Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF ULAT BULU DAN BIPARTITE LENGKAP I W. Sudarsana 1, Fitria and S. Musdalifah 3 1,,3 Combinatorial and Applid Mathmatics Rsarch Group, Tadulako Univrsity Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonsia 1 sudarsanaiwayan@yahoo.co.id fitria_matmatika@yahoo.co.id 3 Slvymusdalifah@yahoo.com ABSTRACT An (a, d) dg anti-magic total lablling, (a, d)-eamt, on graph G(, E) with p vrtics and q dgs is bijktion λ G E G 1,,3,, p + q, which has a st of dg wights W b λ x + λ xy + λ y xy E G a, a + d,, a + q 1 d with a > 0 and d 0. A (a, d) supr dg anti-magic total lablling λ, a, d -SEAMT, if th vrtx st of G obtain th smallst labls λ {1,,3,, p}. An (a, d)-eamt (SEAMT) lablling λ is calld EMT (SEMT) lablling if d 0 and a. Furthrmor, k is calld th magic constant. A graph G is said EMT, SEMT, a, d -EAMT and a, d -SEAMT if thr is EMT, SEMT, a, d -EAMT and a, d - SEAMT lablling on graph G, rspctivly. In this papr, w showd that th union of catrpillars and complt bipartit graph ar SEAMT and SEMT, spcialy for K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) has (11n,0)-SEAMT and (5n + 3,)-SEAMT with n 6; graph K 3,n S,n has (6n + 7,0)- SEAMT and ( + 9,)-SEAMT for n 3; and graph K n,n P (f 1, f,, f ) has (3n + n + 1,0)-SEAMT and (n + + 3,)-SEAMT with f 1 f 0; f t f 0; f 3 f 1; f 1 n 4; f 3 n ; f l+3 n 1 whr t,3,, n and l 1,,, n 4 for n 5. Thus, graph K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) is SEMT with 11n for n 6; graph K 3,n S,n also SEMT with 6n + 7 for n 3; as wll graph K n,n P (f 1, f,, f ) is SEMT with 3n + n + 1 for n 5. Kywords : Catrpillars, Complt Bipartit, EMT, SEMT,(a, d)-seamt,(a, d)-seamt. ABSTRAK Plablan total (a, d) sisi anti ajaib, notasi (a, d)-tsaa, pada graf G(, E) dngan p titik dan q sisi adalah pmtaan bijktif λ G E G 1,,3,, p + q, yang mmpunyai himpunan bobot sisi W b λ x + λ xy + λ y xy E G {a, a + d,, a + q 1 d} dngan bobot sisi awal a > 0 dan bda d 0. Plablan total (a, d) sisi anti ajaib supr dari λ, notasi (a, d)- TSAAS yaitu jika mmpunyai sifat bahwa stiap titik mmprolh labl trkcil λ {1,,3,, p}. Plablan (a, d)-tsaa (TSAAS) dari λ disbut plablan TSA (TSAS) jika d 0 dan a. Slanjutnya k disbut konstanta ajaib. Sbuah graf G dikatakan TSA, TSAS, (a, d)-tsaa dan (a, d)-tsaas jika trdapat plablan TSA, TSAS, (a, d)-tsaa dan (a, d)-tsaas pada graf trsbut, brturut-turut. Pada pnlitian ini tlah brhasil ditunjukkan bahwa gabungan graf ulat bulu dan bipartit lngkap adalah TSAAS dan TSAS khususnya graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) Corrsponding author : sudarsanaiawayan@yahoo.co.id 65
