PENDUGAAN SEBARAN LAMA PERAWATAN NASABAH ASURANSI KESEHATAN (STUDI KASUS: ASURANSI KESEHATAN P.T. ASURANSI JIWA BRINGIN JIWA SEJAHTERA) NOVALIA

PENDUGAAN SEBARAN LAMA PERAWATAN NASABAH ASURANSI KESEHATAN (STUDI KASUS: ASURANSI KESEHATAN P.T. ASURANSI JIWA BRINGIN JIWA SEJAHTERA) NOVALIA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 211

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dngan ini saya mnyatakaan bahwa tsis Pndugaan Sbaran Lama Prawatan Nasabah Asuransi (Studi Kasus Asuransi Kshatan P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra) adalah karya saya dngan arahan dari komisi pmbimbing dan blum diajukan dalam bntuk apa pun kpada prguruan tinggi mana pun. Sumbr informasi yang brasal atau dikutip dari karya yang ditrbitkan maupun tidak ditrbitkan dari pnulis lain tlah disbutkan dalam tks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tsis ini. Bogor, Januari 211 Novalia NIM G1518171

ABSTRACT NOVALIA. Estimation Lngth Tratmnt of Distributions for Halth Insuranc Customr (Cas Study : Halth Insuranc P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra). Undr Dirction of I MADE SUMERTAJAYA and ANIK DJURAIDAH. Halth insuranc is an insuranc product that guarants halth car costs for customrs. On of th products is dsignd spcifically for ldrly (ovr 55 yars). Th ldrly oftn gt halth problms, bcaus of thm oftn rduc human organs function. This will affct to th incrasing claims of customrs. Knowldg about th distribution of claims is vry important for insuranc companis. Kind of claims in this rsarch is lngth of tratmnt. Furthrmor to study th bhavior of th claims may also b usd as a modl to prdict th cost of insuranc in th following yars. Th main purpos of this rsarch is to stimat th costumrs claims distribution of P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra, as an insuranc company that hld a spcial halth insuranc ldrly. Anothr purpos is to analyz th rlationship btwn groups of th ldrly disas with th distribution lngth tratmnt of halthy insuranc. Th data usd in th rsarch is lngth tratmnt data which collctd from 22 until April 21 by P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra. Th lngth tratmnt was stimatd by discrt, continuous and mixtur distribution. Th mthods that usd for tst goodnss of fit distributions such as quantil-quantil plot, Cramr-van Miss, and chi-squar tst. Th rsult showd that th fit costumrs claims distribution with 8 groups is mixtur lognormal distribution. Kywords : Halth insuranc, Lngth of tratmnt, Chi-squar, Quantil-quantil plot, Mixtur distribution

RINGKASAN NOVALIA. Pndugaan Sbaran Lama Prawatan Nasabah Asuransi Kshatan (Studi Kasus: Asuransi Kshatan P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra). Dibimbing olh I MADE SUMERTAJAYA dan ANIK DJURAIDAH. Prtumbuhan klaim yang lbih bsar dari knaikan prmi akan brpngaruh trhadap laba yang diprolh prusahaan asuransi. Prusahaan asuransi harus mmprhitungkan rsiko individual atau klompok yang dialihkan padanya dngan mntapkan nilai prmi brdasarkan prhitungan yang matang. Pngtahuan tntang sbaran dari klaim adalah suatu hal yang sangat pnting dalam asuransi. Slain dapat digunakan untuk mmplajari prilaku dari klaim, dapat juga digunakan sbagai modl dalam mramalkan biaya asuransi untuk tahun-tahun brikutnya. Tujuan dari pnlitian ini adalah mnduga sbaran lama prawatan nasabah dan mngkaji hubungan antara klompok pnyakit lansia dngan sbaran lama prawatan nasabah asuransi kshatan khusus lansia P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra. Data yang digunakan dalam pnlitian ini adalah data klaim nasabah asuransi kshatan khusus lansia yang dikumpulkan dari tahun 22 sampai dngan bulan april 21. Jnis klaim asuransi ini brupa lama prawatan, jumlah nasabahnya 1585 orang dngan 287 klaim dan lama prawatan sbanyak 16416 hari. Sbaran lama prawatan diduga mngikuti sbaran diskrt dan sbaran kontinu. Untuk sbaran diskrt, lama prawatan diduga mnybar binomialngatif, zro-truncatd Poisson dan Poisson Lindly. Mtod yang digunakan untuk mnguji kssuaian data dngan sbaran diskrt yaitu mtod histogram dan uji khi-kuadrat. Brdasarkan histogram lama prawatan yang dihampiri kurva sbaran Poisson dan sbaran zro-truncatd Poisson dapat disimpulkan, data lama prawatan tidak mngikuti ktiga sbaran diskrt trsbut. Hal srupa juga trjadi pada uji khi-kuadrat, nilai khi-kuadrat hitung kduanya jauh lbih bsar dari nilai khi-kuadrat tabl artinya data tidak mnybar binomial-ngatif, zro-truncatd Poisson dan Poisson Lindly. Sbaran lama prawatan diduga mngikuti sbaran kontinu, yaitu sbaran ksponnsial, sbaran gamma, dan sbaran lognormal. Mtod yang digunakan dalam mnduga sbaran kontinu ada dua, yaitu mtod grafik (histogram dan plot kuantil-kuantil) dan uji kssuaian sbaran kontinu (Cramr-von Miss, Kolmogorov-Smirnov, Andrson-Darling dan uji khi-kuadrat). Hasil dari uji Cramr-von Miss, Kolmogorov-Smirnov, Andrson-Darling dan uji khi-kuadrat data lama prawatan tidak mngikuti sbaran kontinu manapun. Olh karna itu prlu dilakukan analisis lainnya sprti mlihat hal-hal yang dapat mmpngaruhi lamanya prawatan. Dari data yang ada, hal yang brpluang bsar mmpngaruhi lamanya prawatan adalah klompok pnyakit lansia. Stlah dilakukan uji Kruskal-Wallis diprolh ksimpulan bahwa klompok klompok pnyakit lansia mmpngaruhi lama prawatan. Pndugaan sbaran lama prawatan untuk masing-masing klompok pnyakit dilakukan sama halnya sprti pndugaan sbaran mnggunakan data scara ksluruhan. Brdasarkan uji hipotsis sprti Cramr-von Miss, Kolmogorov- Smirnov, Andrson-Darling dan uji khi-kuadrat klompok pnyakit 1, 5, 6 dan

klompok pnyakit 7 mngikuti sbaran lognormal, untuk klompok pnyakit yang lainnya tidak mngikuti sbaran diskrt dan sbaran kontinu manapun. Namun, nilai-p untuk sluruh klompok pnyakit yang mndkati alpha (α =.5) trdapat pada sbaran lognormal, artinya sluruh klompok pnyakit mmiliki kcndrungan mnybar lognormal. Hasil dari pndugaan sbaran dngan plot kuantil-kuantil dan histogram, bbrapa klompok pnyakit ssuai dngan sbaran ksponnsial, gamma dan lognormal. Olh karna itu sbaran lama prawatan pr klompok pnyakit akan diduga dngan sbaran campuran gamma dan sbaran campuran lognormal. Sbaran yang ssuai dngan lama prawatan 8 klompok adalah sbaran campuran lognormal dngan pnduga paramtr (.5,.24,.25,.9,.9,.5,.7,.16), (6.42, 8.52, 5.91, 7.96, 9.55, 9.4, 9.55, 4.46) dan (7.2, 9.56, 6.63, 8.93, 1.71, 1.55, 1.71, 5.). Kata Kunci : Asuransi kshatan, Lama Prawatan, Uji Khi-kuadrat, Plot Kuantil- Kuantil, Sbaran Campuran

Hak Cipta milik IPB, tahun 211 Hak Cipta dilindungi Undang-undang Dilarang mngutip sbagian atau sluruh karya tulis ini tanpa mncantumkan atau mnybutkan sumbrnya. Pngutipan hanya untuk kpntingan pndidikan, pnlitian, pnulisan karya ilmiah, pnyusunan laporan, pnulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pngutipan trsbut tidak mrugikan kpntingan yang wajar bagi IPB Dilarang mngumumkan dan mmprbanyak sbagian atau sluruh Karya tulis dalam bntuk apa pun tanpa izin IPB

PENDUGAAN SEBARAN LAMA PERAWATAN NASABAH ASURANSI KESEHATAN (STUDI KASUS: ASURANSI KESEHATAN P.T. ASURANSI JIWA BRINGIN JIWA SEJAHTERA) NOVALIA Tsis Sbagai salah satu syarat untuk mmprolh glar Magistr Sains pada Program Studi Statistika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 211

Pnguji Luar Komisi pada Ujian Tsis : Dr. Anang Kurnia,S.Si,M.Si.

