Poisson diterapkan pada penyakit influenza. 2. PROSES PERCABANGAN Menurut Taylor dan Karlin [6], untuk mempertahankan keturunannya suatu makhluk hidup memproduksi keturunan dengan jumlah yang random, misal banyaknya keturunan berupa variabel random ξ dengan distribusi probabilitas P r{ξ = k} = p k untuk k = 0, 1, 2,..., dengan nilai p k 0 dan p k=1. Diasumsikan setiap individu lahir tidak bergantung antar individu yang lain dan memiliki waktu hidup yang sama. Banyaknya keturunan pada generasi ke-n disebut dengan X n. Pada proses menentukan banyaknya keturunan pada generasi ke-n menggunakan konsep percabangan. Asumsi penting yang digunakan dalam proses percabangan menurut Allen [1] adalah (1) probabilitas individu memiliki keturunan (p) bernilai sama untuk setiap individu, (2) setiap individu menghasilkan keturunan secara independen, (3) proses dimulai dengan individu tunggal pada waktu ke 0. Nur Alfiani Santoso 2 2016

Proses percabangan merupakan suatu karakteristik rantai Markov sehingga karakteristik tersebut dapat diterapkan untuk mengetahui jumlah keturunan pada generasi ke-n + 1 yaitu X n+1 = ξ (n) 1 + ξ (n) 2 +... + ξ (n) X n. Misalkan Z(t) merupakan banyaknya seluruh keturunan pada waktu t dengan proses kelahiran berasal dari satu induk sehingga asumsi proses percabangan saat t=0 terpenuhi. Individu yang berperan sebagai induk memiliki rentang hidup yang diasumsikan sebagai variabel random τ dan jumlah keturunan yang lahir pada generasi ke-n adalah X n. Selanjutnya, banyaknya keturunan yang lahir pada waktu t adalah jumlahan dari individu yang berada pada proses selanjutnya t τ. Untuk setiap keturunan lahir pada waktu t dituliskan { Xn i=1 Z(t) = X(i) n τ 1, n < τ. 3. PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON Proses percabangan dimulai dengan individu tunggal pada waktu ke-0 yang kemudian disebut induk. Variabel random yang digunakan adalah banyaknya keturunan dari induk, banyaknya seluruh keturunan pada waktu ke-t dinotasikan dengan Z(t), nilainya dapat diperoleh dari akumulasi nilai X n dimana X n adalah banyaknya keturunan pada generasi ke-n, nilai X n merupakan akumulasi dari nilai ξ (n) X n dengan ξ (n) X n adalah banyaknya keturunan dari satu individu pada generasi ke-n. Jika pola banyaknya keturunan dari induk mengikuti karakteristik suatu distribusi maka proses percabangan dapat menggunakan fungsi pembangkit probabilitas. Menurut Allen [1] fungsi pembangkit probabilitas (p.g.f) dari suatu variabel random ξ adalah fungsi gabungan himpunan bilangan real dengan notasi P ξ yang didefinisikan dengan P ξ (t) = E(t ξ ) = p k t k, (3.1) untuk nilai t R. Distribusi Poisson merupakan salah satu distribusi bersifat diskret pengembangan dari distribusi binomial dengan fungsi distribusi probabilitas (p.d.f.) dari distribusi Poisson adalah f(x) = λx e λ x!, x = 0, 1, 2,..., (3.2) Nur Alfiani Santoso 3 2016