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 mmpunyai (11n,0)-TSAAS dan (5n + 3,)-TSAAS untuk n 6; graf K 3,n S,n mmpunyai (6n + 7,0)-TSAAS dan ( + 9,)-TSAAS untuk n 3; srta graf K n,n P (f 1, f,, f ) mmpunyai (3n + n + 1,0)-TSAAS dan (n + + 3,)-TSAAS dngan f 1 f 0; f t f 0; f 3 f 1; f 1 n 4; f 3 n ; f l+3 n 1 dimana t,3,, n dan l 1,,, n 4 untuk n 5. Dngan dmikian, Graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) adalah TSAS dngan 11n untuk n 6; graf K 3,n S,n juga TSAS dngan 6n + 7 untuk n 3; srta K n,n P (f 1, f,, f ) adalah TSAS dngan 3n + n + 1 untuk n 5. Kata Kunci : Ulat Bulu, Bipartit lngkap, TSA, TSAS, (a, d)-tsaa, (a, d)-tsaas I. PENDAHULUAN Graf mrupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pngaitan titik-titik pada graf mmbntuk sisi dan dapat dirprsntasikan pada gambar shingga mmbntuk pola graf trtntu. Pola-pola yang trbntuk didfinisikan dan diklompokkan mnjadi klas-klas graf. Bbrapa klas graf mnurut banyaknya sisi yang trkait trhadap titik antara lain graf rgulr, yang drajat stiap titiknya adalah sama dan graf irrgulr, yang drajat stiap titiknya ada yang tidak sama. Plablan mrupakan pmtaan injktif yang mmtakan unsur himpunan titik dan atau unsur himpunan sisi k bilangan asli yang disbut labl. Plablan titik adalah plablan dngan domain himpunan titik, plablan sisi adalah plablan dngan domain himpunan sisi, dan plablan total adalah plablan dngan domain gabungan himpunan titik dan himpunan sisi. Plablan titik dan sisi dari graf bisa dilakukan dngan banyak cara. Salah satu cara yang bisa digunakan adalah mlablinya dngan bilangan. Trdapat banyak jnis plablan graf yang tlah dikmbangkan, diantaranya adalah plablan gracful, plablan harmoni, plablan total tak braturan, plablan ajaib, dan plablan anti ajaib. Dalam pngmbangan plablan ajaib, diknal pula plablan total titik ajaib, plablan total a, d -titik anti ajaib supr, plablan total sisi ajaib, dan plablan total a, d -sisi-ajaib supr. Brdasarkan Gallian 01 [1] gabungan graf ulat bulu dan bipartit lngkap masih mnjadi masalah trbuka. Olh karna itu prmasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana mnntukan plablan total sisi ajaib supr pada gabungan graf ulat bulu dan bipartit lngkap Prmasalahan ini dibatasi pada plablan total sisi ajaib supr khususnya pada graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) untuk 6, K 3,n S,n untuk n 3 dan K n,n P (f 1, f,, f ) dngan f 1 f 0; f t f 0; f 3 f 1; f 1 n 4; f 3 n ; f l+3 n 1 dimana t,3,, n dan l 1,,, n 4 untuk n 5. II. HASIL TERDAHULU Sblum disajikan hasil pnlitian ini, trlbih dahulu dibrikan torma-torma pnting yang tlah ditmukan sblumnya yang akan digunakan untuk mmbuktikan hasil baru Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 66