Judul Tsis Nama NIM :Pndugaan Sbaran Lama Prawatan Nasabah Asuransi Kshatan (Studi Kasus: P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra) : Novalia : G1518171 Distujui Komisi Pmbimbing Dr. Ir. I Mad Sumrtajaya, M.Si Ktua Dr. Ir. Anik Djuraidah, M.S Anggota Diktahui, Ktua Program Studi Statistika Dkan Skolah Pascasarjana Dr. Ir. Erfiani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S Tanggal Ujian : 17 Januari 211 Tanggal Lulus :

PRAKATA Puji dan syukur pnulis panjatkan kpada Allah SWT atas sgala rahmat dan karunia-nya shingga karya ilmiah ini dapat dislsaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Pndugaan Sbaran Lama Prawatan Nasabah Asuransi Kshatan (Studi Kasus: Asuransi Kshatan P.T. Asuransi Jiwa Bringinjiwa Sjahtra). Trima kasih pnulis ucapkan kpada Bapak Dr. Ir. I Mad Sumrtajaya, M.Si slaku pmbimbing I dan Ibu Dr. Ir. Anik Djuraidah, M.S. slaku pmbimbing II, trima kasih atas bimbingan, saran dan waktunya. Disamping itu pnulis juga mngucapkan trima kasih kpada Bapak Dr. Anang Kurnia,S.Si,M.Si slaku pnguji luar komisi pada ujian tsis dan sluruh staf Program Studi Statistika. Ungkapan trima kasih juga disampaikan kpada Ibu, Bapak, kakak, adikadik, dan sluruh kluarga trima kasih atas do a, dukungan dan kasih sayangnya. Trima kasih kpada tman-tman Statistika dan Statistika Trapan angkatan 28 atas bantuan dan kbrsamaannya. Pnulis mnyadari sgala ktrbatasan yang dimiliki shingga tsis ini masih jauh dari smpurna. Untuk itu diharapkan kritik dan saran yang mmbangun untuk prbaikan karya ilmiah pnulis slanjutnya. Smoga karya ilmiah ini brmanfaat. Bogor, Januari 211 Novalia

RIWAYAT HIDUP Pnulis dilahirkan di Bandar Lampung, Lampung pada tanggal 9 Novmbr 1982 sbagai anak kdua dari lima brsaudara, anak dari pasangan Bapak Haspani Amin, S.H. dan Ibu Yulia. Pnulis mnylsaikan pndidikan SLTA di SMAN 5 Bandar Lampung pada tahun 2 dan mlanjutkan prkuliahan di Univrsitas Lampung Fakultas Kguruan dan Ilmu Pndidikan jurusan Pndidikan MIPA Program Studi Pndidikan Matmatika. Stlah lulus S1 pnulis smpat mngajar di bbrapa tmpat diantaranya sbagai brikut SMKN 2 Bandar Lampung, SMA Al-Kautsar, BKB Al-Qolam dan Bimbingan Blajar Bintang Plajar Jakarta.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR LAMPIRAN... xv PENDAHULUAN Latar Blakang... 1 Tujuan... 2 TINJAUAN PUSTAKA Asuransi... 3 Klompok Pnyakit Lansia di Indonsia... 3 Sbaran Pluang Diskrt... 4 Sbaran Kontinu... 6 Sbaran Campuran... 8 Uji Khi-kuadrat... 8 Plot Kuantil-kuantil... 9 Uji Kruskal Wallis... 1 Mtod Pndugaan Paramtr Sbaran Campuran... 11 METODOLOGI PENELITIAN Data... 13 Mtod Analisis Data... 13 HASIL DAN PEMBAHASAN Dskripsi Lama Prawatan... 17 Dskripsi Lama Prawatan pr Klompok Pnyakit... 19 Pndugaan Sbaran Lama Prawatan dngan Sbaran Diskrt... 21 Pndugaan Sbaran Lama Prawatan dngan Sbaran Kontinu... 31 Prbandingan Kssuaian Sbaran... 46 Pndugaan Sbaran Lama Prawatan dngan Sbaran Campuran... 51 Pnrapan Sbaran Lama Prawatan... 53 KESIMPULAN DAN SARAN Ksimpulan... 55 Saran... 55 DAFTAR PUSTAKA... 57 LAMPIRAN... 59

DAFTAR TABEL Halaman 1 Absis dan ordinat plot kuantil-kuantil sbarang kontinu... 1 2 Total klaim brdasarkan jnis klamin... 17 3 Dskripsi lama prawatan... 18 4 Dskripsi lama prawatan pr klompok pnyakit... 19 5 Uji Kruskal-Wallis untuk mngtahui pngaruh klompok pnyakit... 21 6 Pnduga paramtr dan khi-kuadrat sbaran binomial-ngatif... 23 7 Pnduga paramtr dan khi-kuadrat sbaran zro-truncatd Poisson... 27 8 Pnduga paramtr dan khi-kuadrat sbaran Poisson Lindly... 3 9 Pnduga paramtr sbaran Eksponnsial... 32 1 Nilai-p dan statistik uji sbaran ksponnsial... 32 11 Pnduga paramtr sbaran Eksponnsial untuk lama prawatan masingmasing klompok pnyakit... 32 12 Nilai-p dan statistik uji kssuaian sbaran ksponnsial untuk lama prawatan masing-masing klompok pnyakit... 36 13 Pnduga paramtr sbaran gamma... 37 14 Nilai-p dan statistik uji sbaran gamma... 37 15 Pnduga paramtr sbaran gamma untuk lama prawatan masingmasing klompok pnyakit... 38 16 Nilai-p dan statistik uji kssuaian sbaran gamma untuk lama prawatan masing-masing klompok pnyakit... 41 17 Pnduga paramtr sbaran lognormal... 42 18 Nilai-p dan statistik uji sbaran lognormal... 42 19 Pnduga paramtr sbaran lognormal untuk lama prawatan masingmasing klompok pnyakit... 43 2 Nilai-p dan statistik uji kssuaian sbaran gamma untuk lama prawatan masing-masing klompok pnyakit... 46 21 Nilai khi-kuadrat sbaran diskrt... 47 22 Nilai uji kssuaian sbaran kontinu... 47 23 Nilai khi-kuadrat sbaran diskrt untuk lama prawatan masingmasing klompok pnyakit... 48

24 Sbaran lama prawatan yang ssuai untuk masing-masing klompok pnyakit brdasarkan plot kuantil-kuantil... 49 25 Pngujian kssuaian sbaran kontinu untuk lama prawatan masing masing klompok pnyakit... 5 26 Pnduga paramtr sbaran campuran gamma dngan 8 klompok... 51 27 Pnduga paramtr sbaran campuran lognormal dngan 8 klompok... 52 28 Nilai uji kssuaian sbaran campuran... 53 29 Prkiraan prmi dasar pr bulan untuk asuransi kshatan khusus lansia 54 3 Prkiraan prmi pr bulan asuransi untuk kshatan khusus lansia... 54

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Histogram klaim tahun 22 s.d. April 21... 17 2 Histogram data lama prawatan... 18 3 Histogram lama prawatan pr klompok pnyakit... 2 4 Histogram data yang dihampiri sbaran binomial-ngatif... 22 5 Kurva binomial-ngatif mnghampiri histogram pr klompok... 24 6 Histogram data yang dihampiri sbaran zro-truncatd Poisson... 25 7 Kurva zro-truncatd Poisson mnghampiri histogram pr klompok. 27 8 Histogram data yang dihampiri sbaran Poisson Lindly... 28 9 Kurva Poisson Lindly mnghampiri histogram pr klompok... 3 1 Plot kuantil-kuantil dan histogram lama prawatan yang dihampiri sbaran ksponnsial... 31 11 Plot kuantil-kuantil sbaran ksponnsial untuk lama prawatan masing-masing klompok pnyakit... 33 12 Histogram lama prawatan masing-masing klompok pnyakit yang dihampiri sbaran ksponnsial... 34 13 Plot kuantil-kuantil dan histogram lama prawatan yang dihampiri sbaran gamma... 37 14 Plot kuantil-kuantil sbaran gamma untuk lama prawatan masing masing klompok pnyakit... 39 15 Histogram lama prawatan masing-masing klompok pnyakit yang dihampiri sbaran gamma... 4 16 Plot kuantil-kuantil dan histogram lama prawatan yang dihampiri sbaran lognormal... 42 17 Plot kuantil-kuantil sbaran lognormal untuk lama prawatan masing masing klompok pnyakit... 44 18 Histogram lama prawatan masing-masing klompok pnyakit yang dihampiri sbaran lognormal... 45

