1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT)
RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol Operation Research dan lain-lain
Ruang Vektor Umum Misalkan u, v, w V dan k, l Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk setiap u, v V maka u v V 2. u v v u 3. u v w u v w 4. Terdapat 0 V sehingga untuk setiap u V berlaku u 0 0 u u 5. Untuk setiap u V terdapat u sehingga u u u u 0
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap u V dan k Riil maka k u V 7. k u v ku kv 8. k l u ku lu 9. k l u l k u kl u 10. 1. u u
Contoh : 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) R : Bilangan real R2 : Vektor di bidang R3 : Vektor di ruang tiga dimensi 2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: Penjumlahan u v u1 v1, u 2 v 2,..., u n v n Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k) ku ku1, ku 2,..., ku n Perkalian Titik (Euclidean inner product) u v u1v1 u 2 v 2... u n v n Panjang vektor didefinisikan oleh : u u u 1 2 2 2 u1 u 2... u n 2 Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh : d u, v u v u1 v1 2 u 2 v 2 2... u n v n 2
Contoh : Diketahui u 1, 1, 2, 3 dan v 2, 2, 1, 1 Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : u u u 1 2 12 12 2 2 32 15 Jarak kedua vektor v 2 2 2 2 12 12 10 d u, v u v 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 12 22 7
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V. W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W { } 2. W V 3. Jika u, v W maka u v W 4. Jika u W dan k Riil maka k u W
Contoh 1: Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab : 0 0 W maka W 1. O 0 0 2. Jelas bahwa W M2x2 3. Ambil sembarang matriks A, B W 0 b1 0 a1 dan B Tulis A a2 0 b2 0
Perhatikan bahwa : 0 a1 0 b1 A B b a 0 0 2 2 a1 b1 0 a b 0 2 2 Ini menunjukan bahwa A B W 4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil, maka 0 ka ka2 ka1 W 0 Ini menunjukan bahwa ka W Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
Contoh 2 Apakah W sub ruang dari ruang vektor R3 jika W didefinisikan sebagai {(a,b,c) dimana a.b.c = 0} Jawab W = {(a,b,c) dimana a.b.c = 0, a,b,c R} Vektor (0,0,0) W W { } dan W R3 Misalkan a = (0,1,2), b = (2,1,0) adalah vector di W c = a + b = (2,2,2) c bukan vector di W karena 2.2.2 = 8 0 W bukan sub ruang di R3 * Jika c di W, kita tidak dapat membuat kesimpulan bahwa W sub ruang dari R3
Contoh 3: Periksa apakah himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2 Jawab : a b a b W= det 0, a, b, c, d R c d c d 0 0 1. W, maka W 0 0 2. Jelas bahwa W M 2 2
3. Misalkan ambil sembarang matriks A, B W. Pilih a b : a b, jelas bahwa det (A) = 0 A 0 0 0 0, jelas bahwa det (B) = 0 B b a A B a b = b a Karena a b Maka det (A + B ) = a2 b2 0 Jadi W bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
Contoh 4 Tunjukkan bahwa W : garis yang berasal dari titik pusat di bidang adalah sub ruang dari ruang vektor R2 Jawab W = {(x,y) ax + by = 0, a,b R} W {} 1. Garis x + y = 0 dan x y = 0 W 2. Misalkan Garis1: a1x + b1y = 0 dan Garis2 : a2x + b2y = 0 adalah garis di W W R2 3. Garis3 = Garis1+Garis2 = (a1+a2)x + (b1+b2)y = 0 ada di W 4. k Garis1= ka1x + kb1y = 0 ada di W Maka, W sub ruang di R2
Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2,, vn jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : u k1v1 k 2v2... k n vn dimana k1, k2,, kn adalah skalar riil.
Contoh Misal u (2, 4, 0) dan v (1, 1, 3) adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas a. a (4, 2, 6) b. b (1, 5, 6) c. c (0, 0, 0)
Jawab : a. Tulis k1u k 2 v a akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. 4 1 2 k1 4 k 2-1 2 6 3 0 Ini dapat ditulis menjadi: 2 1 4 1 0 3 k1 4 2 k 6 2
dengan OBE, diperoleh: 2 1 4-1 0 3 4 1 12 2 ~ 0 1 6 0 0 2 1 0 2 ~ 0 1 0 0 0 1 2 0 Dengan demikian, k1 = 1 dan k2 = 2 a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v atau a u 2v
b. Tulis : k1u k 2 v b 2 k1 4 k 2 0 1 1-1 5 3 6 ini dapat ditulis menjadi: 2 1 4 1 0 3 1 k1 5 k2 6
dengan OBE dapat kita peroleh : 2 4 0 1-1 3 1 5 6 1 ~ 0 0 1 2-3 3 0 3 ~ 6 1 0 0 1 1 0 2 2 ~ 3 1 2 1 0 0 0 1 0 2 3-1 2 Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis k1u k 2 v c artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.
