Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 4. Ada 0 V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u V, 0 : vektor nol 5. Untuk setiap u V terdapat u V sehingga u + ( u ) = 0 6. Untuk sembarang skalar k, jika u V maka ku V 7. k ( u + v ) = k u + k v, k sembarang skalar 8. (k + l) u = k u + l u, k dan l skalar 9. k( l u ) = ( kl ) u 10. 1 u = u 2 Aljabar Linear dan Matriks 1
ruang vektor : 1. V adalah himpunan vektor euclidis dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ) Notasi: R n. 2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar Bentuk umum polinom orde n p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n q n (x) = b 0 + b 1 x + + b n x n Operasi standar pada polinom orde n p n (x) + q n (x) = a 0 + b 0 + (a 1 + b 1 )x + + (a n + b n )x n k p n = ka 0 + ka 1 x + + ka n x n Notasi: P n 3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar ( penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar ) Notasi: M mn 3 Sub ruang vektor Diketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V. U dikatakan sub ruang dari V jika memenuhi dua syarat berikut : 1. Jika u,v U maka u + v U 2. Jika u U, untuk skalar k berlaku ku U 4 Aljabar Linear dan Matriks 2
Kombinasi linier Vektor v dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor vektor v 1, v 2,,v n bila v bisa dinyatakan sebagai : v = k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k n v n, k 1,k 2,,k n adalah skalar 5 Diketahui a = ( 1,2 ), b = ( 2, 3 ) dan c = ( 1,3 ) Apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b? 6 Aljabar Linear dan Matriks 3
Tunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u 1 = (1,-2,0,3), u 2 = (2,3,0,-1) dan u 3 = (2,-1,2,1) Jawab: Bila v merupakan kombinasi linier dari u 1, u 2, dan u 3 maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga: v= xu 1 + yu 2 + zu 3 (3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1) (3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) + (2 z,-1z,2z,1z) 7 (3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z) Diperoleh persamaan: x + 2 y + 2 z = 3 2 x + 3 y z = 9 2 z = 4 3x y + z = 2 8 Aljabar Linear dan Matriks 4
Penyelesaian: x =1, y = 3 dan z = -2 Jadi v = u 1 + 3u 2 2u 3 Jika sistem persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian maka v tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari u 1, u 2, dan u 3 9 Diketahui V ruang vektor dan S = { s 1, s 2,, s n } s 1, s 2,, s n V S dikatakan membangun/merentang V bila untuk setiap v V, v merupakan kombinasi linier dari S,yaitu : v = k 1 s 1 + k 2 s 2 + + k n s n k 1,k 2,,k n adalah skalar 10 Aljabar Linear dan Matriks 5
Apakah u = ( 1,2,3 ), v = ( 2,4,6 ) dan w = ( 3,4,7 ) membangun R 3 11 Kebebasan Linier Vektor vektor di S dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan 0 = k 1 s 1 +k 2 s 2 + + k n s n hanya memiliki penyelesaian k 1 = k 2 = = k n = 0 jika ada penyelesaian lain untuk nilai k 1,k 2,,k n selain 0 maka dikatakan vektor vektor di S bergantung linier (linearly dependent) 12 Aljabar Linear dan Matriks 6
Diketahui u = ( 1,2 ), v = ( 2,2 ), w = ( 1,3 ) a. Apakah u, v dan w membangun R 2? b. Apakah u, v dan w bebas linier? 13 Basis dan Dimensi Misalkan V ruang vektor dan S = { s 1, s 2,, s n }. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat, yaitu : 1. S bebas linier 2. S membangun V Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar 14 Aljabar Linear dan Matriks 7
basis standar : 1. S = { e 1, e 2,, e n }, dengan e 1, e 2,, e n R n e 1 = ( 1,0,,0),e 2 = ( 0,1,0,,0 ),,e n = ( 0,0,,1 ) merupakan basis standar dari R n 2. S = { 1, x, x 2,x n } merupakan basis standar untuk P n ( polinom orde n ) 3. S = { } 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0,,, merupakan basis standar untuk M 22 0 0 0 1 15 Misal v 1 =(1,2,1), v 2 =(2,9,0), dan v 3 =(3,3,4). Tunjukkan bahwa himpunan S=(v 1,v 2,v 3 ) adalah basis untuk R 3 Syarat: 1. S bebas linier 2. S membangun V Sebarang vektor b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier b = k 1 v 1 +k 2 v 2 + k 3 v 3 Sistem memiliki pemecahan untuk semua pilihan b= (b 1,b 2,b 3 ) k 1 v 1 +k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0 Pembuktian bebas linier pembuktian sistem homogen S bebas linier dan membangun R 3 matriks koefisien dapat dibalik, karena det A =. 16 Aljabar Linear dan Matriks 8
Basis ruang baris dan basis ruang kolom Suatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m. Jika A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22... a 2n : : : a m1 a m1... a mn Maka A tersusun atas vektor vektor baris r i dengan r i = (a i1,a i2,,a in ) atau bisa juga dikatakan A tersusun atas vektor vektor kolom c j = (c 1j,c 2j,,c mj } dengan i = 1,2,,m dan j =1,2,,n Subruang R n yang dibangun oleh vektor vektor baris disebut ruang baris dari A Subruang R m yang dibangun oleh vektor vektor kolom disebut ruang kolom dari A 17 A = 2 1 0 3 1-4 Vektor baris A adalah Vektor kolom A adalah 18 Aljabar Linear dan Matriks 9
Menentukan basis ruang kolom / baris Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, sedangkan basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A t Banyaknya unsur basis ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matriks eselon baris tereduksi. Dimensi ( ruang baris ) = dimensi ( ruang kolom ) = rank matriks 19 Aljabar Linear dan Matriks 10