Model Probit pada Respons Biner Multivariat Menggunakan Simulated Maximum Likelihood Estimator

Transkripsi

1 70 Mode Pob... (Jaka Nugaha dkk) Mode Pob pada Respos Be Muvaa Megguaka Smuaed Maxmum Lkehood Esmao Pob Mode o Muvaae Bay Respose Usg Smuaed Maxmum Lkehood Esmao Jaka Nugaha ), Suyo Guo ), S Hayam ) Juusa Saska UII, S3 Maemaka UGM Juusa Maemaka UGM ABSRAC I hs pape, we dscuss pob mode o muvaae bay espose. We assume ha each of dvduas s obseved esposes. Y s h espose o h dvdua/subjec ad each espose s bay. Each subjec has covaae X (dvdua chaacesc) ad covaae Z j (chaacesc of aeave j). Respose o dvdua h ca be epeseed by Y = (Y,...,Y ), Y s h espose o h dvdua/subjec ad each espose s muoma. I ode o smpfy, we choose oe of dvdua chaacescs ad aeave chaacescs. We use smuaed maxmum kehood esmao (SMLE) mehods o esmae he paamee based o Geweke- Hajvassou-Keae (GHK) smuao. We fd he fs devave of kehood fuco fo muvaae bay pob. he, we expad o muvaae muoma espose. he fs devave s used he BHHH (Bed, Ha, Ha, Hausma) eao o oba esmaos. Keywods: Radom uy mode, smuaed maxmum kehood esmao, geeazed esmag equao, BHHH, GHK smuao, Newo-Raphso PENDAHULUAN Pada daa pae, pegamaa dakuka secaa beuag ehadap subjek da vaabe yag sama. Pembahasa megea pemodea espo be pada daa pae eah dakuka oeh bayak pee. Mode yag seg dguaka mode pob da mode og. Mode dsusu bedasaka pedekaa mode efek eap, mode efek adom da mode damk. Meode esmas paamae yag dguaka meode maxmum kehood esmao (MLE), meode mome da meode geeazed esmag equao (GEE). Suku mode yag pag sedehaa mode depede, yau dega megasumska bahwa aa espo pada subjek yag sama maupu aa subjek depede. Dega asums, pobabas gabuga meupaka pekaa da pobabas magaya. Lag & Zege (986) meyampaka bahwa aass ogsk maupu pob pada daa pae dega megguaka pedekaa uvaa, yak megabaka adaya koeas aka meghaska esmao paamee yag mash kose eap jka edapa koeas yag besa maka peaks esebu mejad dak efse. Pece (988) meyampaka saeg pemodea megguaka pedekaa GEE uuk medapaka esmao koefse eges yag kosse da asmos oma. Pedekaa GEE dak megguaka pehuga ega agkap. Cooyas e a. (00) meyaaka bahwa pada mode efek eap jka edapa koeas aaa efek dvdu ehadap vaabe depede maka esmao yag dpeoeh mejad dak efse. Dega megguaka mode efek adom, esmao yag ddapaka mejad ebh efse. Mode a yag dkembagka daam daa pae mode damk. Mode damk sepe haya mode me sees, edapa pegauh aa espo secaa beuua (Cooyas e a. 00). Has e a. (000) eah meakuka peguja sfa-sfa esmao mode pob pada daa pae da meympuka bahwa esmas megguaka MLE mash meghaska esmao yag bak meskpu jumah sampe ebaas. Mode pob pada daa pae dek dega mode pob uuk kepuusa ugga, haya suku mak kovaasya ebh besa. Pegembaga mode yag eah dakuka dega megoo kaakesk dvdu yag dak eobsevas da homoge ehadap peuaga pegukua. Jka kaakesk dvdu heeoge, maka