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Sintax SAS untuk pndugaan paramtr zro-truncatd Poisson... 59 2 Sintax Mathlab pndugaan paramtr sbaran binomial-ngatif... 6 3 Sintax Mathlab pndugaan paramtr sbaran Poisson Lindly... 61 4 Sintax SAS untuk uji kssuaian sbaran kontinu... 62 5 Sintax R untuk uji kssuaian sbaran lognormal campuran... 63

PENDAHULUAN Latar Blakang Asuransi mrupakan produk jasa kuangan yang brkmbang di Indonsia siring dngan tumbuhnya prkonomian nasional. Hal ini mnybabkan prsaingan antar prusahaan asuransi smakin kuat. Prusahaan asuransi scara trus mnrus slalu mngmbangkan produknya guna mmnuhi kbutuhan masyarakat. Salah satu produk asuransi yang baru adalah asuransi kshatan khusus lanjut usia (lansia). Asuransi kshatan adalah produk asuransi yang scara khusus mnjamin biaya kshatan atau prawatan para anggota asuransi trsbut jika mrka jatuh sakit. Lansia yaitu klompok pnduduk yang brusia lbih dari 55 tahun. Para lansia sring mngalami gangguan kshatan, karna pada usia ini manusia mngalami kmunduran fungsi organ. Hal ini akan brdampak pada pningkatan klaim yang diajukan nasabah. Data Biro Prasuransian Badan Pngawas Pasar Modal dan Lmbaga Kuangan (Bappam-LK) mnunjukkan klaim industri asuransi nasional pada tahun 29 mncapai Rp 54.39 triliun atau naik sbsar 3.84% dibandingkan tahun 28. Asuransi krugian mncatat prtumbuhan klaim pada tahun 29 mncapai Rp 1.4 triliun atau naik sbsar 36% dibandingkan tahun 28. Kpala Biro Prasuransian Bappam-LK Isa Rachmatawata mngatakan bahwa prtumbuhan klaim mnguat siring dngan pningkatan jumlah prmi pada tahun 28. Prtumbuhan klaim yang lbih bsar dari knaikan prmi akan brpngaruh trhadap laba yang diprolh prusahaan asuransi. Bila suatu ktika bsar modal dan total pnrimaan prmi lbih kcil dari klaim yang harus dibayarkan, maka prusahaan asuransi akan mngalami krugian. Olh karna itu, prusahaan asuransi harus mmprhitungkan rsiko individual atau klompok yang dialihkan padanya dngan mntapkan nilai prmi brdasarkan prhitungan yang matang. Prusahaan asuransi mnggunakan ilmu aktuaria untuk mnghitung rsiko yang mrka prkirakan. Ilmu aktuaria mnggunakan matmatika, trutama statistika dan probabilitas, yang dapat digunakan untuk mmprkirakan klaim di kmudian hari dngan ktpatan yang dapat diandalkan.

2 Pngtahuan tntang sbaran dari klaim adalah suatu hal yang sangat pnting dalam asuransi. Slain dapat digunakan untuk mmplajari prilaku dari klaim, dapat juga digunakan sbagai modl dalam mramalkan biaya asuransi untuk tahun-tahun brikutnya (Andriani 24). Mnurut Grandll dalam Himawan (28) sbaran Poisson scara luas digunakan dalam masalah asuransi trutama untuk modl klaim asuransi. Klaim asuransi yang dapat diajukan olh nasabah asuransi kshatan ada dua jnis, yaitu rawat jalan (out-patint tratmnt) dan rawat inap (out-patint tratmnt). Pada klaim asuransi rawat inap bsarnya biaya yang ditanggung prusahaan asuransi tidak hanya trgantung pada banyaknya klaim namun sangat trgantung dngan sbrapa lama nasabah asuransi trsbut dirawat di rumah sakit. Tujuan Pnlitian Tujuan dari pnlitian ini adalah sbagai brikut : 1. Mnduga sbaran lama prawatan nasabah asuransi kshatan khusus lansia P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra. 2. Mngkaji hubungan antara klompok pnyakit lansia dngan lama prawatan nasabah asuransi kshatan khusus lansia P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra.

3 TINJAUAN PUSTAKA Asuransi Asuransi brasal dari kata assuranc atau insuranc, yang brarti jaminan atau prtanggungan. Asuransi dalam Undang-Undang No.2 Th 1992 tntang usaha prasuransian adalah prjanjian antara dua pihak atau lbih, dngan mana pihak pnanggung mngikatkan diri kpada trtanggung, dngan mnrima prmi asuransi, untuk mmbrikan pnggantian kpada trtanggung karna krugian, krusakan atau khilangan kuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum pihak k tiga yang mungkin akan didrita trtanggung, yang timbul dari suatu pristiwa yang tidak pasti, atau mmbrikan suatu pmbayaran yang didasarkan atas mninggal atau hidupnya ssorang yang diprtanggungkan. Bbrapa istilah dalam asuransi yaitu: 1. Prmi adalah sjumlah uang yang harus dibayarkan olh trtanggung guna mndapatkan prlindungan atas obyk yang diprtanggungkan. 2. Polis adalah dokumn trtulis yang brisi prstujuan antara prusahaan asuransi dan pmilik polis (trtanggung). 3. Klaim adalah hak trtanggung mminta jaminan/prlindungan kpada pihak pnanggung. 4. Trtanggung adalah ssorang atau badan hukum yang mmiliki atau brkpntingan atas harta bnda yang diasuransikan. 5. Pnanggung adalah pihak yang mnrima prmi asuransi dari trtanggung dan mnanggung rsiko atas krugian/musibah yang mnimpa harta bnda yang diasuransikan. Klompok Pnyakit Lanjut Usia (Lansia) di Indonsia Survi Kshatan Rumah Tangga (SKRT) tahun 1995 mnyimpulkan bahwa brbagai pnyakit dgnratif sprti diabts mlitus, hiprtnsi, gangguan rfraksi, ktulian, ostoarthritis banyak ditmukan pada lansia. Pnyakit-pnyakit sistm sirkulasi darah, sistm prnafasan dan tubrkulosis paru mrupakan pnybab kmatian paling tinggi pada klompok umur tua. Mnurut Aprilianti (29), pnyakit lansia di Indonsia dapat diklompokkan mnjadi 8 klompok pnyakit, yaitu:

4 1. Pnyakit prsndian dan tulang 2. Pnyakit kardiovaskulr 3. Pnyakit pncrnaan 4. Pnyakit urognital 5. Pnyakit mtabolik 6. Pnyakit prnafasan 7. Pnyakit kganasan 8. Pnyakit lain-lain. Sbaran Pluang Diskrt Jika gugus smua nilai yang mungkin dari pubah acak X mrupakan gugus trhitung, maka X disbut dngan pubah acak diskrt. Sbaran pluang diskrt atau biasa disbut dngan fungsi massa pluang adalah fungsi f(x) = P (X=x) untuk x = yang mngalokasikan pluang untuk stiap kmungkinan nilai x. a. Sbaran Brnoulli Sbaran Brnoulli adalah sbaran pluang diskrt yang ditmukan olh ilmuan Swiss yang brnama Jacob Brnoulli. Sbuah prcobaan dikatakan mngikuti sbaran Brnoulli, jika prcobaan trsbut mngikuti sifat-sifat sbagai brikut: 1. Prcobaannya trdiri atas dua kjadian, yaitu kjadian yang diprhatikan (sring disbut kjadian brhasil) dan kjadian yang tidak diprhatikan (sring disbut kjadian gagal). 2. Prcobaan hanya dilakukan skali saja. Pubah acak X dikatakan mnybar Brnoulli, jika dan hanya jika fungsi massa pluangnya brbntuk Nilai harapan dari sbaran Brnoulli adalah E(X) = p dan ragamnya adalah var(x)= p (1-p) (Hrrhyanto & Gantini 29). b. Sbaran binomial Bila prcobaan trdiri dari n kjadian yang saling bbas, yang masing-masing brpluang p untuk brhasil dan 1 p untuk gagal. Jika X mnyatakan brapa kali trjadi kbrhasilan dalam n tindakan trsbut, maka X dinamakan pubah

