BAB II LANDASAN TEORI Pada bab aka dbahas bebeapa eo dasa yag dpeluka pada pembahasa bab-bab bekuya aaa la eag model pegeaka haga saham, model kesembaga, meode maxmum lkelhood esmao, ops pu Ameka, smulas Moe Calo, da meode leas-squae.. Model Pegeaka Haga Saham Pada subbab aka dbahas eag model pegeaka haga saham dalam beuk pesamaa dfeesal sokask. Pegeaka haga saham dkaaka memeuh poses sokask kaea laya beubah ehadap waku dega pola yag dak eduga. Pegeaka dapa dgologka ke dalam poses sokask vaabel kou - waku kou, hal dsebabka oleh faka bahwa haga saham dapa beubah secaa acak pada selag waku eeu, da juga dapa beubah pada waku kapa saja. Pada ahu 86-87, R.Bow meel geak pakel yag dak beaua uuk kemuda haslya saga begua uuk memodelka pegeaka haga saham. Geak yag dak beaua esebu kemuda dsebu geak Bow (Bowa Moo). Geak Bow aau juga dkeal dega poses Wee pada eval [,T] adalah poses sokask Z() yag memeuh ga kods beku :. Z() =, dega pobablas. Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8 9
. Z() Z(s) bedsbus N(,-s) uuk semua s. 3. Uuk s < < u < v T, Z() Z(s) da Z(v) Z(u) salg depede. Selajuya geak Bow esebu aka dguaka dalam model pegeaka saham yag aka djelaska pada baga selajuya... Model Haga Saham Tapa Pembayaa Dvde Msalka S adalah haga saham pada saa da μ meupaka ekspekas gka mbal hasl saham pe saua waku yag dyaaka dalam desmal, maka besa mbal hasl yag dhaapka da haga saham S sebesa μs. Aya uuk selag waku yag cukup kecl δ, ekspekas keaka haga saham S adalah μsδ. Jka volalas haga saham selalu ol, maka model pegeaka haga saham adalah δs = μsδ (.) Uuk δ, maka pesamaa d aas dapa duls mejad aau ds = μsd ds S = μd. Jka pesamaa d aas degaska pada eval [,T], dpeoleh ST T = S e μ Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
dega S da S T adalah haga saham pada waku da T. Pesamaa daas meujukka haga saham megka secaa couously compoudg. μs pada pesamaa (.) dsebu juga dega poses df uuk S. Pada keadaa sebeaya, volalas aka mucul pada pegeaka haga saham. Dalam jagka waku yag pedek δ, dasumska peubaha gka mbal hasl adalah sama elepas da sebeapa besa haga sahamya. Akbaya, dapa dasumska bahwa sada devas peubaha haga saham pada selag waku δ hauslah poposoal dega haga saham. Maka model (.) dega volalas mejad ds = μsd + σsdz, (.) aau dapa duls sebaga ds S = μd + σdz dega μ adalah ekspekas gka mbal hasl pe saua waku, σ meepeseaska volalas haga saham, da Z adalah poses Wee. Secaa fomal dyaaka, vaabel Z megku poses Wee jka memlk dua sfa beku :. Peubaha δz sepajag peode yag kecl δ adalah δ Z = ε δ dmaa ε adalah blaga adom yag bedsbus omal sada. Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
. Nla δz uuk sembaag dua eval kecl yag bebeda pada waku δ besfa depede. Sehgga pesamaa (.) uuk δ dapa duls sebaga ds = μsd + σsε d. (.3) Model dsebu juga model pegeaka haga saham uuk waku dsk. Model selajuya aka dguaka dalam lusas smulas Moe Calo pada subbab.4. dpeoleh Megguaka lemma Io (Hull,3), da pesamaa (.) juga aka σ dls = μ d + σdz. Dega demka peubaha l(s) aaa saa = da saa medaag =T, bedsbus omal dega mea σ μ T da vaas σ T. Dega kaa la σ lst l S ~ N μ T, σ T (.4) da σ l ST ~ N l S + μ T, σ T Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