2 Jua ILMU DASAR o. No., Jaua 00 : aka mejad masaah daam esmas paamee yau esmas paamee mejad bas (Geee 003). Meode SMLE dek dega MLE, haya saja popos masg-masg pha dhug secaa smuas. Meode smuas dguaka uuk meghug ega agkap. Pada mode pob, meode smuas GHK meupaka meode smuas yag pag efse da besfa ak bas (Hajvassou e a. 996). Geweke e a. (997) juga eah meemuka meode pehuga ega agkap megguaka pedekaa smuas Moe Cao yag dkea dega ama meode GHK mempuya sfa ak bas da kosse. Nugaha (000) eah meakuka peguja sfa-sfa esmao paamee pada eges ogsk bvaa dega megguaka meode MLE da GEE. Meode esebu meghaska esmao yag kosse. Nugaha e a. (006) meujukka bahwa mode ogsk pada daa be muvaa dega megguaka pedekaa GEE meghaska peaks paamee dega vaas yag ebh kec dbadgka dega pedekaa asums depede. Seg ka pada masg-masg dvdu dama bebeapa vaabe depede yag bebeda secaa besamaa. Pegamaa sepe meghaska espo muvaa. Peea megea pemodea espo be muvaa mash sedk medapa pehaa da paa pee. Semeaa u apkas pemodea espo be muvaa saga uas. Bedasaka pegembaga mode espo be yag eah dakuka pada daa pae, makaah membahas peyusua mode pada daa espo be muvaa megguaka mode pob. Esmas paamee dakuka dega megguaka meode MLE yag ddasaka pada smuas GHK. Mode uas Dasumska bahwa dvdu masg-masg dobsevas sebayak espo. Y espo ke- pada dvdu/subjek ke- da seap espoya be. Respo pada dvdu ke-, dapa dsajka daam beuk Y = (Y,...,Y ), sehgga Y = j jka subjek espo ke- memh aeaf j (j=0,). Dasumska bahwa pha dvdu daam megamb kepuusa Y kaea mempuya uas maksmum da dpegauh oeh kovaa X sebaga kaakesk dvdu da kovaa Z j sebaga kaakesk aeaf/pha j. Uuk meyedehaaka peusa, damb sau vaabe kaakesk dvdu da sau vaabe kaakesk pha. U subjek memh aeaf j pada espo ke- U j = j + ε j. uuk =,,..., ; =,,..., ; j=0, () dega j = α j +β j X + γ Z j U j uas yag meupaka vaabe ae da j damaka epeseaf u. α j,β j da γ paamee daam mode uas. Pada adom uy mode (RUM), dasumska bahwa pembua kepuusa (subjek) meeuka pha bedasaka a uas yag maksmum, sehgga mode () dapa dsajka daam beuk sesh uas, U = U - U 0 = ( 0 )+ (ε - ε 0 ) = + ε () dega = (α -α 0 ) + (β -β 0 )X + γ (Z - Z 0 ) da ε = ε - ε 0. Seajuya dapa dsusu hubuga aaa Y da vaabe ae U, yau y = <=> U > U 0 <=> U > 0 <=> - < ε da y = 0 <=> U < U 0 <=> U <0 <=> - > ε Pobabas subjek memh (y =,..., y = ) P(y =,..., y = ) = P(0 < U,..., 0 < U ) = P(- < ε,..., - < ε ) = I ( < ε ). f ( ε ) dε ε (3) dega ε = (ε,..., ε ). Na pobabas meupaka huga ega agkap da egaug pada paamee θ = (α, β,γ) maupu dsbus ε. Daam ha aka dguaka mode pob. Meode esmas paamee yag dguaka pada mode pob meode MLE. Mode pob duuka da asums bahwa veko ε bedsbus oma muvaa dega mea o da mak kovaas Σ. Fugs desas uuk ε f ( ε ) = φε ( ) = exp[ εσ ε ] / / (4) ( π ) Σ Pobabas maga (uuk suau da ) π = P(y = X,Z ) = P(- < ε ) = - Φ(- ) (5) sehgga PY ( = y y ) = π ( π ) y