5 acak binom dngan paramtr (n,p). Pubah acak Brnoulli adalah pubah acak binom dngan paramtr (1,p). Pubah acak X dikatakan mnybar binomial, jika dan hanya jika fungsi massa pluangnya brbntuk P(X=x) = Nilai harapan dari sbaran binomial adalah E(X) = np dan ragamnya adalah var(x)= np (1-p) (Nugroho 28). c. Sbaran Poisson Sbaran Poisson diprknalkan pada tahun 1837 olh S.D. Poisson. Sbaran Poisson diprolh dari sbaran binomial, apabila dalam sbaran binomial brlaku syarat-syarat sbagai brikut: 1. Banyaknya pngulangan prcobaan sangat bsar ( n ) 2. Pluang trjadinya pristiwa yang diprhatikan mndkati nol (p 3. Prkalian n.p =, shingga p = (Hrrhyanto & Gantini 29). Pubah acak X dikatakan mnybar Poisson, jika dan hanya jika fungsi massa pluangnya brbntuk: P(X=x) = Nilai harapan dari sbaran Poisson adalah E(X) = dan ragamnya adalah var(x)=. Baik nilai harapan maupun ragam kduanya sama dngan, shingga ragamnya slalu trgantung pada nilai harapan (nilai tngah). Salah satu ciri dari pola sbaran Poisson adalah miring k kanan atau mmiliki kor yang mmanjang k arah nilai yang bsar, dngan brtambah nilai akan trlihat smakin simtris (Aunuddin 25). d. Sbaran zro-truncatd Poisson Sbaran zro-truncatd Poisson adalah salah satu bntuk modifikasi dari sbaran Poisson. Pada sbaran ini diasumsikan tidak mungkin ada pngamatan yang brnilai nol. Fungsi massa pluang dari sbaran zro-truncatd Poisson yaitu: P(

6 Nilai harapan dan ragam sbaran zro-truncatd Poisson adalah E( dan (1-, (Moy 1991).. Sbaran binomial ngatif ( Sbaran gamma mmiliki fungsi kpkatan pluang g( dngan α,β >. Jika sbaran Poisson( dimana mrupakan nilai dari pubah acak yang mnybar gamma, maka dihasilkan sbaran Poisson campuran dngan fungsi massa pluang brsyarat: (Karlis 25). f. Sbaran Poisson-Lindly (p) Sbaran Lindly mmiliki fungsi kpkatan pluang g( dngan. Jika sbaran Poisson( dimana mrupakan nilai dari pubah acak yang mnybar Lindly maka dihasilkan sbaran Poisson campuran dngan fungsi kpkatan pluang brsyarat: = (Karlis 25). Sbaran Kontinu Pubah acak kontinu adalah suatu pubah acak dngan ruang contoh S yang trdiri dari suatu slang (intrval) atau gabungan dari bbrapa slang. Sbaran pluang kontinu atau biasa disbut dngan fungsi kpkatan pluang dari pubah acak kontinu X adalah F(x) untuk yang brsifat F(x) = F(X=x) = dt, untuk a. Sbaran ksponnsial Sbaran ksponnsial diprolh dari sbaran gamma dngan dan β = Suatu pubah acak kontinu X mmiliki sbaran ksponnsial dngan paramtr jika fungsi kpkatan pluangnya mmiliki bntuk

7 p(x) = P(X=x) = Nilai harapan dari sbaran ksponnsial adalah E(X) = dan ragamnya adalah var(x) = (Hrrhyanto & Gantini 29). b. Sbaran gamma Pubah acak X dikatakan mnybar gamma, jika dan hanya jika fungsi mmiliki fungsi kpkatan pluang sbagai brikut: f(x) = Nilai harapan dari sbaran gamma adalah E(X) = αβ dan ragamnya adalah var(x)= α (Hrrhyanto & Gantini 29). c. Sbaran lognormal Pubah acak X dikatakan mnybar lognormal jika ln (X) mnybar normal. Fungsi massa pluang sbaran lognormal sbagai brikut: f(x) = Nilai harapan dari sbaran lognormal adalah E(X) = xp[ ] dan ragamnyanya adalah var(x) = (Krishnamoorthy 26). d. Sbaran normal Pada tahun 1733 Abraham d Moivr mmpublikasikan sbaran normal sbagai pndkatan dari pubah acak binomial. Sbaran normal adalah sbaran yang paling pnting dalam tori pluang dan statistika. Suatu pubah acak X dikatakan mngikuti sbaran normal dngan rata-rata µ dan simpangan baku jika mmiliki fungsi kpkatan pluang sbagai brikut f(x) =,, Nilai harapan dari sbaran normal adalah E(X) = µ dan ragamnya adalah var(x)=. Jika sbuah pubah acak Y adalah jumlah dari n pubah acak yang bbas yang mmnuhi pada kondisi-kondisi umum trtntu, maka untuk n yang cukup bsar Y akan mndkati sbaran normal (Nugroho 28).

8 Sbaran Campuran Sbaran campuran adalah campuran dari bbrapa sbaran statistik, dimana contoh brasal dari populasi yang tidak sama (populasi campuran). Misalkan X adalah pubah acak yang brasal dari ruang contoh S dan fungsi massa pluang atau fungsi kpkatan pluangnya adalah sbagai brikut g(x) = (x ), dimana i = 1,...,k; dngan g(.) adalah fungsi massa atau kpkatan pluang campuran adalah proporsi subpopulasi k-i adalah fungsi massa atau kpkatan pluang subpopulasi Fungsi massa atau kpkatan pluang subpopulasi tidak harus mmiliki paramtr dan sbaran yang sama, namun dalam pnlitian ini fungsi massa atau kpkatan pluang subpopulasi mmiliki sbaran yang sama dngan pnduga paramtr yang brbda shingga fungsi massa atau kpkatan pluang campuran trbatas mnjadi sbagai brikut g(x (x ), dimana =, (Du 22). Sbaran campuran dapat digunakan dalam kadaan yang brbda yaitu: 1. Pada populasi yang diktahui trdapat struktur campuran 2. Pada populasi yang blum diktahui struktur campurannya. Pada kadaan prtama, struktur campuran diktahui shingga tujuannya adalah mnduga sbaran masing-masing subpopulasi dan proporsinya. Pada kadaan kdua, tujuannya adalah mngklasifikasikan data k dalam subpopulasisubpopulasi brdasarkan pluang akhir (McLachlan dan Basford 1988). Uji Khi-Kuadrat Uji khi-kuadrat digunakan untuk mnguji kssuaian sbaran data dngan sbaran diskrt. Jika data yang digunakan bsar, maka uji khi-kuadrat dapat digunakan untuk mnguji kssuaian sbaran kontinu. Hipotsis pada uji khi-kuadrat sbagai brikut:

9 Ho: data mngikuti sbaran yang diinginkan : data mngikuti sbaran lainnya Uji kssuaian (Goodnss of Fit-Tst) antara frkunsi tramati dngan frkunsi harapannya didasarkan pada statistik uji sbagai brikut: dngan : frkunsi data yang diamati : frkunsi harapan dari data yang diamati n : banyaknya klas data yang diamati d : banyaknya paramtr sbaran Dngan tingkat signifikansi, hipotsis nol akan ditolak jika (Krishnamoorthy 26). Plot Kuantil-Kuantil Tujuan dari pmbuatan plot kuantil-kuantil adalah mmriksa kssuaian pola sbaran data trhadap pola sbaran toritik dngan cara mmbandingkan antara kuantil yang didasarkan pada data (kuantil mpirik) dan kuantil dari sbaran trtntu (kuantil toritik). Pntapan nilai kuantil dapat dilakukan jika data diurutkan dari nilai trkcil k nilai trbsar. Kuantil didfnisikan sbagai brikut: Q( = y(i), untuk i = 1,2,..., n =, dimana a =, Plot kuantil mpirik yaitu plot antara nilai y(i) dngan fraksi. Plot kuantil toritik yaitu plot antara Q( ) dan. Plot kuantil-kuantil adalah plot antara y(i) dan Q( ). Absis dan ordinat pada plot kuantil brbda-bda trgantung sbaran yang akan didkati. Absis dan ordinat pada plot kuantil-kuantil ssuai dngan masing-masing sbaran yang akan didkati, sprti yang trdapat pada Tabl 1. Pola pncaran dalam plot yang mmbntuk garis lurus mnjadi ptunjuk bahwa sbaran data dapat didkati olh sbaran toritik (Aunudin 1989; Chambrs t.al 1983).