3 dega ST adalah haga saham pada saa medaag =T, da S adalah haga saham pada saa =. Sfa pesamaa (.4) aka dguaka pada esmas volalas haga saham da vaas sho ae. Seelah ddapa model pegeaka haga saham (.3) yag bebeuk pesamaa dffeesal sokask, selajuya aka djelaska eag pegauh pembayaa dvde ehadap model pegeaka haga saham esebu... Pegauh Pembayaa Dvde pada Model Pegeaka Haga Saham Pada subbab aka dbahas megea pegauh dvde ehadap pegeaka haga saham. Tap ahuya, eme (peusahaa peeb saham) basaya membagka dvde dalam beuk uag ua kepada paa pemegag saham peusahaa. Pada saa dmaa pemegag saham aka dcaumka sebaga peema dvde (waku esebu dkeal dega slah ecodg dae), paa calo veso basaya aka membel saham peusahaa esebu dega haapa meeka medapaka keuuga da pembayaa dvde. Kods megakbaka akya pemaa aas saham esebu. Namu veso pemegag saham dak bayak yag melepas sahamya kaea juga meggka dvde, sehgga suply sedk da haga saham aka ak. Sesaa seelah masa ecodg dae beakh, dkeal dega Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
4 masa ex-dvded dae, haga saham aka kembal uu sebesa dvde yag dbayaka (R.Bal,998). Dasumska pembayaa dvde dbeka secaa u dega gka dvde eap sebesa D. Kaea saham aka uu sebesa dvde yag dbayaka, maka model pegeaka haga saham pada pesamaa (.) beubah mejad ds = μsd DSd + σsdz Da dapa juga duls sebaga ds = ( μ D) Sd + σsdz. (.5) Dalam kods dmaa veso dasumska sk eual, yau veso haya melha vesas sebaas ekspekas gka mbal haslya, veso esebu aka meema sebesa la yag sama dega gka suku buga (basaya gka suku buga bebas sko) uuk semua jes sekuas. Jad ekspekas mbal hasl semua jes sekuas yag dhaapka oleh veso yag sk eual adalah sebesa gka suku buga bebas sko. Oleh kaeaya la μ pada pesamaa (.5) dapa dgaka dega gka suku buga bebas sko. Sehgga pesamaa (.5) dapa duls sebaga ds = ( D) Sd + σsdz (.6) Pesamaa (.6) meepeseaska poses pegeaka haga saham dega sau fako sokask yau volalas haga saham. Pesamaa aka dguaka uuk mesmulaska lasa haga saham pada meode Leas-Squae Moe Calo yag aka dbahas d bab III. Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
5 Sebelum ka dapa megguaka pesamaa (.6), paamee yag dguaka hauslah elebh dahulu ka keahu. Oleh kaea u, pada subbab beku aka djelaska bagamaa megesmas paamee yag dguaka pada pesamaa (.6)...3 Esmas Paamee Pada subbab aka djelaska bagamaa megesmas paamee yag dbuuhka pesamaa (.6), yau gka suku buga bebas sko, gka hasl dvde (dvded yeld) D, da volalas haga saham σ. Tgka suku buga bebas sko meupaka suku buga yag dasumska ddapa da vesas pada sume keuaga yag dak megadug sko defaul, yau sko gagal dalam membaya buga da pokok vesas. D Idoesa, sume esebu adalah Sefka Bak Idoesa (SBI), dmaa pemeah mejam sepeuhya pegembala vesas pada sume esebu. Oleh kaea u, gka suku buga bebas sko d Idoesa meujuk pada suku buga SBI. Selajuya aka djelaska esmas paamee D. Esmas la D ddapa dega membag jumlah dvde yag dema oleh pemegag saham selama sau ahu dega haga saham saa. Msalka sebuah eme membagka dvde sebayak kal yag besaya dv, dv,dv 3,, dv pada aggal yag belaa dalam jagka waku sau ahu da msalka pula haga saham saa adalah S. Maka Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
