BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Stokastik Keputusan adalah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada, sedangkan pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang dilakukan, guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan terbaik tersebut. Oleh karena itu diperlukan teknik analisis yang berkenaan dengan pengambilan keputusan melalui berbagai model. Selanjutnya persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh adanya keterbatasan sumber dana, tenaga, waktu dan yang lainnya. Sebagai contoh misalnya disebabkan bertambahnya biaya marginal atau menurunnya perolehan marginal dari sebuah proses produksi atau proses penjualan atau proses investasi dan lain sebagainya. Mujio (2009) menjelaskan bahwa program stokastik merupakan bagian dari program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada fungsi tujuan (fungsi objektif) atau kendala mengandung ketidakpastian yang dicirikan dengan distribusi peluang pada parameternya. Selanjutnya dalam proses pengambilan keputusan terhadap suatu persoalan secara logis, yang diperlukan adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan yang telah diambil, dan ini dikenal sebagai model rekursif (recourse). Progran Linier acak dari tipe ini adalah ; inf {cx + q(w)y(w) : T (w)x + W (w)y(w) = h(w)}. x X,y(w) R +m Parameter acak ξ := (q, T, w, h) terdefinisi pada ruang probabilitas (ω, IP, A) dan himpunan X x R n+ : Ax = b, mengandung semua kendala deterministik pada variabel x. Persamaan kendala di atas dapat dipedomani dengan menambah 4
5 variabel-variabel slack yang tepat, dan model yang ditunjukkan sebagai model dengan dua tahap. Selanjutnya bentuk model rekursif dibentuk dengan menambahkan ukuran fungsi objektif, yang dinyatakan dengan model seperti berikut; dimana, inf {c(w)x + φ(x, ξ(w))}. x X Φ(x, ξ(w)) = inf y Rn+{qy : T (w)x + W y = h(w)}. Sekarang setiap fungsi R : Z R, berapa nilai ekspektasi, dan merupakan ukuran resiko atau jumlah bobot keduanya (ekspektasi dan resiko) dapat digunakan sebagai ukuran fungsi objektifnya. 2.2 Program Stokastik Linier Berdasarkan paradigma standar program stokastik dua tahap, variabel keputusan dari sebuah problema optimasi oleh ketidakpastian dibagi menjadi dua himpunan, yaitu variabel-variabel tahap pertama telah ditentukan sebelum direalisasi secara nyata dari parameter ketidakpastian dan selanjutnya mendesain atau memperbaiki kebijakan cara kerjanya yang dapat dilakukan dengan memilih sebuah cost yang pasti pada variabel-variabel dari tahap kedua (recourse). Variabel-variabel tahap kedua telah dianggap sebagai suatu ukuran untuk koreksi atau peninjauan kembali suatu ketidaklayakan yang diperoleh dari sebuah fakta yang direalisasikan dari suatu ketidakpastian. Bagaimanapun juga problema tahap kedua menjadi sebuah cara kerja dalam pengambilan keputusan yang mengikuti sebuah rencana pada tahap pertama dan merealisasikan suatu ketidakpastian. Sudah menjadi satu ketentuan dari sebuah ketidakpastian, bahwa biaya pada tahap kedua adalah sebuah variabel acak yang bertujuan untuk memilih variabel tahap pertama mengenai jumlah dari biaya tahap pertama dan nilai ekspektasi untuk meminimalkan biaya tahap kedua.
6 Mujio (2009) menjelaskan bahwa konsep rekursif telah banyak diaplikasikan pada program stokastik linier, program integer dan program nonlinier. Khusus untuk program stokastik linier dua tahap mempunyai bentuk standar berikut; min{c t x + E w Ω[Q(x,w)] untuk x X}. dengan, Q(x, w) = minf(w) t y untuk D(w)y h(w) + T (w)x, y Y dimana x R n1 dan y R n2 adalah himpunan polyhedral. Disini C R n1, dan w sebuah variabel acak dari ruang probabilitas (Ω, E, IP ) dengan Ω R k, f : Ω R n2, h : Ω R m2, D : Ω R m2 n2 dan T : Ω R m2 n1. Problema di atas dengan variabel x merupakan tahap pertama yang diperlukan untuk ditentukan terlebih dahulu guna merealisasikan parameter ketidakpastian w Ω, sedangkan y merupakan variabel tahap kedua. Berdasarkan asumsi distribusi diskrit pada parameter ketidakpastian, problema dapat diekivalensikan rumusnya sebagai satu program linier untuk skala yang luas yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik standar program linier, serta sifat konveksitas dari fungsi rekursif cukup efektif digunakan dalam strategi penyelesaian berdasarkan dekomposisi, untuk parameter distribusi kontinu. Sifat-sifat ini telah digunakan untuk pengembangan sampling berdasarkan dekomposisi dan skema aproksimasi sama seperti algoritma dasar gradien. Formulasi dua tahap dengan mudah dapat digunakan untuk problema multi tahap yang dipasangkan dengan model ketidakpastian sebagai sebuah proses filtrasi. Berdasarkan distribusi diskrit, reduksi ini untuk sebuah pohon skenario oleh realisasi parameter dan skema dekomposisi membagi waktu secara bertahap sama seperti membagi ruang skenario yang telah dikembangkan untuk program linier multi tahap. 2.3 Program Stokastik Linier dengan Recourse Integer Mujio (2009) menjelaskan bahwa konsep yang mendasari model recourse adalah dengan asumsi dua tahap dalam pengertian bahwa pada tahap pertama beberapa variabel x yang ditentukan dan saat yang lain variabel y nilainya dapat ditunda untuk satu waktu yaitu bila ketidakpastian telah dinyatakan dan dapat ditulis