1 Tabl 1. Absis dan ordinat plot kuantil-kuantil sbaran kontinu Sbaran absis ordinat Eksponnsial y(i) -log Gamma y(i) ( Lognormal y(i) xp( Normal y(i) Wibull y(i) log(-log Uji Kruskal-Wallis Uji Kruskal-Wallis diprknalkan pada tahun 1952 olh W.H. Kruskal dan W.A. Wallis. Uji Kruskal-Wallis sama dngan uji F dalam rancangan acak lngkap. Prbdaanya, rancangan acak lngkap mmrlukan asumsi bahwa data mnybar normal, sdangkan uji Kruskal-Wallis tidak mmrlukannya. Brikut ini hipotsis pada uji Kruskal-Wallis: Ho: nilai tngah klompok pnyakit lansia sama : minimal ada satu nilai tngah klompok pnyakit lansia yang brbda dngan yang lainnya. Statistik ujinya sbagai brikut: H = - 3(N+1) dngan : banyaknya lama prawatan dalam klompok pnyakit lansia k-i : jumlah lama prawatan dari rangking i N : jumlah total lama prawatan = k : banyaknya klompok pnyakit lansia Dngan tingkat signifikansi, hipotsis nol akan ditolak jika H >. Jika nilai-nilai pngamatan pada data banyak yang sama, maka statistik uji harus dissuaikan. Statistik uji yang tlah dissuaikan adalah, - t

11 dngan t adalah banyaknya nilai pngamatan yang sama dalam sklompok pnyakit N adalah jumlah total lama prawatan = (Danil 1989). Mtod Pndugaan Paramtr Sbaran Campuran Ada bbrapa mtod yang digunakan untuk mnduga paramtr, antara lain mtod momn, mtod bays dan kmungkinan maksimum. Pndugaan paramtr yang digunakan untuk mnduga paramtr sbaran campuran adalah mtod kmungkinan maksimum dan mtod EM (Expctation Maximation). Mtod kmungkinan maksimum adalah suatu mtod yang paling baik untuk mmprolh sbuah paramtr tunggal. Mnurut Hogg dan Craig (25), dngan mmisalkan masing-masing pubah acak yang saling bbas dngan sbaran yang mmiliki fungsi kpkatan pluang f(x; ) dimana 1, dan adalah ruang contoh. Fungsi kpkatan pluang brsama dari adalah L( yang disbut juga sbagai fungsi kmungkinan. Andaikan dicari fungsi sdrhana dari yaitu ( shingga = u ( mmbuat fungsi kmungkinan L maksimum untuk smua. Statistik u( disbut pnduga kmungkinan maksimum dari yang dinotasikan dngan = u(. Mnurut Dimitri Karlis (25) sringkali untuk pndugaan paramtr dngan mnggunakan mtod kmungkinan maksimum tidak bisa scara langsung karna datanya tidak lngkap, untuk itu dapat digunakan algoritma EM (Expctation Maximation). Algoritma EM adalah suatu algoritma yang sangat handal untuk pndugaan paramtr dari fungsi kmungkinan pada data yang tidak tramati sprti yang trdapat pada sbaran campuran (Dmpstr 1997). Ada dua tahap dalam mnggunakan algoritma EM yaitu tahap E(Expctation) dan tahap M (Maximation). Dalam tahap E mncari nilai harapan pnduga paramtr dan pada tahap M mmaksimumkan nilai harapan k fungsi kmungkinan.

METODOLOGI PENELITIAN Data Data yang digunakan dalam pnlitian ini adalah data skundr yang diprolh dari P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sjahtra. Data ini mrupakan data klaim nasabah asuransi kshatan khusus lansia dngan jnis klaim rawat inap yang dikumpulkan dari tahun 22 sampai dngan bulan april 21. Jumlah nasabah sbanyak 1585 nasabah dngan 287 klaim dan lama prawatan 16416 hari, usia nasabah lbih dari 55 tahun. Mtod Analisis Data Tahapan analisis yang dilakukan dalam pnlitian ini sbagai brikut: 1. Analisis dskriptif Pada tahap prtama ini akan didskripsikan data lama prawatan scara ksluruhan dan data lama prawatan pr klompok pnyakit. Data diklompokkan brdasarkan klompok pnyakit lansia di Indonsia, kmudian mngkaji hubungan antara klompok pnyakit lansia dngan sbaran lama prawatan dngan langkah-langkah sbagai brikut: a. Mlakukan analisis ragam dngan 8 klompok pnyakit lansia dianggap sbagai prlakuan. b. Mnguji asumsi-asumsi yang harus dipnuhi analisis ragam yaitu uji knormalan, kaditifan dan khomognan. c. Mlakukan transformasi dan mnguji kmbali asumsi-asumsi analisis ragam. d. Mlakukan uji statistik nonparamtrik yaitu uji Kruskal-Wallis. Jika pada tahap analisis dskriptif diprolh ksimpulan bahwa klompok pnyakit mmpngaruhi lama prawatan maka akan diduga sbaran lama prawatan scara ksluruhan dan sbaran lama prawatan pr klompok pnyakit. 2. Pndugaan sbaran Pndugaan sbaran dibagi mnjadi dua yaitu pndugaan sbaran dngan sbaran diskrt dan sbaran kontinu.

14 Langkah-langkah pndugaan sbaran lama prawatan dngan sbaran diskrt sbagai brikut: a. Mnduga paramtr sbaran diskrt. b. Mnghitung nilai pluang sbaran diskrt. c. Mnghitung nilai frkunsi harapan sbaran diskrt. d. Mmbuat dan mnghampiri histogram dngan pndkatan kurva sbaran diskrt.. Mlakukan uji kssuaian sbaran dngan uji khi-kuadrat. f. Mnntukan sbaran yang ssuai dngan sbaran lama prawatan brdasarkan histogram dan nilai khi-kuadrat. Langkah-langkah pndugaan sbaran lama prawatan dngan sbaran kontinu sbagai brikut: a. Mmbuat dan mnghampiri histogram data dngan pndkatan kurva sbaran kontinu. b. Mmbuat plot kuantil-kuantil untuk masing-masing sbaran kontinu. Mmbuat plot kuantil-kuantil untuk sbaran normal dngan langkahlangkah sbagai brikut: (1). Mngurutkan data dari yang trkcil sampai data yang trbsar y(1),...,y(i),..., y(n). (2). Mnghitung nilai untuk stiap y(i) yaitu =. (3). Mnghitung nilai untuk stiap p(i) yaitu =. (4). Mmbuat plot antara y(i) dngan yang mrupakan plot kuantil-kuantil. c. Mnghitung nilai statistik dari uji kssuaian sbaran kontinu. d. Mnntukan sbaran yang ssuai dngan sbaran lama prawatan brdasarkan histogram, plot kuantil-kuantil dan nilai statistik uji. 3. Prbandingan kssuaian sbaran Mmbandingkan sbaran yang ssuai dngan lama prawatan scara ksluruhan dan lama prawatan pr klompok pnyakit. 4. Pndugaan sbaran lama prawatan dngan sbaran campuran. Langkahlangkah pndugaan lama prawatan dngan sbaran campuran sbagai brikut:

15 a. Mmbuat plot sbaran campuran. b. Mnntukan nilai paramtr awal suatu sbaran (. c. Mnduga nilai paramtr dari sbaran campuran. d. Mlakukan uji kssuaian sbaran yaitu uji khi-kuadrat. 5. Pnrapan sbaran lama prawatan untuk mmprkirakan nilai prmi yang akan diknakan pada nasabah asuransi kshatan.