6 D dv + dv + + dv S... =. Pada kasus dmaa eme dak membagka dvde selama sau ahu, maka D =. Selajuya aka djelaska bagamaa megesmas la volalas haga saham σ. Volalas haga saham meguku kedakpasa mbal hasl yag dbeka saham yag dapa duku dega sada devas da mbal hasl yag dbeka saham selama jagka waku eeu (Hull,3). Uuk megesmas σ secaa emps, haga saham dama dalam eval waku yag eap, msalya seap ha, seap mggu aau bula. Msalka + = jumlah pegamaa S = haga saham pada akh eval ke- ( =,,..., ) τ = pajag eval waku dalam seahu da msalka u S = l = ls ls S uuk,,...,. Besa esmas sada devas s da u adalah s = u u ( ), Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
7 dmaa u adalah mea da u. Da pesamaa (.4), sada devas da u adalah σ τ, dega kaa la s dapa megesmas σ τ. Kemuda volalas σ u sed dapa desmas oleh σ dega s σ =. τ Msalka haga saham dasakska sebayak T ha, maka pajag eval waku dalam seahu adalah τ = /T, sehgga s σ = = s T. T Dega esmas paamee yag ddapa, maka model pegeaka haga saham (.6) dapa dguaka. Sela pesamaa (.6) yag meyaaka volalas haga saham sebaga fako sokask, pada skps juga aka dlha jka gka suku buga bebas sko sebaga fako sokask. Secaa spesfk, dasumska bahwa dak lag kosa, eap dapa beubah seap saa sesua dega eo mea eveso, da megku model kesembaga Vascek beku d = a( b ) d + νdw. Pejelasa lebh laju megea model aka djelaska pada subbab beku. Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
8. Model Kesembaga Pada subbab aka djelaska megea model kesembaga. Model kesembaga meupaka model yag meggambaka pelaku aau peubaha gka suku buga jagka pedek (sho ae),. Da model dapa dlha pegauh da poses ehadap haga saham da ehadap ase devaf da saham. Sho ae pada waku adalah gka suku buga yag dguaka pada peode waku yag saga pedek pada waku. Aau dsebu juga sho ae sesaa. Dalam suau peode waku yag saga sgka aaa da + δ, secaa aa-aa seoag veso aka medapaka mbal hasl sebesa ()δ. Semua poses yag aka dbahas pada baga meupaka poses dalam sk eual. Pada model kesembaga dega sau fako, poses pegeaka dpegauh oleh volalas u sed sebaga fako kedakpasa. Secaa umum, model esebu dapa dulska sebaga suau pesamaa dffeesal sokask dega beuk d = m( ) d + s( ) dw (.7) dega df sesaa m da sada devas sesaa s dasumska meupaka fugs da apa begaug pada waku. Sfa pegeaka yag megku poses sokask pada gka suku buga jagka pedek yag dujukka oleh pesamaaa (.7) da haga saham S pada pesamaa (.) dak sepeuhya sama. Pebedaa yag Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
9 palg uama adalah gka suku buga pada akhya elha aka meuju suau level aa-aa gka suku buga yag dpeoleh dalam jagka waku yag lama, da poses dsebu sebaga mea eveso. Sedagka pegeaka haga saham megku keja da peusahaa, dmaa haga saham aka cedeug eus ak jka keja peusahaa eus dgkaka. Begu juga dega sebalkya, aka cedeug uu apabla keja peusahaa eus meuu. Sebuah agumeas ekoom yag medukug eo megea mea eveso meyaaka bahwa keka suku buga gg, ekoom cedeug melamba da ejad edahya pemaa ked da pemjam. Sebaga dampakya, suku buga aka uu. Da keka suku buga edah, aka ejad kecedeuga akya pemaa ked da pemjam da suku buga aka cedeug ak. Uuk lebh jelasya, pehaka lusas pada gamba beku: Tgka suku buga Tgka suku buga yag gg memlk ed egaf Reveso Level Leve Tgka suku buga yag edah memlk ed posf Waku Gamba. Mea Reveso Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