LATIHAN Misalkan u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) adalah vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas a. a = (9, 2, 7) b. b = (4, -1, 8) c. c = (2, 6, 10)
Definisi membangun dan bebas linear Himpunan vektor S v1, v 2,..., v n dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S. Contoh : Tentukan apakah v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), dan v3 = (2, 1, 3) membangun V???
Jawab : Ambil sembarang vektor di R2 misalkan. Tulis :. u1 u u2 u 3 u k1 v1 k 2 v 2 k 3 v 3 Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : 1 1 2 k1 u1 1 0 1 k u 2 2 u 2 1 3 k3 3
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh : Agar SPL itu konsisten haruslah u3 u2 u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R3
Misalkan S u1, u 2,..., u n adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent) JIKA SPL homogen : k1u1 k2u2... kn un 0 hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni k1 0, k 2 0,..., k n 0 Jika solusinya tidak tunggal, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent)
Contoh : Diketahui u 1, 3, 2 dan a 1, 1, 1 Apakah saling bebas linear di R3 Jawab : Tulis k1u k 2 a 0 atau -1 1 k1 1 3 2 1 k2 0 0 0
dengan OBE dapat diperoleh : -1 1 0 1 1 0 ~ 0 3 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 4 0 ~ 0 0 0 1 0 dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k1 = 0, dan k2 = 0. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
Contoh : Misalkan, 1 a 3 2, 2 1 b 1 c 6 1 4 Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : 0 k1 a k 2 b k 3 c atau 2 k1 0 1 1 3 1 6 k 2 0 2 1 4 k 0 3
dengan OBE diperoleh : 1 1 1 2 0 ~ 0 0 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 Ini menunjukan bahwa k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak Jadi a, b, c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
Basis dan Dimensi Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2,, ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi : S membangun V S bebas linear
Contoh : Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut : M 3 6 3 6, 8 1 0 0 1 0 1 0, 12 4, 1 2 merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab : Tulis kombinasi linear : 0 1 3 6 k3 k1 k 2 1 0 3 6 atau 3k1 k 4 3k1 k 2 12k 3 k 4 0 8 12 4 k4 1 0 a b 1 2 c d 6k1 k 2 8k 3 a b 6k1 4k 3 2k 4 c d
dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL : 0 0 1 k1 a 3 6 1 8 0 k b 2 3 1 12 1 k3 c 6 0 4 2 k 4 d Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 det(mk) 0 SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2 Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det(mk) 0 SPL homogen punya solusi tunggal. Jadi, M bebas linear.
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Contoh : Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks : 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1, 0 0, 1 0, 0 1 juga merupakan basisnya.
Misalkan matriks : 1 2 1 1 A 1 2 3 1 1 2 2 1 Vektor baris Vektor kolom dengan melakukan OBE diperoleh : Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : 1 1 1, 3 1 2 basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : 1 1 2 2, 1 3 1 1 Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.
Contoh : Diberikan SPL homogen : 2p + q 2r 2s = 0 p q + 2r s =0 p + 2q 4r + s = 0 3p 3s =0 Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab : 2 1 2 2 SPL dapat ditulis dalam bentuk : 1 1 2 1 1 2 4 1 3 0 0 3 0 0 0 0
dengan melakukan OBE diperoleh : 1 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Solusi SPL homogen tersebut adalah : p 1 0 q 0 2 r 0 a 1 b s 1 0 dimana a, b merupakan parameter.
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah : 1 0 0, 1 0 2 1 0 Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
Latihan Bab 5 6 3 1.Nyatakanlah matriks 0 8 sebagai kombinasi linear dari matriks berikut : 1 2 0 1 3, 2 1 4 2, dan 4 0 2 2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear! a. {6 x2, 6 + x + 4x2 } b. {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x x2} 3. Periksa, apakah himpunan A = {6 x2, 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2!
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P2) a. {4 + 6x + x2, 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x x2} b. { 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2} 5. Misalkan J a bx cx 2 a 2 b 2 c 2 merupakan himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua. Periksa apakah J merupakan sub ruang dari ruang vektor Polinom orde dua Jika ya, tentukan basisnya
6. Diberikan SPL homogen : p + 2q + 3 r = 0 p + 2q 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0, Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan tentukan dimensinya. 7. Tentukan rank dari matriks : 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 2 1