dengan λ=rata-rata distribusi. Nilai p.g.f dari distribusi Poisson dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) ke dalam persamaan (3.1). Nilai p.g.f dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata dan variansi dari banyaknya hasil proses percabangan, jika p k = 1. Nilai rata-rata dan variansi ξ n yang memenuhi adalah µ ξ = E(ξ) = kp k, (3.3) dan σ 2 ξ = E[(ξ µξ) 2 ] = k 2 p k µ 2 ξ. (3.4) Pada generasi ke-n nilai rata-rata dan variansi dari ξ n didefinisikan sebagai µ n = E(ξ Xn ) = µ n untuk n = 0, 1, 2,..., (3.5) dan σ 2 n = { σ 2 µ n 1 (µ n 1), µ 1 µ 1 nσ 2, µ = 1. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN (3.6) 4.1. Proses Percabangan pada Distribusi Poisson. Proses percabangan adalah suatu proses stokastik dimana setiap individu bereproduksi secara random dan tidak terkait dengan interaksi antar individu yang lain. Menurut Taylor dan Karlin [6], seluruh makhluk hidup perlu mempertahankan keturunan dengan cara bereproduksi, misal banyaknya keturunan yang lahir merupakan variabel random ξ. Diasumsikan setiap individu lahir tidak bergantung antar individu yang lain dan memiliki waktu hidup yang sama. Banyaknya keturunan pada generasi ken disebut X n. Karakteristik proses stokastik dapat terlihat dengan jelas pada variabel random banyaknya keturunan yang lahir ξ yang bergantung pada waktu, sehingga karakteristik rantai markov dapat diterapkan untuk mengetahui jumalah keturunan yang lahir pada generasi ke-n + 1 di tampilkan dalam persamaan X n+1 = ξ (n) 1 + ξ (n) 2 +... + ξ (n) X n, (4.1) dengan ξ (n) 1 adalah banyaknya keturunan yang lahir dari individu 1 pada generasi ke-n. Jumlah keturunan yang lahir pada generasi ke-n + 1 merupakan jumlahan dari banyaknya keturunan yang lahir dari individu ke-1 sampai individu ke-x n pada generasi ke-n. Jumlah seluruh keturunan yang lahir sampai generasi ke-n dinyatakan dengan Z n dan ditampilkan pada persamaan { Xn i=1 Z(t) = X(i) n τ (4.2) 1, n < τ. Nur Alfiani Santoso 4 2016

Feller [3] menjelaskan beberapa contoh penerapan proses percabangan yang dapat diterapkan dalam kehidupan, dari beberapa contoh yang dijelaskan dapat diketahui bahwa banyaknya keturunan yang lahir tiap satuan waktu dapat mendekati karakteristik suatu distribusi tertentu, salah satu distribusi yang banyak ditemukan dalam kehidupan adalah distribusi Poisson. Distribusi Poisson adalah distribusi bersifat diskret yang merupakan pengembangan dari distribusi binomial. Fungsi densitas probabilitas (p.d.f) dari distribusi Poisson ditunjukkan pada persamaan (3.2). Untuk mengetahui pola pemusatan dan pola penyebaran banyaknya individu lahir dapat digunakan p.g.f distribusi Poisson. Nilai p.g.f diperoleh dengan subtitusi persamaan (3.2) dalam persamaan (3.1) sehingga diperoleh P ξ (t) = E[t ξ ] = p k t k = e λ(1 t). Nilai rata-rata dan variansi dapat ditentukan menggunakan nilai p.g.f, menggunakan persamaan (3.3) untuk rata-rata dan persamaan (3.4) untuk variansi. Nilai rata-rata nilai Variansi µ ξ = E(ξ) = kp k = λ, σ 2 ξ = E[ξ 2 ] E[ξ] 2 = λ. Selain mengetahui nilai p.g.f, rata-rata dan variansi dari ξ dapat pula dicari nilai p.g.f, rata-rata dan variansi dari X n yang merupakan jumlahan dari banyaknya keturunan baru yang lahir dari setiap individu pertama sampai individu ke-n 1 menggunkan nilai p.g.f, rata-rata dan variansi dari ξ. Nilai p.g.f P n (t) = P [P [ [P (t)] ]] = e λ+λp n 1, rata-rata pada generasi ke-n dicari menggunakan persamaan (3.5) µ n = E(ξ Xn ) = µ n = λ n, (4.3) Nur Alfiani Santoso 5 2016