Beku aka djelaska model kesembaga yag aka dguaka dalam skps... Model Vascek Meujuk pada eo mea eveso yag elah djelaska, Vascek pada ahu 977 mempekealka model kesembaga bedasaka eo esebu. Msalka meuju suau level aa-aa (eveso level) gka suku buga yag dsebu b. Kemuda kelajua meuju level b adalah sebesa a. Maka suku df pada pesamaa (.7) mejad ab ( ) da model (.7) mejad d = a( b ) d + sdw. (.8) s pada pesamaa daas kemuda dasumska sebaga kosaa ν yag meupaka sada devas sesaa da, da W adalah poses Wee, maka pesamaa (.8) mejad d = a( b ) d + νdw. (.9) Model (.9) dsebu model Vascek. Model esebu aka dguaka dalam mesmulaska sho ae yag kemuda dguaka uuk membeuk lasa haga saham. Model Vascek meupaka cooh poses Ose- Uhlebeck, aau basa dkeal dega poses mea eveg, yau poses sokask yag dbeka pesamaa dffeesal sokask beku d = θ( μ ) d + σdw, dmaa θ, μ, da σ meupaka paamee da W meyaaka poses Wee Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
(Wkpeda, 8). Poses Ose-Uhlebeck adalah solus uk da pesamaa beku dx = cxd +σdw, X = x (.) dmaa c sembaag kosaa. Solus pesamaa (.) dapa duls secaa ekspls sebaga beku c c cs X = xe + σe e dw s (Yolcu, 5). Uuk meghug sho ae megguaka pesamaa (.9), dpeluka solus ekusf da pesamaa esebu. Subbab beku aka mejelaska peuua pesamaa esebu... Solus Rekusf Model Vascek Meujuk pada model (.9), msalka X = b dega sho ae pada saa. X adalah solus pesamaa dffeesal sokask dx = ax d + νdw, yag meupaka poses Ose-Uhlebeck. Msalka pula Y a = e X, (.) maka Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
dy = ae X d + e dx a a [ ν ] = + + a a ae Xd e axd dw a = e νdw. Sehgga as Y = Y + e νdw. (.) s Da (.), maka Y = e X = X (.3). Da (.), (.) da (.3), maka a as e X = X + e νdws a as X = e X + e νdws. Kaea X = b, maka dapa dhug sebagamaa beku a a as ( ) ν s a a( s) ( ) ν s a a a( s) ( ) ν = e b + e e dw + b = e b + e dw + b = e + b e + e dw, dmaa adalah sho ae pada saa =. Sehgga uuk < u < s a ( u ) ( a ( u ) a ) ( s ) u ν s = e + b e + e dw (.4) Da pesamaa (.4) bedasaka pesamaa (.4), u bedsbus omal dega mea Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
3 e + b e a u ( ) a ( u) ( ) u da vaas σ a ( u) ν a ( u) ν e dwu = e a u. Uuk mesmulaska pada waku = < <... <, pesamaa (.4) mejad ( ) = e + b + e + σ ε. a ( + ) a ( + ) dega ε blaga adom yag bedsbus N(,). Aau dapa duls pula sebaga e + = e + b( e ) + ν. ε, =,,, -. (.5) a Pesamaa (.5) aka dguaka uuk membeuk lasa sho ae yag dbuuhka uuk smulas haga saham. Uuk dapa megguaka model (.5), elebh dahulu ka haus megesmas paamee pada model esebu. Subbab beku aka djelaska esmas paamee model (.5) dega megguaka maxmum lkelhood esmao (MLE)..3 Maxmum Lkelhood Esmao (MLE) Pada subbab aka dbahas megea meode MLE dalam megesmas paamee model Vascek, yau ba,,da ν. MLE meupaka meode sask yag seg dguaka uuk medapaka aksa Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
4 paamee uuk model maemaka da sekumpula obsevas. Daa sho ae yag aka dobsevas dasumska bedsbus omal. Daa esebu dambl da sembaag sampel da populas yag bedsbus omal dega paamee ba,,da ν yag belum dkeahu. Daa sho ae meupaka daa yag begaug dega daa sebelumya. MLE adalah meode yag memaksmumka fugs lkelhood yag dapa duuka da codoal pobably desy fuco (pdf besyaa) vaabel + yag besyaa vaabel. Dkeahu bahwa pobably desy fuco (pdf) uuk dsbus omal adalah f x μσ = πσ (, ) exp Sehgga uuk dsbus N(,) adalah ( x μ ) σ. x f( x,) = e. π Pdf besyaa da vaabel + yag besyaa vaabel sebelumya dujukka oleh ;,, = exp ( b aσ ) f ( ( )) e b e + πσ σ Dega σ adalah beuk sedehaa da e σ = ν. a Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