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 dalam pnlitian ini. Torma-torma trsbut adalah: Torma.1. Misalkan graf G adalah TSA dngan p titik dan q sisi. Jika λ adalah plablan TSA dari G dngan konstanta ajaib k dan plablan λ didfinisikan sbagai brikut: λ (v i ) M λ(v i ), v i (G), dan λ (x) M λ (x), x E(G) dimana M p + q + 1. maka λ adalah plablan TSA dngan konstanta ajaib k 3M k. Plablan λ pada torma di atas dikatakan plablan dual dari λ pada G, jika k k maka λ disbut slfdual dari λ (Wallis t al. [4]). Torma.. Misalkan graf G adalah TSAS dngan p titik dan q sisi. Jika λ adalah plablan TSAS dari G dngan konstanta ajaib k dan plablan λ didfinisikan sbagai brikut: λ v i p + 1 λ v i, v i G, dan λ uv p + q + 1 λ uv, uv E G maka λ adalah plablan TSAS dngan konstanta ajaib k 4p + q + 3 k. Plablan λ pada Torma.. diatas dikatakan plablan dual supr dari λ pada G jika k k maka λ disbut slfdual dari λ (Sudarsana t al. [3]). Torma.3. Misalkan G adalah graf yang mmuat p titik dan q sisi adalah (a, d)-tsaas. Jika λ adalah plablan (a, d)-tsaas dari G maka plablan λ di dfinisikan sbagai brikut : λ v i p + 1 λ v i, v i G, dan λ uv p + q + 1 λ uv, uv E G maka λ mmpunyai plablan (a, d)-tsaas dari graf G dngan a 4p + q + 3 a q 1 d. Plablan λ pada torma di atas dikatakan plablan dual supr dari λ, jika a a maka λ disbut slfdual dari λ (Sudarsana t al. []). III. HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil dan pmbahasan brikut ini akan mmbahas mngnai plablan TSAS dan TSAAS untuk graf ulat bulu dan bipartit lngkap. Brikut adalah gambar dan notasi scara umum untuk graf K n,m P (f 1, f,, f ) : 1,1 n+1,1 n+,1,1 3,1 1,1,1 3,1 4,1 5,1 6,1 +, +1,, +1, 4,1 n+1,1 n+,1 n+3,1 n+4,1 n+5,1 n+m,1 5,1 n+3,1 n+4,1 n+5,1 n+6,1,1 +1,1 +,1 +3,1 +4,1 +5,1 +6,1 3n,1 3n-1, 3n, 3n+1,1 3n+,1 3n+3,1 3n+4,1 3n+5,1 3n+6,1 4n,1 6,1 4n+1,1 4n+,1 4n+3,1 4n+4,1 4n+5,1 4n+6,1 5n,1 5n+,1 5n+1,1 n,1 5n+4,1 5n+3,1 5n+5,1 5n+6,1, 4, 6, 8, 10, 1, 8, 9, 10, 11, 1, 13, 1,, 3, 4, 5, 6, 7,, 1, 3, 5, 7, 9, 11, -1, 3n, 3n+1, 3n+1, 3n+, 4n+, 4n+1, 5n, 4n, 4n-1, 4n, 4n+1, 5n-1, 5n, 5n+1, 5n+1, 5n+, 6n, 6n+, 6n+1, 7n, 6n, 6n-1, 6n+1, 7n-1, 7n, 7n+1, 7n+1,7n+, 8n, 8n+1, 8n+, 10n+, 9n,10n+1, 11n, 8n, 8n-1, 8n+1, 9n-1, 9n+1, 9n+, 10n, 1+, 1+1, 11n+1, 1, 11n+, n,1 nxm,1 13n, 14n+1, 14n+, 15n, 13n+1, 13n+, 14n,15n+1, 15n+, 16n, Gambar 1 : Pnotasian titik dan sisi graf K n,m P (f 1, f,, f ) 9n, 9n+1, Brdasarkan Gambar 1 di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf K n,m P (f 1, f,, f ) sbagai brikut. K n,m P (f 1, f,, f ) v i,j j 1, 1 i n + m v i,j j, 1 i 6n E K n,m P (f 1, f,, f ) i,j j 1, 1 i n i,j j, 1 i 6n 1 Pada Gambar 1 di atas graf K n,m P (f 1, f,, f ) blum mnunjukan sifat TSAS maupun TSAAS, adapun graf yang mnunjukan sifat TSAS maupun TSAAS untuk graf ulat bulu dan bipartit lngkap dibagi kdalam sub-sub bahasan brikut : 10n, 10n-1, 10n+1, 11n-1, 11n, 11n+1, 1, 1-1, 1+1, 13n-1, 13n, 13n+1, 14n, 14n-1, 14n+1, 15n-1, 15n, 15n+1, 16n-1, Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 67