variansi pada generasi ke-n dicari menggunakan persamaan (3.6) σ 2 n = { λ 2n λ n, λ 1 λ 1 nλ, λ = 1. (4.4) 4.2. Penerapan. Pada penerapan ini data penyebaran penyakit influenza yang digunakan mengacu pada Longini et.al [4] dengan banyaknya populasi N = 2000 individu yang berada pada kawasan tertentu dan memiliki kemungkinan tertular influenza dengan nilai rata-rata penularan λ = 1.9. Waktu yang dibutuhkan untuk penyebaran virus influenza t = 4 hari. Data penyebaran penyakit influenza berkarakteristik distribusi Poisson dengan p adalah probabilitas seorang individu tertular penyakit influenza sebesar 0.5. Pada penelitian ini dicari banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza, ukuran populasi yang diwakili oleh rata-rata dan variansi, diambil sampel sampai generasi ke-10. Dengan bantuan software Mathematica 8.0 diperoleh banyaknya individu baru yang terbentuk dari satu individu induk untuk data berdistribusi Poisson, diambil sampel gambar pada pada generasi ke-1, 5, dan 10 yang disajikan dalam Gambar 1. Gambar 1. Banyaknya individu pada (a) generasi ke-1, (b) generasi ke-5 dan, (c) generasi ke-10 dari proses percabangan penyebaran penyakit influenza Nur Alfiani Santoso 6 2016

Dari Gambar 1 (a) banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza dalam kurun waktu 4 hari sebanyak satu individu. Pada Gambar 1 (b) banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza pada generasi ke-5 dari satu induk dengan waktu setiap generasi 4 hari atau 20 hari kemudian sebanyak 8 individu. Pada Gambar 1 (c) banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza pada generasi ke-10 dari satu individu induk dengan waktu setiap generasi 4 hari atau 40 hari kemudian sebanyak 165 individu. Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa banyaknya individu baru yang tertular di setiap generasi mengalami peningkatan. Ukuran populasi dari data penyebaran penyakit influenza yang diterapkan dalam proses percabangan perlu diketahui agar dapat dilakukan analisis. Ukuran populasi dapat diwakili dengan rata-rata dan variansi dari data. Nilai ratarata dan variansi dapat dicari menggunakan p.g.f dari distribusi Poisson sesuai persamaan 4.3 dan 4.4. Data banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza, rata-rata dan variansi sampai generasi ke-10 ditampilkan pada Tabel 1. Tabel 1. Data banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza, rata-rata dan variansi Generasi ke- Banyaknya Individu Rata-Rata Variansi 1 1 1.9 1.9 2 2 3.61 10.469 3 2 6.859 44.652 4 5 13.032 174.227 5 8 24.761 653.718 6 13 47.046 2406.962 7 29 89.387 8778.5282 8 49 169.836 31860.465 9 86 322.688 115338.348 10 165 613.107 416985.314 Dari Tabel 1 dapat dilihat banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza serta perubahan rata-rata dan variansi di setiap generasi. Banyaknya individu yang tertular influenza dari generasi ke generasi mengalami peningkatan. 5. KESIMPULAN Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan. Nur Alfiani Santoso 7 2016

(1) Proses percabangan untuk mengetahui banyaknya individu pada generasi tertentu dituliskan pada persamaan (4.1) dan jumlah seluruh individu baru sampai generasi tertentu dituliskan pada persamaan (4.2). (2) Penerapan dengan nilai parameter yang mengacu pada Longini [4] mengenai penyebaran penyakit influenza merupakan proses percabangan menggunakan fungsi pembangit probabilitas pada distribusi Poisson dengan banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza mengalami peningkatan dalam setiap peningkatan generasi artinya kesuksesan penyebaran penyakit influenza cukup besar. Daftar Pustaka [1] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice Hall, Upper Saddla River, N.J., 2003. [2] Bain, L. J. and M. Engelhardt., Introduction to Probability and Mathematical statistics, Duxbury, 1992. [3] Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Eugene Higgins Professor of Mathematics, Princenton University, 1950. [4] Longini, I. M.,M. E. Halloran, A. Nizam and Y. Yang, Containing Pandemic Influenza with Antiviral Agents, American Journal of Epidemilogy 159 (2004), 625-626. [5] Reluga, T. C., Branching Process and Noncommuting Random Variables in Population Biology, Canadian Applied Mathematics Quarterly 17 (2009), 394-395. [6] Taylor, Howard. M. and S. Karlin, An Introduction to Stochastic Modelling : revised edition, United States of America, 1994. [7] Walpole, R. E., R. H. Myers, S. L. Myers, and K. Ye, Probability Statistics for Engineers Scientist, Pearson, 2011. Nur Alfiani Santoso 8 2016