HASIL DAN PEMBAHASAN Dskripsi Lama Prawatan Jumlah nasabah yang mngikuti asuransi kshatan khusus lansia sbanyak 1585 nasabah, trdiri dari 899 nasabah laki-laki dan 686 nasabah prmpuan. Asuransi ini banyak diikuti olh nasabah laki-laki daripada nasabah prmpuan. Hal ini sbanding dngan banyaknya klaim yang diajukan, klaim nasabah laki-laki sbanyak 1626 klaim dngan lama prawatan 9761 hari dan klaim nasabah prmpuan sbanyak 1181 klaim dngan lama prawatan 6655 hari, untuk lbih jlas dapat dilihat pada Tabl 2. Tabl 2 Total klaim brdasarkan jnis klamin Jnis Klamin Nasabah Klaim Lama Prawatan(hari) Laki-Laki 899 1626 9761 Prmpuan 686 1181 6655 Total 1585 287 16416 Asuransi kshatan lansia ini mrupakan asuransi klompok yang dimulai sjak tahun 22 sampai dngan saat ini, namun data yang digunakan dalam pnlitian ini sampai dngan april 21. Klaim yang diajukan nasabah dari tahun k tahun slalu mnunjukkan pningkatan sprti trlihat pada Gambar 1. Klaim 9 8 7 6 5 4 3 2 1 22 1 23 2 24 3 25 4 26 5 27 6 28 7 29 8 21 9 Gambar 1 Histogram klaim tahun 22 sampai dngan april 21 Jumlah klaim yang diajukan nasabah asuransi dari tahun 22 sampai dngan tahun 21 slalu mnunjukkan suatu pningkatan. Pada tahun 22, klaim yang diajukan nasabah sbanyak 26 klaim, tahun 23 sbanyak 64 klaim, tahun 24 sbanyak 136 klaim, tahun 25 sbanyak 229 klaim, tahun 26 sbanyak 284,

18 tahun 27 sbanyak 414 klaim, tahun 28 sbanyak 69 klaim, tahun 29 sbanyak 85 klaim dan tahun 21 sbanyak 195 klaim. Pningkatan jumlah klaim dari tahun k tahun siring dngan brtambahnya usia nasabah asuransi kshatan lasia trsbut. Salah satu cara yang digunakan dalam mnduga sbaran lama prawatan adalah dngan mlihat kssuaian histogram data dngan histogram sbaran trtntu. Histogram dan dskripsi lama prawatan nasabah asuransi yang digunakan dalam pnlitian ini dapat dilihat pada Gambar 2 dan Tabl 3. 2 frkunsi 15 1 5 1 4 7 113161922252831343741444855596873779 Gambar 2 Histogram data lama prawatan Tabl 3 Dskripsi lama prawatan Dskripsi Nilai Jumlah nasabah 1585 Jumlah lama prawatan 16416 Rata-rata lama prawatan 1.3571 Ragam 122.94 Standar dviasi 11.879 Kmiringan 2.8826 Kruncingan 11.323 Pada Tabl 3 dapat dilihat bahwa rata-rata lama prawatan nasabah asuransi lansia adalah 1 hari, sdangkan rata-rata lama prawatan pasin di rumah sakit adalah 6 hari (Jamal dan Hstining 2). Hal ini mnunjukkan bahwa nasabah asuransi kshatan khusus lansia sbagian bsar mndrita pnyakit-pnyakit brat shingga mmrlukan waktu prawatan yang lbih lama dari biasanya.

19 Dskripsi Lama Prawatan pr Klompok Pnyakit Pnyakit pada lansia diklompokkan mnjadi dlapan klompok pnyakit yaitu (1) klompok pnyakit prsndian dan tulang, (2) klompok pnyakit kardiovaskulr, (3) klompok pnyakit pncrnaan, (4) klompok pnyakit urognital, (5) klompok pnyakit mtabolik, (6) klompok pnyakit prnafasan, (7) klompok pnyakit kganasan dan (8) klompok pnyakit lain-lain. Jumlah nasabah, jumlah lama prawatan, rata-rata lama prawatan, ragam, standar dviasi, kmiringan dan kruncingan lama prawatan untuk masing-masing klompok pnyakit dapat dilihat pada Tabl 4. Histogram lama prawatan untuk masing-masing klompok pnyakit dapat dilihat pada Gambar 3. Tabl 4 Dskripsi lama prawatan untuk masing-masing klompok pnyakit Dskripsi Klompok Pnyakit 1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah nasabah 11 524 446 189 229 114 165 279 Jumlah lama prawatan 684 4875 2782 1572 232 1144 1594 1463 Rata-rata lama prawatan 6.77 9.3 6.24 8.32 1.5 1.4 9.66 5.24 Ragam 27.18 73.5 34.23 36.82 77.1 115.61 119 22.79 Standar dviasi 5.21 8.55 5.85 6.7 8.78 1.75 1.93 4.77 Kmiringan 1.69 2.61 3.89 1.54 2.15 2.97 2.92 2.69 Kruncingan 3.33 9.67 2.26 2.43 5.83 12.26 11.95 9.79 Rata-rata lama prawatan trtinggi disbabkan pnyakit mtabolik yaitu sbsar 1.5 dan rata-rata lama prawatan trndah disbabkan pnyakit prsndian dan tulang yaitu sbsar 5.24. Jumlah klaim trtinggi disbabkan olh pnyakit kardiovaskulr dan jumlah klaim trndah disbabkan olh pnyakit prsndian dan tulang. Klaim trtinggi disbabkan klompok pnyakit kardiovaskulr, namun rata-rata lama prawatan trtinggi disbabkan klompok pnyakit prnafasan. Hal ini mnunjukkan bahwa jumlah klaim dan lama prawatan tidak slalu brbanding lurus. Untuk mngtahui pngaruh klompok pnyakit trhadap lama prawatan dilakukan uji nonparamtrik Kruskal-Wallis. Uji ini digunakan karna asumsiasumsi analisis ragam tidak trpnuhi walaupun brbagai upaya transformasi tlah dilakukan. Hasil uji Kruskal-Wallis dapat dilihat pada Tabl 5.

2 2 15 1 8 6 4 5 2 1 3 5 7 9 11 13 16 18 23 1 6 11 16 21 26 31 37 45 (a) (b) 1 8 6 4 2 1 4 7 1 13 16 19 22 25 28 3 25 2 15 1 5 1 3 5 7 9 111315171923263 3 25 2 15 1 5 25 2 15 1 5 ( c ) (d) 2 15 1 5 1 4 7 1 14 19 23 29 37 75 1 5 9 13 17 21 25 33 48 (f) () 6 4 2 1 5 9 13 17 21 25 29 33 1 3 5 7 9 111315222283 (g) (h) Gambar 3 Histogram lama prawatan masing-masing klompok pnyakit, (a) klompok pnyakit 1, (b) klompok pnyakit 2, ( c ) klompok pnyakit 3, klompok pnyakit 4, klompok pnyakit 5, klompok pnyakit 6, klompok pnyakit 7, dan klompok pnyakit 8

21 Tabl 5 Uji Kruskal-Wallis untuk mngtahui pngaruh klompok pnyakit trhadap lama prawatan Klompok N Mdian Rata-Rata Ranking Z 1 11 6 964.7-1.3 2 524 7 1145.9 5.47 3 446 5 885.7-5.59 4 189 6 1129.7 1.62 5 229 7 127.6 4.99 6 114 6 1136.3 2.9 7 165 6 155..7 8 279 4 751. -8.3 Ovrall 247 124. H = 133.92 DF = 7 P =. Tabl 5 mnunjukkan bahwa nilai H sbsar 133.92, sdangkan = 12.17. Nilai H >, artinya hipotsis ditolak atau minimal ada satu nilai tngah klompok pnyakit lansia brbda dngan yang lainnya. Klompok pnyakit lansia mmpngaruhi lama prawatan nasabah asuransi kshatan. Pndugaan Sbaran Lama Prawatan dngan Bbrapa Sbaran Diskrt Sbaran lama prawatan scara ksluruhan maupun pr klompok pnyakit akan diduga dngan bbrapa sbaran diskrt, antara lain: Sbaran Binomial Ngatif Pluang nasabah asuransi mngajukan klaim kpada prusahaan asuransi sangat kcil, olh karna itu sbaran Poisson scara luas sring digunakan dalam masalah asuransi trutama untuk modl klaim asuransi (Grandll dalam Himawan 28). Sbaran Poisson mrupakan suatu bntuk sbaran yang pluang kjadiannya sangat kcil dan brgantung pada intrval waktu. Ciri lain dari sbaran Poisson adalah nilai ragamnya sama dngan nilai rata-rata. Brdasarkan dskripsi data lama prawatan scara ksluruhan maupun lama prawatan pr klompok pnyakit, nilai ragam lbih bsar dari rata-rata lama prawatan shingga lama prawatan diduga dngan sbaran binomial-ngatif. Tahap awal dari pndugaan sbaran lama prawatan dngan sbaran binomialngatif adalah mnduga paramtr. Pndugaan paramtr pada sbaran binomial-

22 ngatif diprolh dngan cara mmaksimumkan nilai harapan k fungsi kmungkinan dari data lama prawatan yang dilakukan scara itratif (brulang). Nilai pnduga paramtr untuk sbaran binomial ngatif adalah = 13.94 dan = 1.34. Langkah slanjutnya mnghampiri histogram lama prawatan dngan kurva sbaran binomial ngatif, sprti yang trlihat pada Gambar 4. Gambar 4 mnunjukkan bahwa puncak histogram lama prawatan lbih tinggi daripada puncak kurva sbaran binomial-ngatif. Frkunsi lama prawatan dngan frkunsi sbaran binomial ngatif trlihat brbda. Pada lama prawatan 1 6 hari frkunsi lama prawatan jauh lbih bsar dari frkunsi sbaran binomial-ngatif, sdangkan pada lama prawatan 7 2 hari frkunsi lama prawatan lbih kcil dari frkunsi sbaran binomial-ngatif. Brdasarkan histogram, lama prawatan tidak mngikuti sbaran binomial-ngatif. Pndugaan sbaran scara grafik di atas prlu didukung olh uji kssuaian sbaran. Uji kssuaian sbaran binomial-ngatif yang digunakan adalah uji khikuadrat. Nilai khi-kuadrat sbaran binomial-ngatif untuk data lama prawatan ini adalah = 3.64E+17, sdangkan nilai khi-kuadrat tablnya adalah = 8.23. Nilai >, artinya hipotsis ditolak, sbaran lama prawatan tidak mngikuti sbaran binomial-ngatif. 2 15 frkunsi 1 5 1 4 7 1 13 16 19 22 25 lama 28 31 prawatan 34 37 41 44 48 55 59 68 73 77 9 Gambar 4 Histogram lama prawatan yang dihampiri kurva sbaran binomial-ngatif Histogram lama prawatan pr klompok pnyakit yang dihampiri dngan sbaran binomial-ngatif dapat dilihat pada Gambar 5. Brdasarkan Gambar 5, klompok pnyakit 1,3,4 dan klompok pnyakit 8 diduga mngikuti sbaran binomial ngatif. Jarak antara frkunsi lama prawatan dan frkunsi sbaran

23 binomial-ngatif pada kmpat klompok pnyakit ini lbih brdkatan daripada jarak antara frkunsi lama prawatan dan frkunsi sbaran binomial-ngatif pada klompok pnyakit 2,5,6 dan klompok pnyakit 7. Pnduga paramtr dan nilai khi-kuadrat sbaran binomial-ngatif pr klompok pnyakit dapat dilihat pada Tabl 6. Dari Tabl 6 trlihat bahwa dngan nilai α = 5% nilai khi-kuadrat hitung untuk sluruh klompok pnyakit lbih dari nilai khi-kuadrat tabl, artinya hipotsis untuk stiap klompok pnyakit tidak mnybar binomial-ngatif. ditolak lama prawatan Pndugaan sbaran binomial-ngatif dngan histogram dan uji khi-kuadrat mnghasilkan kputusan yang brbda. Brdasarkan histogram lama prawatan klompok pnyakit 1, 3, 4 dan klompok pnyakit 8 mngikuti sbaran binomialngatif, namun brdasarkan uji khi-kuadrat tidak satupun dari k dlapan lama prawatan yang mngikuti sbaran binomial-ngatif. Nilai khi-kuadrat pada klompok pnyakit 1, 3, 4 dan klompok pnyakit 8 lbih kcil dibandingkan nilai khi-kuadrat klompok pnyakit lainnya, ttapi nilai khi-kuadrat untuk klompok pnyakit 1, 3, 4 dan klompok pnyakit 8 lbih bsar dari nilai khi-kuadrat tabl. Jadi lama prawatan k dlapan klompok pnyakit tidak mngikuti sbaran binomial-ngatif. Tabl 6 Pnduga paramtr dan khi-kuadrat sbaran binomial-ngatif untuk lama prawatan masing-masing klompok pnyakit Klompok pnyakit Pnduga Paramtr Drajat bbas Khi-kuadrat 1 9.4 1.39 21 148.23325 2 12.71 1.37 41 8.77E+11 3 8.63 1.38 27 593798429.2 4 11.54 1.39 23 3136.8599 5 13.76 1.37 32 3615812.35 6 13.52 1.35 25 2.261E+14 7 12.91 1.34 31 1.9E+15 8 7.25 1.38 21 4682.2

24 2 15 1 8 6 4 5 2 1 3 5 7 9 11 13 16 18 23 1 6 11 16 21 26 31 37 45 (a) (b) 1 8 6 4 2 1 4 7 1 13 16 19 22 25 28 3 25 2 15 1 5 1 3 5 7 9 111315171923263 3 25 2 15 1 5 25 2 15 1 5 ( c ) (d) 2 15 1 5 1 4 7 1 14 19 23 29 37 75 1 5 9 13 17 21 25 33 48 (f) () 6 4 2 1 5 9 13 17 21 25 29 33 1 3 5 7 9 111315222283 (g) (h) Gambar 5 Kurva sbaran Binomial-ngatif yang mnghampiri histogram lama prawatan (a) klompok pnyakit 1, (b) klompok pnyakit 2, ( c ) klompok pnyakit (3), (d) klompok pnyakit 4, () klompok pnyakit 5, (f) klompok pnyakit 6 (g) klompok pnyakit 7, (h) klompok pnyakit 8

25 Sbaran zro-truncatd Poisson Mnurut Grandll dalam Himawan (28) sbaran Poisson scara luas digunakan dalam masalah asuransi trutama untuk modl klaim asuransi. Klaim pada asuransi kshatan khusus lansia ini brupa lama prawatan di rumah sakit, shingga untuk klaim sbanyak hari tidak tramati. Olh karna itu lama prawatan diduga dngan sbaran sbaran zro-truncatd Poisson. Tahap awal dari pndugaan sbaran lama prawatan dngan sbaran zrotruncatd Poisson adalah mnduga paramtr. Dngan mnggunakan mtod maksimum liklihood diprolh pnduga paramtr sbaran zro-truncatd Poisson yaitu = 1.34. Langkah slanjutnya mnghampiri histogram lama prawatan dngan kurva sbaran zro-truncatd Poisson, sprti yang trlihat pada Gambar 6. Gambar 6 mnunjukkan bahwa, puncak kurva sbaran zro-truncatd Poisson jauh lbih tinggi daripada puncak histogram lama prawatan. Pada lama prawatan 1 6 hari frkunsi lama prawatan jauh lbih bsar dari frkunsi sbaran binomial-ngatif, sdangkan pada lama prawatan 7 18 hari frkunsi lama prawatan lbih kcil dari frkunsi sbaran zro-truncatd Poisson. Jarak antara frkunsi lama prawatan dngan frkunsi sbaran zro-truncatd Poisson bsar. Brdasarkan histogram, lama prawatan tidak mngikuti sbaran zrotruncatd Poisson. 25 2 frkunsi 15 1 5 f 1 4 7 1 13 16 19 22 25 28 31 34 37 41 44 48 55 59 68 73 77 9 Lama Prawatan Gambar 6 Histogram lama prawatan yang dihampiri kurva sbaran zro-truncatd Poisson