5 Dkeahu fugs lkelhood uuk sampel sebayak buah yag salg depede decally dsbued (..d) adalah ( + σ ) ( σ ) ( ( )) e b e ;,, =,, = exp πσ σ f b a f b a aau ( b aσ ) f ( ) ad ad + ;,, = exp πσ σ ( ) + e b( e ) Fugs log-lkelhood da hmpua sampel adom (,,, ) dapa duuka da fugs lkelhood. ( ba,, σ ) = l f( ; ba,, σ ) L = l( π) l( σ ) e b e σ ( ) Sehgga maksmum da fugs log-lkelhood dapa dpeoleh keka uua pasal fugs esebu sama dega ol. L ( ba,, σ ) b = e b( e ) = σ b = e ( e ) Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
6 ( ba,, σ ) L = a d. e ( b)( b) e ( b) = σ 3 ( ba,, σ ) = ( b) e ( b) = σ σ L σ a = l d ( b)( b) ( b) σ = ( b) e ( b) (.6) Masalah yag demuka pada pehuga (.6) daas adalah, solus yag begaug sau sama laya. Aka eap, a da b dak begaug pada σ, jka ka megeahu a aau b aka mudah megeahu yag la. Uuk meca b dapa dlakuka dega mesubsus kods a kedalam b. Sebelumya aka dubah elebh dahulu, oas da kods a da b megguaka oas yag sama yau x =, y =, xx =, yy =, xy = sehgga b = y e x ( e ) da Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
7 l xy bx by + b a = d b + b xx x. Dega mesubsus a ke b ddapa b = xy bx by + b y xx bx b + xy bx by + b xx bx + b x maka ( + ) ( + ) ( xx bx + b ) ( xy bx by + b ) ( y xx x xy) + b( x x y) + b( y x) ( xx xy ) + b( y x ) b b b b b b = = y xx x xy x y x da ( ) ( ) b b =. xx xy x x y y xx x xy Sehgga ka dapaka solus uuk masg-masg paamee sebaga beku y xx x xy b = ( xx xy ) ( x x y ) l xy bx by + b a = d b + b σ = e + e b e e + b e xx x ( )( ) ( ) ad yy xy xx y x a e ν = σ. Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
8 Seelah pembahasa model pegeaka haga saham da gka suku buga, selajuya aka dbahas megea ops pu Ameka yag megguaka saham sebaga ase duk..4 Ops Pu Ameka Pada subbab kal aka djelaska megea ops pu Ameka. Ops pu Ameka adalah ops yag membeka hak kepada holde uuk mejual sejumlah saham yag a mlk dega haga eeu dmaa ops esebu dapa deksekus sebelum aau pada saa jauh empo. Sebelum pembahasa lebh jauh eag ops pu Ameka, aka djelaska elebh dahulu eag payoff, poss he moey, poss ou of he moey, da poss a he moey pada ops pu. Payoff meupaka sejumlah uag ua yag dema oleh holde saa a megeksekus ops esebu. Uuk lebh memaham eag pegea payoff, pehaka cooh beku. Msalka edapa suau ops pu saham dega haga eksekus E da haga saham S ( T), dega T adalah waku jauh empo. Jka saa, S < E,maka holde aka megeksekus ops esebu kaea a dapa mejual saham dega haga E yag lebh mahal da S, sehgga payoff yag demaya sebesa E - S. Aka eap, jka S E, holde dak haus megeksekus ops esebu, kaea a dapa mejual saham yag dmlkya d pasa dega haga yag lebh mahal aau sama dega haga eksekus Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
9 E, sehgga payoff yag demaya adalah ol. Dega demka, dapa dsmpulka bahwa payoff yag dema oleh seoag holde saa waku adalah sebesa P() = max(e-s,). Uuk lebh jelasya pehaka lusas beku. Gamba.. Gafk fugs payoff ehadap haga saham Bedasaka Gamba., msalka edapa ops pu dega haga eksekus E sebesa Rp 5.,, da haga saham pada saa yau S sebesa Rp 4.,. Maka payoff P yag dema holde jka a megeksekus ops pu esebu pada saa adalah sebesa Rp 5, Rp 4., = Rp.,. Suau ops pu dkaaka beada dalam poss he moey jka saa megeksekus ops, haga saham lebh edah da haga eksekus yag eea pada ops aau S < E. Sebalkya, jka haga saham lebh gg da haga eksekus aau S > E, ops pu esebu beada dalam poss ou of he Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