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 3.1. Graf K 3,n P (0, 1, 0,, 0, n 5, 0, 0, 1, 0) Pada bagian ini, akan dibahas plablan TSAS pada graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) untuk n 6. Notasi titik dan sisi pada graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) untuk n 6 disajikan pada Gambar brikut. 1,1,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 n,1 1,1,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 n,1 n+1,1 n+,1 n+3,1 n+4,1 n+5,1 n+6,1 n+7,1,1 +1,1 +,1 +3,1+4,1+5,1+6,1+7,13n,1 n+1,1 n+,1 n+3,1 Plablan TSAS untuk graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) dngan n 6 disajikan dalam torma brikut. Torma 3.1. Graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) adalah TSAS dngan 11n, untuk n 6. Pandang notasi titik dan sisi graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) dalam Prsamaan (1) dan Gambar Brikan labl pada titik dan sisinya dngan cara brikut. +1, +, +3, 3n - 4, 3n - 3,, +1, +, 3n -5, 3n - 4, i, 1 i n + 1-5, -4, -3, -, -1, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, -4, -3, -, -1,,1 λ v i,1 + 1, i n + Gambar : Pnotasian titik dan sisi graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) Brdasarkan Gambar di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) sbagai brikut. K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) v i,j j 1, 1 i n + 3 v i,j j, 1 i 3n 3 E K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) i,j j 1, 1 i 3n i,j j, 1 i 3n 4 v i,1 v n+1,1, 1 i n i,1 v i n,1 v n+,1, n + 1 i v i,1 v n+3,1, + 1 i 3n v i, v i+1,, 1 i 1 i, v, v i+1,, i v 4, v i+1,, + 1 i 3n 5 v 1, v i+1,, i 3n 4.(1) λ v i, 3n + 1, i n + 3 3n, i 1 6n + i + 1, i ; i gnap + i 1 + 1, 3 i 1; i ganjil + 3, i 3n 1, i + 1 i +, + i 3n 4 +, i 3n 3 λ i,1 10n i 3, λ i, 5n 4, i 1 1 i 3n 7n i 4, i 7n 5, i 1 5n 3, i 7n i 4, + 1 i 3n 5 7n 4, i 3n 4 Dngan labl trsbut diprolh konstanta ajaib sbagai brikut : 1. Untuk graf prtama Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 68
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 λ v i,1 + λ i,1 + λ v n+1,1, 1 i n λ v i n,1 + λ i,1 + λ v n+,1, n + 1 i λ v i,1 + λ i,1 + λ v n+3,1, + 1 i 3n i + 10n i 3 + n + 1 11n i n + 10n i 3 + + 1 11n i + 10n i 3 + 3n + 1 11n 3.. Graf K 3,n S,n Pada bagian ini, akan dibahas plablan TSAS pada graf K 3,n S,n untuk n 3.. Untuk graf kdua λ v i, + λ i, + λ v 1+i,, 1 i 1 Notasi titik dan sisi pada graf K 3,n S,n untuk n 3 disajikan pada Gambar 3 brikut. λ v, + λ i, + λ v i+1,, i λ v 4, + λ i, + λ v i+1,, + 1 i 3n 5 1,1,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 n,1 1,1,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 n,1 n+1,1 n+,1 n+3,1 n+4,1 n+5,1 n+6,1 n+7,1,1 λ v 1 + λ i, + λ v i+1,, i 3n 4 +1,1 +,1 +3,1+4,1+5,1+6,1 +7,13n,1 3n + 5n 4 + 3n + 11n 6n + i + i + 1 + 7n i 4 + + 1 11n + i 1 6n + i + 1 + 1 + 7n i 4 + + 1 11n + 7n 5 + + 3 11n 3n + + 5n 3 + 3n 1 11n n+1,1 n+,1 n+3,1 4, 5, 3, 4, 5, 1,, 3, 6, 1,, 6, n-1, 4n 1 + 7n i 4 + i + 3 11n n, 7, + 7n 4 + + 11n Dngan dmikian, graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) adalah TSAS dngan 11n untuk n 6. Mnggunakan Torma.1., Torma. dan Torma.3., diprolh akibat-akibat brikut : Akibat 3.1.1. Graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) adalah TSA dngan 19n 7, untuk n 6. Akibat 3.1.. Graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) adalah TSAS dngan 11n + 1, untuk n 6. Akibat 3.1.3 Untuk n 6, Graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) mmpunyai plablan (5n + 1,) TSAAS Gambar 3 : Pnotasian titik dan sisi graf K 3,n S,n Brdasarkan Gambar 3 di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf K 3,n S,n sbagai brikut. K 3,n S,n E K 3,n S,n i,1 v i,1 v n+1,1, 1 i n v i,j j 1, 1 i n + 3 v i,j j, 1 i n i,j j 1, 1 i 3n i,j j, 1 i n 1 v i n,1 v n+,1, n + 1 i v i,1 v n+3,1, + 1 i 3n i, v i,v i+1,, 1 i v 3, v i+1,, 3 i n 1.() Plablan TSAS untuk graf K 3,n S,n dngan n 3 disajikan dalam torma brikut. Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 69
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 Torma 3.. Graf K 3,n S,n adalah TSAS dngan 6n + 7, untuk n 3.Graf ini mmpunyai plablan slfdual 1 + 5n + + n + 4 6n + 7 n + 4 + 3n + 1 + + 6n + 7 + + 3n + 3 i + n + + i 6n + 7 Pandang notasi titik dan sisi graf K 3,n S,n dalam Prsamaan () dan Gambar 3 Brikan labl pada titik dan sisinya dngan cara : i +,1 i n Dngan dmikian, graf K 3,n S,n adalah TSAS dngan 6n + 7 untuk n 3. Slanjutnya dngan mnggunakan Torma., dan mngambil labl titik dan sisi yang baru brupa : λ v i,1 λ v i, λ i,1 λ i,, i n + 1 n + 3, i n + + 3, i n + 3 1, i 1 n + 4, i +, i 3 n + 1 + i, 4 i n 6n + 3 i, 1 i n 6n + i, n + 1 i 3n 5n +, i 1 3n + 1, i 3n + 3 i, 3 i n 1 λ v i,1 + 3 + 1 λ v i,1 λ v i, + 3 + 1 λ v i, λ i,1 + 3 + 4n 1 + 1 λ i,1 λ i, + 3 + 4n 1 + 1 λ i, Dngan plablan trsbut diprolh : k 4( + 3) + 4n 1 + 3 (6n + 7) 8n + 1 + 4n 1 + 3 (6n + 7) 8n + 1 + 4n 1 + 3 6n 7 6n + 7. Dngan dmikian, graf K 3,n S,n mmpunyai plablan slf dual dngan 6n + 7, untuk n 3. Mnggunakan Torma.1 dan Torma.3. diprolh akibat-akibat brikut : Dngan labl trsbut diprolh konstanta ajaib sbagai brikut : 1. Untuk graf prtama λ v i,1 + λ i,1 + λ v n+1,1, 1 i n λ v i n,1 + λ i,1 + λ v n +,1, n + 1 i, 1 t n λ v i,1 + λ i,1 + λ v n+3,1, + 1 i 3n, 1 t n i + + 6n + 3 i + 6n + 7 i n + + 6n + i + n + 3 6n + 7 i + + 6n + i + + 3 6n + 7. Untuk graf kdua Akibat 3..1. Graf K 3,n S,n adalah TSA dngan 1 +,untuk n 3. Akibat 3..3. Untuk n 3, Graf K 3,n S,n mmpunyai plablan ( + 19,) - TSAAS. 