3 7 Mode Pob... (Jaka Nugaha dkk) da sfa smes dsbus oma maka pesamaa (5) dapa juga dyaaka sebaga π = P(y = X,Z ) = P(- < ε ) = P(ε < ) = Φ( ) (6) dega Φ ( = exp[ ] ε dε. / ( πσ ) σ Fugs kehood da sampe adom beukua L( θ ) = L ( Y X, Z, θ ) (7) = dega Y = (Y,...,Y ) meupaka veko obsevas (espo) be. HASIL DAN PEMBAHASAN Mode pob depede Pobabas maga uuk espo Y y y PY ( = y) = π ( π ) = (Φ( )) y (-Φ( )) -y da da pesamaa (5) dpuya - π = Φ(- ) maka pobabas magaya dapa dyaaka sebaga PY ( = y) = Φ[(y ) ] (8) Jka dasumska Y sag depede uuk seap da maka y = = = π π = PY ( y,..., Y y ) ( ) = ((y ) = Φ Fugs kehoodya L( θ) = L ( Y X, Z ; θ) = = = ((y ) = Φ da fugs og-kehoodya y (9) (0) ( ( )) () LL( θ ) = Φ (y = = Devaf peama LL(θ) ehadap paamee θ = (α, α 0, β 0, β, γ ) LL( θ ) ( y φ (( y = ; Φ (y α 0 = ( ) φ ( ) ((y ) φ ( ) Φ( (y φ ( ). ((y ) φ ( ) ((y ) LL( θ ) (y (y ) = α = Φ. LL( θ ) (y X (y = β 0 = ; LL( θ ) (y X (y ) = β = Φ LL( θ ) (y Z (y ) = γ = Φ () dega =(α -α 0 ) +(β -β 0 )X + γ Z j, uuk =,...,. LL( θ) LL( θ) Jka = = 0 α α 0 maka α 0 da α dak edefkas. Demka juga, jka LL( θ) LL( θ) = = 0 β β maka β 0 da β dak 0 edefkas. Oeh kaea u saah sau dbe a eeu (msa α 0 = da β 0 = ). Jka θ = (α, β, γ ) da α 0 = da β 0 = maka da pesamaa () dpeoeh pesamaa peaks LL α LL LL = θ β LL γ ( y φ (( y = X = 0 = Φ( (y Z (3) dega =(α -)+(β -)X +γ Z j, uuk =,...,. MLE uuk θ meupaka peyeesaa pesamaa peaks. Devaf ke dua fugs og-kehood () (y X Z LL (y φ ((y = X (y X X Z θ θ ((y ) = Φ Z X Z (y Z X Z (( y φ (( y ) X XZ = Φ( (y Z X Z (4) Pesamaa peaks (3) dapa dseesaka dega megguaka eas Newo-Raphso. Jka θ = (α, β, γ ) da uuk eeu maka pesamaa eas ke-(k+) ( k + ) ( ) ( ) ( H k k θ = θ ) g (5)

4 Jua ILMU DASAR o. No., Jaua 00 : dega g = = φ ( ) ((y ) (y (y ) Φ X Z ( ) ( k) ( k) y X Z (y φ ((y H = ( ) X y X X Z = Φ( (y ) Z X Z (y Z X Z (( y φ (( y )) X XZ = Φ( (y ) Z X Z Uuk meakuka peguja ehadap esmao dapa dguaka sfa Noma asmos pada peaks MLE, ˆ a θ N[ θ,{ I( θ )} ] (6) dega og LL ( θ ; X ) I( θ ) = E E[ ] = H θ θ Secaa umum jka edapa ebh da sau vaabe kaakesk dvdu (X,..,X M ) da vaabe kaakesk pha (Z j,...,z jk ) maka j = α j + β j X β Mj X M + γ Z j,...,+ γ K Z jk uuk =,.. ; j=0, da =,..,. Aga paameeya edefkas maka deuka a α 0 = da β m0 = uuk semua m da. Paamee yag desmas θ = (α, β,...,β M,γ,...,γ K ). MLE meupaka peyeesaa da pesamaa (y φ ((y X = 0 (7) = Φ( (y Z dega X = [X...,X M ], Z j = [Z j,...,z jk ], = 0, Z = Z Z 0 uuk seap. Mode pob be muvaa eko ε = (ε,..., ε ) bedsbus oma muvaa dega mea o da mak kovaas Σ da masg-masg ε bedsbus oma sadad. ε ~ MN(0, Σ) da ε ~N(0,) uuk =,...,. σ... σ σ... σ Σ= σ σ... Kaea Σ meupaka mak sme, maka σ = σ uuk, =,...,. y = 0 jka espode memh aeaf peama da y =, jka espode memh aeaf ke dua. Pobabas magaya PY ( = y) = Φ[(y -) ] Pobabas gabugaya PY ( = y,..., Y = y ) = P( ε < (y ),..., ε < (y w w w = φ ( ε ; θ; Σ) dε = φ ( ε ; θ; Σ) dε D( Y ) = Φ ( w ;0; Σ) ) (7) dega w = (y -) da D(Y ) = [-,w ] [-,w ] [-,w ]. φ meyaaka fugs desas oma muvaa da espo sebayak. Fugs og kehoodya LL( θ; Σ ) = Φ ( w ;0; Σ ) (9) = Φ ( w ;0; Σ) dhug megguaka smuao GHK dega fako Choesky C, sehgga paamee yag desmas ω = (θ, c). c eeme-eeme mak C. c c c C = c c c c c c c 3 sehgga pesamaa u () mejad U cη = + uuk =,..., da η ~ = N(0,I) Dega megguaka agoma pada smuas GHK (a, 003) dpeoeh (( y ) + c η ) k k ( k = p = Φ = Φ = = c (0) dek meyaaka pegamba ke- daam smuas, R p ( = p ( R = Fugs og-kehood mejad R sm og L( ω) = og p ( ( ω) = R = R = og Φ = R = = () Esmao ω yag dhug megguaka meode Newo-Raphso memeuka devaf