3 moey. Sedagka keka haga saham sama dega haga eksekus aau S = E, ops pu beada pada poss a he moey. Saa waku, jka haga saham beada dalam poss ou of he moey maka kepuusa yag palg bak adalah dak megeksekus ops saa u. Teap jka haga saham beada dalam poss he moey, holde haus meeuka apakah a aka megeksekusya sekaag aau dsaa medaag jkalau a befk medapa payoff yag lebh besa lag. Kaea adaya hak eksekus awal da kepuusa yag haus dambl eka waku dmaa hak esebu aka dlaksaaka oleh holde, maka pelu bag holde uuk megeahu kapa saa-saa yag opmal uuk megeksekus ops yag dmlkya. Selajuya aka djelaska eag smulas Moe Calo yag dapa dguaka uuk membua smulas lasa da ase duk ops yau haga saham..5 Smulas Moe Calo Smulas Moe Calo aau Moe Calo Smulao (MCS) dalam poses sokask adalah meode yag secaa eaf megevaluas model sokask megguaka blaga adom sebaga pu. MCS dapa dkaegoka sebaga meode pegambla sampel (samplg), kaea puya dbagkka secaa adom da suau dsbus pobablas uuk mesmulaska poses samplg dega daa yag akual. Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
3 Uuk lebh jelasya, pehaka lusas beku. Msalka ekspekas gka mbal hasl saham sebesa 4% pe ahu da sada devas (volalas) da mbal hasl esebu sebesa % pe ahu. Msalka juga δ =,, dega kaa la ka membag waku sau ahu mejad eval kecl dega pajag 3,65 ha. Maka da model pegeaka haga saham waku dsk ka dapaka δs =,4x,. S+,ε,S aau δs =,4S+,εS. (.7) haga saham (.7) dapa dsmulaska dalam beuk lasa dega samplg beulag-ulag blaga adom ε da mesubsuskaya saupesau kedalam pesamaa (.7). Blaga adom ε meupaka daa sampel yag bedsbus N(,). Salah sau caa membagkka blaga adom esebu adalah dega peah ad( ) pada Mcosof Excel aau dega Malab. Bayak blaga adom ε yag dambl sesua dega bayakya eval waku selama masa pegamaa. Pada cooh daas, maka bayakya blaga ε yag dambl adalah buah, yau 365 ha dbag dega pajag eval 3,65. Tabel. beku meujukka hasl da poses daas. Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
3 Tabel.. Smulas Moe Calo uuk haga saham. Haga awal saham pada peode ke Sampel Radom uuk ε Peubaha haga saham pada masg peode.,5 36.36,44 6.847 -,86-39 3.58,46 68 4.46 -,69-6 5.883 -,74-8 6.63, 5 7.79 -, -47 8.9,73 35 9.67,6 57.4,56. Dasumska haga saham awal adalah Rp.,. Uuk peode peama la ε yag eambl adalah,5. Da (.7), peubaha selama peode peama sebesa δ S =,4(.) +,(,5)(.) = 36 Dega demka, pada awal peode kedua, haga saham awalya adalah Rp.36,. Nla ε yag eambl pada peode kedua adalah,44. Sehgga da (.7), peubaha selama peode kedua adalah δ S =,4(.36) +,(,44)(.36) = 6. Maka, pada awal peode kega haga saham awalya adalah Rp.847,, da begu seeusya. Dalam pekembagaya, meode MCS dapa dpeluas pegguaaya uuk meghug ekspekas payoff haga saham da Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