3.3. Graf K n,n P (f 1, f,, f ) Pada bagian ini, akan dibahas plablan TSAS pada graf K n,n P (f 1, f,, f ) untuk n 5. Notasi titik dan sisi pada graf K n,n P (f 1, f,, f ) untuk n 5 disajikan Gambar 4 brikut. pada λ v i, + λ i, + λ v 1+i,, 1 i λ v 3, + λ i, + λ v i+1,, 3 i n 1 Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 70
3n+,3n+3, Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 1,1 n+1,1 n+,1,1 3,1 1,1,1 3,1 4,1 5,1 6,1 n+1,1 n+,1 n+3,1 n+4,1 n+5,1 n+6,1 4,1 5,1 n+3,1 n+4,1 n+5,1 n+6,1,1 +1,1 +,1 +3,1 +4,1 +5,1 +6,1 3n,1 +1, 3n+1,1 3n+,1 3n+3,1 3n+4,1 3n+5,1 3n+6,1 4n,1 +3, +, 3n,, 6, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 1,, 3, 4, 5, 6,1 4n+1,1 4n+,1 4n+3,1 4n+4,1 4n+5,1 4n+6,1 5n,1 +4,+5, +1, +3, +, +4, +5, +6, 3n - 1, 3n+1, 3n+, 3n, 3n+1, 3n+3, 5n+1,1 4n -, 3n+4, 3n+4, 3n+5, n,1 5n+,15n+3,1 5n+4,15n+5,15n+6,1 6n,1-6, -5, -5, 4n - 1, n,1 6n+1,16n+,16n+3,1 6n+4,16n+5,1 6n+6,1-4, -3, -, -4, -3, -, v, -1, Gambar 4 : Pnotasian titik dan sisi graf K n,n P (f 1, f,, f ) Brdasarkan Gambar 4 di atas, dapat dinotasikan graf K n,n P (f 1, f,, f ) dngan himpunan titik dan sisinya sbagai brikut E i,1 i, K n,n P f 1, f,, f v i,j j 1, 1 i v i,j j, 1 i n n K n,n P f 1, f,, f i,j j 1, 1 i n i,j j, 1 i n n 1 v i,1 v n +1,1, 1 i n -1, v i t 1 n,1 v n +t,1, t n, n + 1 i n v i, v i+1,, 1 i 1 v 3, v i+1,, i v l+3, v i+1,, 1 l n 4, + 1 i n 3n + 4 v 3, v i+1,, n 3n + 5 i n + v, v i+1,, i n + 3, Torma 3.3. Jika f i dngan i 1,,, adalah bilangan asli dngan f 1 f 0; f t f 0; f 3 f 1; f 1 n 4; f 3 n ; f l+3 n 1 dimana t,3,, n dan l 1,,, n 4 untuk n 5, maka graf K n,n P f 1, f,, f adalah TSAS dngan 3n + n + 1. Pandang P f 1, f,, f notasi titik dan sisi graf K n,n dalam Prsamaan (3) dan Gambar 4 Brikan labl pada titik dan sisinya dngan cara : λ v i,1 λ v i, i, 1 i n + 1 i n n + 1, n + i + i + 3, 1 i 3; i ganjil + i + 1, 1 i ; i gnap n n +, i 1 n n + 4, i n +, i + 1 n l + 3 n + i + l 1, 1 l n 4, 1 + i n 3n + 5 n + i 3, n 3n + 6 i n + 3 n n + 3, i n + 4 n + i, n + 5 i n n λ i,1 3n i, 1 i n λ i, i, 1 i 3 1, i v 1, v i+1,, n + 4 i n n 1..(3) n + 3n 5, i 1 n + 3n 4, i n + l + 4 n i l, 1 l n 4, + 1 i n 3n + 4 Plablan TSAS untuk graf K n,n P (f 1, f,, f ) untuk n 5 disajikan dalam torma brikut. n i + 3, n 3n + 5 i n +, i n + 3 + n i, n + 4 i n n 1 Dngan labl trsbut diprolh konstanta ajaib sbagai brikut : Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 71