26 Pndugaan sbaran scara grafik di atas prlu didukung olh uji kssuaian sbaran. Uji kssuaian sbaran zro-truncatd Poisson yang digunakan adalah uji khi-kuadrat. Nilai khi-kuadrat sbaran zro-truncatd Poisson untuk data lama prawatan ini adalah = 1.23E+48, sdangkan nilai khi-kuadrat tablnya adalah = 81.38. Nilai >, artinya hipotsis ditolak, sbaran lama prawatan tidak mngikuti sbaran zro-truncatd Poisson. Histogram lama prawatan pr klompok pnyakit yang dihampiri dngan sbaran zro-truncatd Poisson dapat dilihat pada Gambar 7. Gambar 7 mnunjukkan bahwa klompok pnyakit 1, 3, 4 dan klompok pnyakit 8 diduga mngikuti sbaran zro-truncatd Poisson. Jarak antara frkunsi lama prawatan dan frkunsi sbaran zro-truncatd Poisson pada kmpat klompok pnyakit ini lbih brdkatan daripada jarak antara frkunsi lama prawatan dan frkunsi sbaran zro-truncatd Poisson pada klompok pnyakit 2,5,6 dan klompok pnyakit 7. Pnduga paramtr dan nilai khi-kuadrat sbaran zro-truncatd Poisson pr klompok pnyakit dapat dilihat pada Tabl 7. Dari Tabl 7 trlihat bahwa dngan α = 5% nilai khi-kuadrat hitung untuk sluruh klompok pnyakit lbih dari nilai khi-kuadrat tabl, artinya hipotsis ditolak lama prawatan untuk masing-masing klompok pnyakit tidak mnybar zro-truncatd Poisson. Tabl 7 Pnduga paramtr dan khi-kuadrat sbaran zro-truncatd Poisson untuk lama prawatan masing-masing klompok pnyakit Klompok pnyakit Pnduga paramtr drajat bbas Khi-kuadrat hitung 1 6.76 22 159167 2 9.3 42 9.84E+3 3 6.23 28 7516.531 4 8.32 24 1674.81 5 1.5 33 2878.756 6 1.3 26 3.95E+36 7 9.66 32 1.98E+39 8 5.22 22 3.69E+11 Pndugaan sbaran zro-truncatd Poisson dngan histogram dan uji khikuadrat mnghasilkan kputusan yang brbda. Brdasarkan histogram lama

27 prawatan klompok pnyakit 1, 3, 4 dan klompok pnyakit 8 mngikuti sbaran zro-truncatd Poisson, namun brdasarkan uji khi-kuadrat tidak satupun dari k dlapan lama prawatan yang mnybar zro-truncatd Poisson. Nilai khikuadrat pada klompok pnyakit 1, 3, 4 dan klompok pnyakit 8 lbih kcil dari nilai khi-kuadrat klompok pnyakit lainnya, namun lbih bsar dari nilai khikuadrat tabl. Jadi lama prawatan k dlapan klompok pnyakit tidak mngikuti sbaran zro-truncatd Poisson. 2 15 1 5 1 3 5 7 9 11 13 16 18 23 1 4 3 2 1 3 2 1 5 (a) 1 4 7 113162263245 (b) ( c ) (d) 1 5 9 13 17 21 25 33 48 () 1 5 9 13 17 21 25 31 6 8 6 4 2 2 1 3 2 1 6 4 2 1 6 11 16 21 26 31 37 45 1 4 7 1131619243 1 4 7 1 14 19 23 29 37 75 (f) 1 4 7 1 13 18 22 29 (g) (h) Gambar 7 Kurva sbaran zro-truncatd Poisson yang mnghampiri histogram lama prawatan (a) klompok pnyakit 1, (b) klompok pnyakit 2,( c ) klompok pnyakit (3), (d) klompok pnyakit 4, () klompok pnyakit 5, (f) klompok pnyakit 6 (g) klompok pnyakit 7, (h) klompok pnyakit 8

28 Sbaran Poisson-Lindly Tahap awal dari pndugaan sbaran lama prawatan dngan sbaran Poisson- Lindly adalah mnduga paramtr. Pndugaan paramtr pada sbaran Poisson- Lindly diprolh dngan cara mmaksimumkan nilai harapan k fungsi kmungkinan dari data lama prawatan yang dilakukan scara itratif (brulang). Nilai pnduga paramtr untuk sbaran Poisson-Lindly adalah. Langkah slanjutnya mnghampiri histogram lama prawatan dngan kurva sbaran Poisson-Lindly, sprti yang trlihat pada Gambar 8. Gambar 8 mnunjukkan bahwa, puncak histogram lama prawatan lbih tinggi daripada puncak sbaran binomial ngatif. Pada lama prawatan 2 8 hari frkunsi lama prawatan jauh lbih bsar dari frkunsi sbaran Poisson-Lindly, sdangkan pada lama prawatan lainnya frkunsi lama prawatan lbih kcil dari frkunsi sbaran Poisson-Lindly. Jarak antara frkunsi lama prawatan dan frkunsi sbaran Poisson-Lindly trlihat bsar. Brdasarkan histogram, lama prawatan tidak mngikuti sbaran Poisson-Lindly. frkunsi 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2 x 3 6 9 12 15 18 21 24 27 3 33 36 4 43 46 5 57 67 7 75 87 lama prawatan Gambar 8 Histogram lama prawatan yang dihampiri kurva sbaran Poisson-Lindly Pndugaan sbaran scara grafik di atas prlu didukung olh uji kssuaian sbaran. Uji kssuaian sbaran Poisson-Lindly yang digunakan adalah uji khikuadrat. Nilai khi-kuadrat sbaran Poisson-Lindly untuk data lama prawatan ini adalah = 3211.54, sdangkan nilai khi-kuadrat tablnya adalah = 81.34. Nilai >, artinya hipotsis ditolak, sbaran lama prawatan tidak mngikuti sbaran Poisson-Lindly.

29 Histogram lama prawatan pr klompok pnyakit yang dihampiri dngan sbaran Poisson-Lindly dapat dilihat pada Gambar 9. Brdasarkan Gambar 9, sbaran lama prawatan pada klompok pnyakit 1, 4, dan klompok pnyakit 8 diduga mngikuti sbaran Poisson-Lindly karna pola histogram lama prawatan ktiga klompok pnyakit trsbut mnyrupai kurva sbaran Poisson-Lindly. Sdangkan, histogram lama prawatan pada klompok pnyakit 2, 3, 5, 6 dan klompok pnyakit 7 tidak mngikuti sbaran Poisson-Lindly. Pnduga paramtr dan nilai khi-kuadrat sbaran Poisson-Lindly pr klompok pnyakit dapat dilihat pada Tabl 8. Dari Tabl 8 trlihat bahwa dngan α = 5% nilai khi-kuadrat hitung untuk sluruh klompok pnyakit lbih dari nilai khi-kuadrat tabl, artinya hipotsis ditolak lama prawatan untuk stiap klompok pnyakit tidak mngikuti sbaran Poisson-Lindly. Pndugaan sbaran dngan histogram dan uji khi-kuadrat mnghasilkan kputusan yang brbda. Brdasarkan histogram lama prawatan klompok pnyakit 1, 4, dan klompok pnyakit 8 mngikuti sbaran Poisson-Lindly, namun brdasarkan uji khi-kuadrat tidak satupun dari k dlapan lama prawatan yang mngikuti Poisson-Lindly. Nilai khi-kuadrat pada klompok pnyakit 1, 4, dan klompok pnyakit 8 lbih kcil dibandingkan nilai khi-kuadrat klompok pnyakit lainnya, ttapi nilai khi-kuadrat untuk klompok pnyakit 1, 4 dan klompok pnyakit 8 lbih bsar dari nilai khi-kuadrat tabl. Jadi lama prawatan k dlapan klompok pnyakit tidak mngikuti sbaran Poisson-Lindly Tabl 8 Pnduga paramtr dan khi-kuadrat sbaran Poisson-Lindly untuk lama prawatan masing-masing klompok pnyakit Klompok pnyakit Pnduga paramtr drajat bbas Khi-kuadrat 1.26 22 31.37 2.2 42 45.37 3.29 28 73.58 4.22 24 47.6 5.18 33 12.24 6.18 26 1486.95 7.19 32 268.31 8.33 22 74.6

3 frkunsi 2 15 1 5 frkunsi 8 6 4 2 1 3 5 7 9 11 13 16 18 23 1 7 13 19 25 31 38 6 (a) (b) 1 3 frkunsi 8 6 4 2 1 4 7 1 13 16 2 26 32 45 ( c ) frkunsi 2 1 1 4 7 1 13 16 19 24 3 (d) frkunsi 3 25 2 15 1 5 1 5 9 13 17 21 25 33 48 () frkunsi 2 15 1 5 1 4 7 1 14 19 23 29 37 75 (f) frkunsi 25 2 15 1 5 1 4 7 1 13 16 19 22 25 29 46 77 frkunsi 6 5 4 3 2 1 1 4 7 1 13 18 22 29 (g) (h) Gambar 9 Kurva sbaran Poisson-Lindly yang mnghampiri histogram lama prawatan (a) klompok pnyakit 1, (b) klompok pnyakit 2, ( c ) klompok pnyakit (3), (d) klompok pnyakit 4, () klompok pnyakit 5, (f) klompok pnyakit 6 (g) klompok pnyakit 7, (h) klompok pnyakit 8