33 akhya dapa meeuka la ops. Ekspekas payoff dalam kods sk eual dhug megguaka posedu samplg (Hull,3). Kemuda ddskoo pada suku buga bebas sko. Uuk lebh jelasya, beku aka djelaska posedu uuk meeuka la ops. Msalka suau ops dega ase duk S yag meghaslka payoff d waku T. Dega asums suku buga kosa, ka dapa mela ops esebu dega lagkah-lagkah beku :. Ambl sampel lasa S secaa adom. Hug payoff yag ddapa da ops 3. Ulag lagkah da uuk medapaka bayak sampel payoff yag ddapa ops 4. Hug aa-aa sampel payoff uuk medapaka esmas da ekspekas payoff 5. Dskooka ekspekas payoff pada suku buga bebas sko uuk medapaka esmas la ops. Pada skps kal lagkah-lagkah daas dak dbahas secaa legkap, kaea haya lagkah, da 3 yag aka dguaka pada meode Leas-Squae Moe Calo yag aka dbahas pada bab III. Beku aka djelaska bagamaa membeuk lasa haga saham da sho ae. Msalka poses pegeaka haga saham megku poses pada pesamaa (.6) beku : Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
34 ds = ( D) Sd + σsdz. Uuk mesmulas lasa haga saham, ka bag jagka waku belaku ops mejad N buah eval kecl dega pajag δ kemuda apoksmas pesamaa daas dega S ( + δ) S () = ( DS ) () δ+ σs () ε δ (.8) dega ε adalah sampel adom yag bedsbus N(,) da la awal S pada = yag dbeka. ε δ dapa meggaka dz kaea sfa Z yag megku poses Wee, sehgga uuk peubaha δz sepajag peode yag kecl δ adalah δ Z = ε δ. Pada pakekya, basaya aka lebh akua uuk mesmulas l S kembag S. Da lemma Io, l S pada (.6) megku poses σ d ls = D d + σdz maka l S ( ) l S ( ) σ + δ = D δ+ σε δ σ S ( + δ) = S ( ).exp D δ+ σε δ aau σ S+ = S.exp D d + σε d, =,,, -. (.9) Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
35 Pesamaa dguaka uuk membeuk lasa S dega caa yag sama dega pesamaa (.8). Pebedaaya adalah pesamaa (.8) aka akua jka δ, sedagka pesamaa (.9) meghaslka la yag akua uuk semua δ kaea meupaka solus uuk pesamaa (.6). Dalam skps, sela uuk mesmulas lasa haga saham, MCS juga dguaka uuk mesmulas lasa gka suku buga bebas sko jagka pedek (sho ae). Smulas esebu megguaka pesamaa (.5) yag elah djelaska yau e + = e + b( e ) + ν. ε, =,,, -. a Dmaa ε adalah sampel adom yag bedsbus N(,) da la awal pada = yag dbeka. Haga saham da gka suku buga dasumska memlk gocaga yag salg bekoelas da dapa dyaaka dega dz()dw() = ρd dega dz adalah poses Wee uuk pesamaa haga saham da dw uuk sho ae, maka ε pada (.9) da ε pada (.5) memlk koefse koelas kosa yag ka sebu ρ. Sehgga σ S ( + ) = S ( ).exp D d σ d ρ ε3 ρε + + (.) dega {ε (), ε 3 ()},,, blaga adom omal sada bvaa yag salg bebas (Nawalkha,996). Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
36 Selajuya aka djelaska eag meode leas-squae yag aka dguaka dalam salah sau ahapa meode Leas-Squae Moe Calo..6 Meode Leas-Squae Pada subbab aka djelaska megea meode leas-squae. Meode leas-squae adalah salah sau caa uuk meyelesaka aalss eges, yau meode yag dguaka uuk memodelka daa umek yag ddapa da obsevas dega caa memmalka sum squae eo da selsh aaa la obsevas da esmas. Daa umek esebu pada umumya bsa dklasfkas mejad sebuah vaabel ak bebas da sau aau lebh vaabel bebas. Model yag palg sedehaa adalah model eges lea dega sebuah vaabel bebas x (egesso) yag memlk elas beupa gas luus dega vaabel ak bebas y. Hubuga dmodelka dalam beuk beku y = β + β x + ω,,, (.) dega β (ecep) da β (slope) meupaka kosaa da ω adalah kompoe adom eo. Eo pada model (.) dasumska memlk aa- aa ol da vaas σ. Sebaga ambaha, basaya dasumska pula bahwa aaa eo dseap k obsevas dak salg bekoelas. Aya la sebuah eo dak dpegauh oleh la sembaag eo laya. Paamee β da β dsebu juga koefse eges. Iepeas uuk β adalah seap peubaha sau u vaabel x aka meyebabka Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