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 1. Untuk graf prtama λ v i,1 + λ i,1 + λ v n+1,1, 1 i n λ v i t 1 n,1 + λ i,1 + λ v n+t,1, t n, n + 1 i n i + 3n i + n + 1 3n + n + 1 i t 1 n + 3n i + tn + 1 3n + n + 1. Untuk graf kdua λ v i, + λ i, + λ v 1+i,, 1 i 1 λ v 3, + λ i, + λ v i+1,, i λ v l+3, + λ i, + λ v i+1,, 1 l n 4, + 1 i n 3n + 4 λ v 3 + λ i, + λ v i+1,, n 3n + 5 i n + λ v + λ i, + λ v i+1,, i n + 3, λ v 1 + λ i, + λ v i+1,, n + 4 i n n 1 + i + 3 + i + + i + i + 1 + 1 3n + n + 1 + 1 + i + + i + + 1 3n + n + 1 + 1 + n n + 3n + n + 1 n n + + n + 3n 5 + n n + 4 3n + n + 1 n + 3 + n + 3n 4 + n + 3n + n + 1 n + l + 3 + n + l + 4 n i l + n l + 3 n + i + l 3n + n + 1 n + n + n i + 3 + n + i 3n + n + 1 + + n n + 3 3n + n + 1 n n + + + n i + n + i + 1 3n + n + 1 Mnggunakan Torma.1. Torma.. dan Torma.3. diprolh akibat-akibat brikut : Akibat 3.3.1. Jika f i dngan i 1,,, adalah bilangan asli dngan f 1 f 0; f t f 0; f 3 f 1; f 1 n 4; f 3 n ; f l+3 n 1 dimana t,3,, n dan 1,,, n 4 n 5, maka graf K n,n P f 1, f,, f adalah TSA dngan 6n n 1. Akibat 3.3.. Jika f i dngan i 1,,, adalah bilangan asli dngan f 1 f 0; f t f 0; f 3 f 1; f 1 n 4; f 3 n ; f l+3 n 1 dimana t,3,, n dan 1,,, n 4 n 5, maka graf K n,n P f 1, f,, f adalah TSAS dngan 3n + + 1. Akibat 3.3.3. Jika f i dngan i 1,,, adalah bilangan asli dngan f 1 f 0; f t f 0; f 3 f 1; f 1 n 4; f 3 n ; f l+3 n 1 dimana t,3,, n dan l 1,,, n 4 n 5, maka graf K n,n P f 1, f,, f mmpunyai plablan (n + 3n + 1,) - TSAAS. Hasil lain yang dapat diprolh pada pnlitian ini adalah graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) untuk n 6, K 3,n S,n untuk n 3 dan K n,n P f 1, f,, f untuk n 5 masing-masing mmpunyai plablan (a, d)-tsaas untuk d dan a 5n + 3, + 9 dan n + + 3 yang trsaji dalam torma-torma brikut : Torma 4.1. Graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) mmpunyai plablan (5n + 3,) TSAAS untuk n 6. Brdasarkan notasi titik dan sisi graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) dalam Prsamaan 1 dan Gambar di dapatkan labl titik yang sama untuk Torma 3.1 shingga diprolh labl sisi sbagai brikut : λ i,1 4n + i, λ i, 9n + 1, i 1 1 i 3n 7n + i + 1, i 7n +, i 1 9n, i 9n + i + 1, + 1 i 3n 5 7n + 1, i 3n 4 Dngan labl trsbut diprolh himpunan bobot sisi W sbagai brikut : Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 7
