MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world
? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa?
Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0 ; ; 00 ; 0 ; 1
Contoh: dan lim x 4 lim x 0 sin x x x x 2, x 4 yang apabila kita substitusikan titik limitnya, kita peroleh nilai 0 0.
Pertanyaan: Berapakah nilai limit diatas?
Pengantar Kita akan menghitung dengan lim x c f (x) g(x), lim f (x) = 0 = lim g(x). x c x c Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x)/g(x) (menguraikan pembilang dan penyebut; merasional bentuk pecahan; menggunakan rumus trigonometri dll) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat dipakai.
Contoh 1: hitunglah lim x 0 sin x x
Solusi: lim x 0 = sin x x (gunakan Matlab untuk ilustrasi)
Contoh 2: hitunglah lim x 4 x x 2 x 4
Solusi: x x 2 lim x 4 x 4 ( x 2)( x + 1) = lim x 4 ( x 2)( x + 2) x + 1 = lim x 4 x + 2 = 3/4
Misalkan kita akan menghitung dengan lim x f (x) g(x), lim f (x) = = lim g(x). x x Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x)/g(x) (merasional bentuk pecahan; memunculkan bentuk 1/x n dengan n bilangan asli dll) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat dipakai.
Contoh: hitunglah lim x x x 2 x 4 (Perhatikan bahwa jika kita substikan titik limitnya, kita dapatkan nilai limit berbentuk tak hingga per tak hingga)
Solusi: Pengantar lim x = lim x = lim x = lim x x x 2 x 4 ( x 2)( x + 1) ( x 2)( x + 2) x + 1 x + 2 = 1 + 1 + = 1 x(1 + 1 x ) x(1 + 2 x ) lim x 1 x 2 lim x 1 x
Sekarang, pandang lim f (x)g(x), x c dengan lim f (x) = 0; lim g(x) =. x c x c Kita dapat menghitung limit diatas dengan cara mengubah bentuk f (x)g(x) menjadi bentuk f (x) 1/g(x) sehingga diperoleh bentuk 0/0, atau menjadi bentuk dengan bentuk /. g(x) 1/f (x)
Contoh 1: hitunglah lim x π 4 ( x π ) sec 2x 4
Solusi: lim x π 4 ( x π ) sec 2x 4 = lim x π 4 = = = 1/2 x π 4 cos 2x
Contoh 2: hitunglah ( lim sin 1 ) x x x
Unutk menyelesaikan limit berbentuk, dengan lim (f (x) g(x)), x lim f (x) = ; lim g(x) =, x x caranya penyelesaiannya dengan mengubah menjadi bentuk /.
Contoh: hitunglah ( lim x 2 + 2x x) x
Solusi: tuliskan x 2 + 2x x = x 2 + 2x x x 2 + 2x + x x 2 + 2x + x = x 2 + 2x x 2 x 2 + 2x + x = = 2x x ( 2 1 + 2 ) x + x 2x ) x ( 1 + 2x + 1
Jadi, ( lim x 2 + 2x x) = 1 x
Dapatkah anda menghitung ( x 2 3x + x) lim x?
Solusi: 3/2
Pengantar Hitung dan lim x lim x x 2 + x 2x 1 x 2 + x 2x 1.
Limit diatas berbentuk
Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan x 2 + x 2x 1 = x ( 2 1 + 1 ) x x ( 2 1 ) x dan untuk x berlaku sehingga untuk x berlaku sehingga
Jadi, dan lim x lim x x 2 + x 2x 1 = 1/2 x 2 + x 2x 1 = 1/2.
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Integral Pada Selang Hingga Misalkan kita ingin menghitung 1 dx. x 1 Kita dapat (dengan mudah) menyelesaikannya dengan memisalkan y = x 1 sehingga 1 dx x 1 = y 1/2 dy = 2y 1/2 + C = 2 x 1 + C
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Namun, bagaimana jika kita ingin menghitung integral tentu 5 1 1 x 1 dx?
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Kita tahu bahwa fungsi f (x) = 1 x 1 kontinu pada selang (1, 5] dengan 1 lim =. x 1 + x 1 Apabila kita menghitung integral pada selang [1, 5], maka tindakan yang dilakukan dikatakan sebagai perhitungan integral tak wajar.
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Jadi, 5 1 1 x 1 dx = lim c 1 + 5 1 ( c 1 + = lim = 4 1 x 1 2 ) x 1
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Pada bagian sebelumnya, kita melihat salah satu bentuk integral tak wajar dimana integran bernilai tak hingga. Sekarang kita lihat bentuk lain dimana integran kontinu dan terdefinisi di domainnya, namun integral yang kita hitung memiliki (salah satu) batas tak hingga.
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Contoh 1: hitunglah 0 1 1 + x 2 dx yang mana kita tahu fungsi f (x) = 1 1+x 2 kontinu dan terdefinisi di selang (, ).
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Solusi: 0 = lim a = lim a = lim a 1 1 + x 2 dx 0 = ( π/2) 1 a 1 + x 2 dx ( ) 0 tan 1 x a ( ) tan 1 a
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Contoh 2: hitunglah 0 1 x(x + 1) dx
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Solusi: 1 Perhatikan bahwa fungsi f (x) = x(x+1) kontinu pada selang (0, ) dengan lim f (x) =. x 0 + Selain itu, integral tak tentunya 1 dx = 2 tan 1 x + C x(x + 1)
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Jadi, 0 1 x(x + 1) dx = = π.
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Bagaimana dengan 0 sin x dx,?