7 sebuah program linier acak untuk model ini sebagai berikut ; inf {cx + q(w)y(w) : T (w)x + W (w)y(w) = h(w)}. x X,y(w) R +m Parameter acak ɛ := (q, T, w, h) terdefinisi pada ruang probabilitas (ω, IP, A) dan himpunan X x R n+ : Ax = b, mengandung semua kendala x yang deterministik. Persamaan kendala dapat digunakan untuk persamaan di atas dengan memperkenalkan slack variabel yang sesuai dan model di atas yang diarahkan untuk sebuah model dua tahap, sebagai kendala yang mencakup parameter acak yang berarti feasibel dan optimasi tidak jelas, oleh karenanya dilengkapi model rekursif dengan menambah sebuah fungsi objektif yang standar. 2.4 Metode Simpleks Karena kesulitan menggambar grafik berdimensi banyak maka penyelesaian masalah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak praktis atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini, kebutuhan metode solusi yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama Algoritma Simpleks yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program linier, baik yang melibatkan dua variabel maupun lebih dari dua variabel. Penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iterasi) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang berkali-kali sebelum solusi optimum dicapai. Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode simpleks didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Dimulai pada titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut sebagai solusi awal). 2. Bergerak dari suatu titik pojok yang layak ke titik pojok yang lain yang berdekatan, pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih baik (meningkat untuk masalah maksimisasi dan menurun untuk masalah minimisasi). Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simpleks dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang baik.
8 3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tidak dapat ditemukan. Proses simpleks kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh. Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah : 1. Berdasarkan pada bentuk baku, tentukan solusi awal dengan menetapkan (n m) variabel non basis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan m banyaknya kendala. 2. Pilih sebuah entering variabel diantara yang sedang menjadi variabel non basis, yang jika dinaikkan di atas nol dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika tidak ada, maka berhenti berarti solusi sudah optimal. lanjutkan ke langkah satu. Jika tidak, 3. Pilih sebuah leavingvariable diantara yang sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi variabel non basis (nilainya menjadi nol) ketika variabel entering menjadi variabel basis. 4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat variabel entering dan variabel leaving menjadi non basis. Kembali ke langkah dua. 2.5 Metode L-Shaped Cerisola, et al (2005) menjelaskan bahwa Benders atau dekomposisi L-Shaped mempertimbangkan masalah optimisasi dua tahap yang dapat diformulasikan (P) sebagai berikut: min(cx + qy), T x + W y = h, x X, y Y. dimana x adalah keputusan tahap pertama dan y meliputi variabel tahap kedua yang daerah layaknya adalah X = A 1 x a 1, x R n 1 + dan Y = A 2 x a 2, y R n 2 +. Solusi problem (P) ekuivalen terhadap solusi master problem (MP) berikut: min{cx + Q(x), x X}
9 dimana Q(x) adalah fungsi rekursif yang terdefinisi subproblem (SP x ) sebagai berikut: Q(x) = min{qy, W y = h T x, y Y } Algoritma L-Shaped menempatkan fungsi rekursif Q(x) dalam master problem (MP) melalui deskripsi parsial yang selanjutnya digunaan sebagai proses algoritma. Deskripsi fungsi rekursif ini diperoleh dari aplikasi dualitas linier. Oleh karena itu, fungsi rekursif Q(x) juga dipresentasikan sebagai max i I {π i (h T x)+ ρ i a 2 }, dimana {(π i, ρ i ) i I } merupakan koleksi solusi dualitas ekstrim. Amati bahwa representasi dari fungsi rekursif ini adalah tergantung pada pemotongan linier. Aproksimasi dari fungsi rekursif ini berkomplemen dalam algoritma dekomposisi melalui aproksimasi daerah layak tahap pertama, yaitu koleksi solusi tahap pertama yang disajikan pada subproblem (SP x ) adalah feasibel. Daerah layak dapat direpresentasikan sebagai {x/0 π j (h T x) + ρ j a 2 } j J, dimana {( π j, ρ j ) j J } merupakan koleksi solusi dual ekstrim yang hasilnya berasal dari minimisasi ketidaklayakan (SP x ) Algoritma dekomposisi memecahkan masing-masing iterasi sebagai Relaxed Master Problem (RMP) sebagai berikut: min(cx + θ), 0 θ j + π j T (x j 0 x), j J, θ θ i + π i T (x i 0 x), i I, x X. Masing-masing iterasi dari metode ini dimulai dengan solusi (RMP) dan solusi tahap awal x 0. Solusi ini kemudian digunakan untuk mengevaluasi fungsi rekursif dengan menyelesaikan (SP x0 ). Deskripsi fungsi rekursif pada (RMP) dibangun dengan pemotongan optimalitas i pada kelayakan subproblem. Di samping itu, daerah layah (RMP) berkendala pada pemotongan kelayakan j. Algoritma L-Shaped ini akan berhenti ketika selisih relatif lebih kecil dari pada nilai toleransi yang diberikan. Kall dan Wallace (1994) mengilustrasikan sebuah algoritma L-Shaped yang memuat tahap pemotongan daerah layak dan pemotongan optimalitas seperti pada gambar 2.2.
10 Gambar 2.1 Algoritma metode L-Shaped Gambar 2.2 Ilustrasi penerapan algoritma L-Shaped