5 74 Mode Pob... (Jaka Nugaha dkk) peama da devaf ke dua da fugs ogkehood (). Uuk meghda devaf kedua da fugs og kehood, dapa dguaka meode eas BHHH (Chog & Zak 996). Meode BHHH haya memeuka devaf peama. Seajuya aka dhug devaf peama fugs og kehood dega megguaka oas c (y h η + > a, = h h= c c (y c Pesamaa (0) mejad ( ( a ) ( a ) ( a ) = () p =Φ. Φ... Φ =Φ. Φ... Φ = Φ,,, Devaf peama fugs kehood () R ( φ a, smog L( ω) = ( ( )). R p ω ω = ( R = = Φ ω R = p ( ω) (3) dega c φ( a ) a h, h, (y h u.. +, h, > a, h c ( ) c = φη ω ω h, = ω (y, = c ω c φ( a ) a h h, h, u uuk k j< h, h= c φη ( ) c h, jk a, ηk, = uuk k< j= c c jk a, uuk k= j= c Dega megguaka agkah-agkah peyusua mode da esmas paamee pada mode pob be muvaa, dapa dkembagka uuk mode pob muoma muvaa KESIMPULAN Mode pob dapa dmpemeaska daam pemodea daa be muvaa yag ddasaka pada Radom Uy Mode. Meode MLE dapa dguaka uuk megesmas paamee. Jka dasumska Y sag depede uuk seap da, MLE meupaka peyeesaa da pesamaa = φ ( ) ((y (y (y ) Φ = X = 0 Z dega X = [X...,X M ], Z j = [Z j,...,z jk ], = 0, Z = Z Z 0 uuk seap. Jka dasumska Y sag bekoeas, maka fugs kehoodya aka mebaka huga ega agkap. Na pobabas yag meupaka huga ega agkap daam fugs kehood dapa dseesaka megguaka smuao GHK. Uuk meghda pegguaa devaf kedua da fugs og-kehood, pesamaa peaks yag dpeoeh da MLE dapa dseesaka megguaka eas BHHH. DAFAR PUSAKA Chog EKP & Zak SL A Ioduco o Opmzao. Joh Wey & Sos, Ic. Cooyas P, Adew MJ & Rce N. 00. Dyamcs of Heah Bsh Househod: Smuao-Based Ifeece Pae Pob Mode. Wokg Pape Depame of Ecoomcs ad Reaed Sudes, Uvesy of Yok. Cooyas P, Adew MJ & Gozaes RL. 00. Usg Smuao-Based Ifeece Wh Pae Daa I Heah Ecoomcs. Wokg Pape Depame of Ecoomcs ad Reaed Sudes, Uvesy of Yok. Geweke JF, Keae MP & Ruke DE Sasca Ifeece he Muoma Mupeode Pob Mode. Joua of Ecoomecs 80: Geee W Ecoomecs Aayss. 5 Edos. Pece Ha. Hajvassou, McFadde D & Ruud P Smuao of Muvaae Noma Recage Pobabes ad he devaves: heoeca ad Compuaoa Resus. Joua of Ecoomecs 7: Has MN, Macquae LR & Soucs AJ Compaso of aeave Esmaos fo Bay Pae Pob Modes. Meboue Isue Wokg Pape o 3/00. Lag KY & Zege SL Loguda Daa Aayss Usg Geeazed Lea Modes. Bomeka 73: 3-. Nugaha J Peaksa paamee pada eges ogsk bvaa. Makaah Sema Nasoa Maemaka d UGM.

6 Jua ILMU DASAR o. No., Jaua 00 : Nugaha J, Guo S & Hayam S Mode Reges Logsk uuk Respos Be Muvaa dega Geeazed Esmag Equao. Makaah Sema Nasoa Maemaka da Peddka Maemaka d UNY. Pece Coeaed Bay Regesso wh Covaaes Specfc o Each Bay Obsevao. Bomecs 44: a K Dscee Choce Mehods wh Smuao, UK Pess, Cambdge.