37 peubaha la aa-aa vaabel y sebesa β. Sedagka uuk β memlk epeas bahwa jka vaabel x bela ol maka la aa-aa y sebesa β. Paamee β da β dapa desmas megguaka sampel. Msalka ka memlk sejumlah buah pasag daa (y,x ), (y,x ),, (y,x ). Meode leas-squae aka dguaka uuk megesmas β da β sedemka sehgga jumlah kuada da selsh aaa la obsevas y dega la apoksmas y aka mempuya la yag mmum. Dega demka kea leas-squae uuk pesamaa (.) adalah sebaga beku memeuh S( β, β ) = ( y ( β + β x )). Esmao leas-squae β da β yag ka sebu β da β,hauslah S β β, β = da S β β, β =. Sehgga aka ka dapaka la esmao sebaga beku da y = = = = y β β β x x Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
38 y x yx = = β = x x. Paamee β da β pada pesamaa daas meupaka esmao leassquaes da masg-masg paamee. Dega demka model eges lea sedehaa dapa dyaaka dega y = β + β x. (.3) Selsh aaa la pegamaa y da la esmas y yag bekoespodes dsebu sebaga esdual. Secaa maemas, esdual ke- adalah e y y y x = = β + β,,,,. Resdual mejad baga peg d dalam hal ka aka meyeldk keepaa model eges yag ddapa da dalam medeeks peympaga da asums dasa. Sela model dega sau vaabel bebas, edapa pula kods dmaa edapa bayak vaabel bebas yag mempegauh sau vaabel ak bebas, yau model eges dega lebh da sau vaabel egesso. Model dsebu juga model eges begada. Model esebu secaa umum dyaaka sebaga beku Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
39 y k = β + β x + ω,,,,.. (.4) j j j = Sela beuk-beuk daas, edapa model eges la yag aka dguaka pada skps yau eges polomal. Sebaga cooh, eges polomal ode dua dega sau vaabel y = + x+ x + (.5) β β β ω da eges polomal ode dua dega dua vaabel y = β + β x + β x + β x + β x + β x x + ω. (.6) Polomal dguaka maakala ejad kods dmaa vaabel y membeuk kuva yag dak lea. Model eges uuk sampel yag behubuga dega pesamaa (.6) dapa duls sebaga beku y = β + β x + β x + β x + β x + β x x + ω (.7) Dalam skps, fugs ekspekas besyaa yag dguaka pada lagkah ke dua pada meode Leas-Squae Moe Calo (LSM) yag aka dbahas pada bab III adalah megguaka pesamaa (.7), dega vaabel haga saham da gka suku buga sebaga vaabel egesso da vaabel ak bebasya adalah la dskoo payoff medaag. Dalam oas maks, model (.7) dapa duls sebaga dmaa y = Xβ + ω Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
4 y x x x x x x y x x x x x x y = :, X = x x x3 x x x 3 : : : : : : : y x x x x x x 3 3 3 3 β β β β =, ε = β β β ω ω :. : ω Fugs leas-squae da model (.7) adalah ( ( )) S( β, β, β, β, β, β ) = y β + β x + β x + β x + β x + β x x Pesamaa (.8) dapa pula duls sebaga beku sehgga S ( β ) = ω = ' = ( )'( ) ω ω β β. S( β ) = y' y β' X' y y' Xβ + β' X' Xβ = y' y β' X' y + β' X' Xβ Fugs S daas haus dmmumka dega pemlha β, β, β, β, β, β (.8) yag sesua. Esmao leas-squae da β, β, β, β, β, β haus memeuh S β β, β, β, β, β, β = da Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8
4 S β j β, β, β, β, β, β =, j =,,,,da. Maka esmao leas-squae haus memeuh S β yag dapa dsedehaaka mejad β = X' y + X' X β = X' X β = X' y (.9) Pesamaa (.9) meupaka pesamaa omal leas-squae. Uuk meyelesakaya, kalka dua uas dega ves da esmao leas-squae da β adalah X ' X. Maka, β = ( X' X) X' y. (.3) Da pehuga daas, aka dpeoleh aksa paamee da (.7), sehgga model esmas yag ddapa adalah y β βx β x βx β x β xx = + + + + +. (.3) Pesamaa (.3) meupaka apoksmas fugs ekspekas besyaa payoff ops dmasa medaag da aka dguaka pada lagkah kedua meode LSM yag dbahas pada bab III. Implemeas Meode..., Had Ismal, FMIPA UI, 8