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 W 1 5n + i + 1 1 i 3n {5n + 3,5n + 5,,11n + 1}. W 11n + 3 i 3n 4 11n + 5 i 1 11n+i+3 i 15n+1i 15n+ 3i1 11n+i+3 +1 i 3n 5 W 1 + i + 7 1 i n + i + 9 n + 1 i 3n + 9, + 11,, 4n + 7, 4n + 11, 4n + 13,, 8n + 9. W 4n + 9 i 1 8n + 11 i 8n + i + 7 3 i n 1 11n + 3, 11n + 5, 11n + 7, 11n + 9,, 15n 1, 15n+1, 15n+3, 15n+5, 15n+7,, 17n 7. W W 1 W 5n + 3, 5n + 5, 5n + 7,, 17n 7. Dngan dmikian, graf K 3,n P (0,1,0,0, n 5,0,0,1,0) mmpunyai plablan (a, d)-tsaas dngan a 5n + 3 dan d untuk n 6. Torma 4.. Graf K 3,n S,n mmpunyai plablan ( + 9,) - TSAAS Untuk n 3. Brdasarkan notasi titik dan sisi graf K 3,n S,n dalam Prsamaan dan Gambar 3 di dapatkan labl titik yang sama untuk Torma 3. shingga diprolh labl sisi sbagai brikut : 4n + 9, 8n + 11, 8n + 13, 8n + 15,, 10n + 5. W W 1 W + 9, + 11, + 13, 10n+5. Dngan dmikian, graf K 3,n S,n mmpunyai plablan total (a, d)- TSAAS dngan a + 9 dan d. Torma 4.3. Jika f i dngan i 1,,, adalah bilangan asli dngan f 1 f 0; f t f 0; f 3 f 1; f 1 n 4; f 3 n ; f l+3 n 1 dimana t,3,, n dan 1,,, n 4 n 5, maka graf K n,n P f 1, f,, f mmpunyai plablan (n + + 3,) - TSAAS. Brdasarkan notasi titik dan sisi graf K n,n P (f 1, f,, f ) dalam Prsamaan 3 dan Gambar 4 di dapatkan labl titik yang sama untuk Torma 3.3 shingga diprolh labl sisi sbagai λ i,1 λ i, + 3 + i, 1 i n + 4 + i, n + 1 i 3n 3n + 4, i 1 5n + 5, i 5n + 3 + i, 3 i n 1 brikut : λ i,1 n + n + i, 1 i n Dngan labl trsbut diprolh himpunan bobot sisi W sbagai brikut : Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 73
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 λ i, + n + + i, 1 i 3 + n + 1, i 3n + 5, i 1 3n + 4, i 3n l + 3 n + l + + i, 1 l n 4, + 1 i n 3n + 4 + 3 + i, j, n 3n + 5 i n + DAFTAR PUSTAKA Gallian, J. A., 01, A Dynamic Survy of Graph Lablling, Elctronic Journal of Combinatorics, ol. 18, (http://www.mis.ams.org/journals/ejc/surv y/ds6.pdf), diakss 14 Novmbr 01. + n +, j, i n + 3 + + i, j, n + 4 i n n 1 Dngan labl trsbut diprolh himpunan bobot sisi W sbagai brikut : W 1 n + + i + 1 1 i n n + + 3, n + + 5,, 3n + + 1}. W 3n + + 3 i 3 { 3n + + 5in +3} {3n + + i + 5 1 i 3} { 5n + 4l 4ln 6n + i + 5 1 l n I W. Sudarsana, E. T. Baskoro, D. Izmaimusa and H. Assiyatun, On supr (a, d)-dg antimagic total labling of disconnctd graphs, J. Combin. Math. Combin.Comput., 55 (005), 149-158. Sudarsana, I W., Baskoro, E. T.,Ismaimuza, D., and Uttunggadwa, S., 009, An Expansion Tchniqu on Supr Edg-Magic Total Graphs, ARS Combinatoria, ol. 91 : 31-41. Wallis, W. D., Baskoro, E. T., Millr, M., and Slamin, 000, Edg-Magic Total Lablings, Australasian J. Combin.,ol. : 177-190. 4, + 1 i n 3n + 4} { 5n 4n + 9i} 5n 4n+11i 1} 3n+i+5 n +4 i n n 1} 3n+4n+i 5n 3n+5 i n +} 3n + + 3, 3n + + 5, 3n + + 7,, 3n+6n 1, 3n+6n+1,, 5n 4n+7, 5n 4n+9, 5n 4n+11, 5n 4n+13,, 5n +3, 5n +5,, 5n 1}. W W 1 W n + + 3, n + + 5, n + +7,, 5n 1. Dngan dmikian, graf K n,n P f 1, f,, f mmpunyai plablan (a, d) - TSAAS dngan a n + + 3 dan d. Plablan Total Sisi Ajaib Supr (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartit Lngkap (Sudarsana t.al) 74