MATERI : GESERAN (TRANSLASI) KELOMPOK 6 (VI.E) Disusun Oleh: 1. ARI SUKA LESMANA 2. YULAIMA SUPRIHATIN 3. HERVI MARDIANA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA STKIP PGRI LUBUKLINGGAU
GESERAN (TRANSLASI) Geseran (translasi) adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama. Ketentuan dan sifat-sifat Teorema 1: Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka AA = BB dengan A = M h M g (A) dan B = M h M g (B) Bukti: Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya t sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu x. A (x,y) n A (x,y) A N B 0 B g h Andaikan A = (a 1 a 2 ) dan B=(b 1, b 2 ). Kalau N tengah-tengah ruas garis A B maka harus di buktikan S N (A)=B. Andaikan persamaan h adalah x = k (k 0). Apabila P = (x,y) dan P (M h (P)) maka titik Q (k,y) dengan Q sebagai titik tengah PP memotong h di sebuah PP. Jadi P = M h (P) = (2k x,y) sedangkan M g (P) = (-x,y). Jadi M h M g (P) = M h M g (P) = M h {(-x,y)}= (2k-x,y) Jadi pula A = M h M g (A) = (2x + b 1.a 2 ) B = M h M g (B) = (2x + b 1. b 2 )
Oleh karena N titik tengah A B maka: N = ( 2k + a ) 1 + b1 a2 + 2 a2 b 2 2k + a1 + b1 a2 + b2 Sedangkan S N (A)= 2 a1, 2 a2 2 2 S N (A)=(2k+b 1.b 2 )=B Dengan demikian,maka AA = BB Teorema 2: Apabila AB = CD maka G AB = G CD Bukti: Jika X sebarang,maka harus dibuktikan G AB (X)=G CD (X) Andaikan G AB (X)=X 1 dan G CD (X)=X 2 Jadi XX 1 = AB dan XX 2 = CD G AB =G CD. Karena AB = CD maka XX 1 = XX 2 berarti X 1 =X 2 sehingga Teorema 3: Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada C dan C g dan D h, apabila AB = 2 CD maka G AB = M h M g Bukti: Andaikan P sebuah titik sebarang, jika P=G AB (P) dan P =M h M g (P) maka harus dibuktikan bahwa P=P
P h C C = M A M g (C) B C h P g A Menurut ketentuan geseran, PP = AB Oleh karena AB = 2CD, maka PP = 2CD berhubungan C =M h M g (C), C g. Maka C =M h (C). Jadi D adalah titik tengah maka CC sehingga PP =2 CD = P sebarang, maka G AB =M h M g. CC = 2CD. Oleh karena CC = PP (teorema.1). PP ini berarti bahwa P=P Jadi G AB (P)=M h M g (P) karena Teorema 4 : Jika G AB sebuah geseran maka (G AB )=G BA Bukti: Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grup bagian dari grup transformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan (G AB ) 1 Dari uraian diatas kita peroleh berturut-turut yaitu: G AB =M h M g =M g M h
Sedangkan G AB =M h M g =M g M h Sehingga Jadi (G AB ) 1 =(M g M h ) 1 1 M h M 1 g =M g M h =G BA (G AB )=G BA Hasil Kali Geseran Akan di perlihatkan bahwa setiap geseran dapat di uraikan sebagai hasil kali dua setengah putaran. Teorema 5 : Jika G AB Sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB = 2 CD maka G AB = S DSC Bukti : Andaikan G = CD ; K g di C, n g di D. B D A C n k
Maka CD ruas garis berarah dari k ke n. Oleh karena AB = 2 CD maka = sedangkan = dan =. Jadi : = ( )( )= ( ) atau : = ( I =. Dengan demikian maka = Teorema 6 : Komposisi suatu geseran dan Suatu setengah putaran adalah Suatu setengah putaran. Bukti : Andaikan suatu geseran dan C sebuah titik sebarang. Andaikan E titik yang tunggal sehingga CE = AB. Andaikan D titik tengah CE maka CE = 2 CD.menurut teorema 5 =.Jadi, = ( ) = ( ) = I = maka = Akibat : andaikan,,dan masing-masing setengah putaran, maka = dengan D sebuah titik sehingga AD = CD Bukti : Kita peroleh berturut turut =. jadi, = A B D C
Andaikan = maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX.jadi, = sehingga =. Perhatikan dua geseran dan. Maka (A) = B dan (B) = C. sehingga dapat kita tulis bahwa (A) = C. apabila E titik sebarang, maka (E) = dengan = sedangkan G AB (E )=E sehingga E E =. B E Q A P R C E E Maka = E dengan = sehingga G BC (E) = E = (E). Jadi =. Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut dengan menggunakan teorema.6: Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 = dan titik R sehingga 2 = maka = dan = Sehingga = ( ) ( ) = Oleh karena 2 = maka = Jadi = Dengan demikian terbukti teorema berikut:
Teorema.7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi. Catatan : Apabila = maka = = I. Disini I adalah transformasi identitas. Jadi : kalau = maka kalau I dianggap sebagai translasi. Teorema diatas tetap berlaku. Teorema.8 : Jika sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0 (0,0) dan A (a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik p (x,y) sebagai T ( P) = (x+a,y+b) maka T = Bukti : Untuk P = ( x,y),t(p)=(x+a,y+b). andaikan P = (p) maka = sehingga p (x+a-0,y+b-0)=(x+a,y+b).karena T(P) = (x+a,y+b) untuk setiap P = (x,y) maka T (P)= P = G OA (P). jadi, T = G OA Contoh soal : 1. Jika A = (2,-1) dan B = (3,4).Tentukan : a. G AB (P) Jika P = (x,y) Jawab : b. Titik D sehingga G AB (D) = (1,3) a. G AB (P) = (x,y) ={(3-2)+ x, (4+1) + y } =(1 + x, 5 + y) Jika P = (x,y)
b. Karena G AB (D) = (1,3) maka D = (1,3).Karena G AB (P) = (-1 + x, -5 + y) jika P =(x,y) Sehingga D = G AB (1,3) = ( -1 + 1, -5 + 3) = ( 0, -2)D) = (1,3) maka D = (1,3).Karena G AB (P) = (-1 + x, -5 + y) jika P =(x,y) Sehingga D = G AB (1,3) = ( -1 + 1, -5 + 3) = ( 0, -2) Jawaban : 2. Jika A = (3,-1),B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik titik yang di ketahui, tentukan sebuah titik D sehingga = Andaikan E sebuah titik sehingga = maka E = (4+(1-3),2+(7-(-1)) atau E =(2,10).Apabila D titik tengah CE maka D = (3,6) Sehingga = 2. jadi, = 2 Menurut teorema 5 di peroleh = maka titik D yang di cari adalah (3,6)