BAB VI Program Linear Bilangan Bulat

BAB VI Program Linear Bilangan Bulat Permasalahan program linear bilangan bulat muncul ketika kita harus memutuskan jumlah barang yang kita perlukan berbentuk bilangan bulat, seperti menentukan banyaknya mesin untuk suatu pabrik, banyaknya foto copy untuk layanan di suatu kantor, banyaknya komputer di suatu ruangan untuk mengerjakan sejumlah pekerjaan, banyaknya orang yang mengerjakan suatu proyek, dan sebagainya. Tidaklah mungkin banyaknya mesin giling padi di suatu pabrik,38 buah untuk menggiling padi di suatu wilayah tertentu, keputusan akan menjadi 3 buah, atau buah dengan kerja lembur, dan sebagainya. Program linear bilangan bulat dikatakan pure integer programming (program linear bilangan bulat murni) apabila semua variabel adalah bilangan bulat. Ada kalanya sebagian variabel bukan bilangan bulat, bisa jadi sebagian variabel bilangan real. Bilamana variabelnya bilangan bulat dan bilangan biner (nol, satu), maka masalah program linear ini disebut mi integer programming (program linear bilangan bulat campuran) atau program linear bilangan bulat nol satu (zero one integer programming). Masalah zero one integer programming biasanya digunakan untuk pengambilan keputusan. Bernilai bila harus melakukan suatu pekerjaan (menerima keputusan) dan bernilai 0 berarti harus menolak suatu pekerjaan (keputusan). Untuk lebih jelasnya marilah kita lihat beberapa contoh masalah berikut: Masalah Masalah Maksimumkan Z = 00 + 90 Dengan pembatas: 0 5 + 7 + 0 0, 70 50 0 Minimumkan Z = 00 + 400 Dengan pembatas: 0 + 5 3 + 0, 00 0 49

50 Masalah 3 Maksimumkan Z = 80 + 00 4 + + 5 0, 5 6 + 5 0 6 Selanjutnya apabila kita hitung dengan metode simpleks dengan bilangan real, maka kita peroleh: Masalah Masalah Masalah 3 = 5.38 =.8 =.3 = 3.7 Z = 746.5 Z =,67.73 =.388889 =.7 Z = 463.3333 Misalnya kita diminta untuk menjawab dengan bilangan bulat, kemudian kita bulatkan begitu saja, misalnya menjadi: Masalah Masalah Masalah 3 = 5 = Z = 680 = = 3 Z = tak layak = = 3 Z = tak layak Pembulatan yang dilakukan begitu saja, akan mengakibatkan solusi tidak optimal, bahkan dapat menghasilkan jawaban yang tak layak (tidak masuk dalam jawaban yang mungkin). Oleh karena itu pembulatan pada program linear bilangan bulat tidak sesederhana membulatkan menjadi bilangan bulat. Sebab beberapa persyaratan mesti dipenuhi. Pada masalah diatas bila kita lakukan dengan program linear bilangan bulat akan menghasilkan jawaban:

5 Masalah Masalah Masalah 3 = 7 = 0 Z = 700 = 3, = 5, Z =,800 = 3 atau = = = 3 Z = 360 Bagaimana cara menentukan solusi program linear bilangan bulat? Ada beberapa cara untuk menentukan (menghitung) solusi program linear bilangan bulat, antara lain: metode grafik, metode cutting plan algorithm, metode branch and bound, dan penyelesaian dengan program komputer. Pada kajian di sini hanya akan dibahas dua cara yaitu metode branch and bound, dan penyelesaian dengan program komputer.. Metode Branch and Bound Metode branch and bound mempunyai beberapa langkah:. Selesaikan masalah program linear dengan metode biasa (simpleks) yaitu dengan bilangan real (biasa).. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel basis yang diharapkan berbentuk bilangan bulat, maka pekerjaan telah selesai. Solusi itu adalah solusi optimum. Tetapi bila solusinya bukan bilangan bulat, maka lakukan langkah selanjutnya. 3. Nilai solusi yang tidak bulat yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah, dengan tujuan untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan bilangan bulat. Pencabangan ini dilakukan dengan kendala-kendala mutually eclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat. 4. Untuk setiap sub masalah, nilai solusi optimum kontinu (tak bulat) fungsi tujuan dijadikan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya ini adalah solusi kontinu yang dibulatkan kebawah). Sub-sub masalah yang mempunyai batas atas kurang dari batas bawah yang ada tidak diikut sertakan dalam analisis selanjutnya. Suatu solusi bulat, layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk semua sub masalah yang dicari. Jika solusi

5 demikian ada, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan, kemudian kembali ke langkah 3. Untuk melihat lebih jelas, kita perhatikan contoh berikut: Maksimumkan Z = 50 + 75 Dengan pembatas: 6 + 8 99 8 + 4 87 0, 0 Dengan metode simpleks biasa atau metode grafik, maka diperoleh. = 7.5 Nampak disamping bahwa semua solusi bilangan pecah (tidak = 6.75 bulat) maka harus kita lakukan pencabangan. Z = 05 Perhatikan grafik berikut. Masalah diatas dicabang menjadi 3 bagian yaitu: Bagian. Bagian. Bagian 3. 7 6 0, 0 8 8, + 4 0 87 6 0, + 8 7 99

53 Bagian Pada bagian memberikan batas bawah (7,6) dengan Z = 50 7 + 75 6 = 00 Bagian Pada bagian memberikan batas atas (8,5) dengan Z = 50 8 + 75 5=075 (dibawah batas bawah). Bagian 3

54 Pada bagian 3 memberikan batas atas (7,7) dan (0,) yang memberikan nilai Z = 50. 7 + 75. 7 = 70, Z = 50. 0 + 75. = 00 Dari perhitungan diatas, terlihat bahwa nilai maksimum tercapai pada titik (7,7) dengan nilai Z = 70. Jadi solusi program linear bilangan bulat diatas adalah =, = 7, dengan Z.70. 7 =. Penyelesaian Program Linear Bilangan Bulat dengan Program Lindo Untuk menyelesaikan masalah diatas dengan komputer, dalam hal ini kita gunakan program lindo, maka masalah tersebut kita tuliskan pada papan lindo sebagai berikut: Apabila masalah program linear yang tidak harus bilangan bulat kita tuliskan dengan, Ma 50+75 Subject to 6+8<=99 8+4<=87 End Sedangkan untuk masalah program linear bilangan bulat, kita tambahkan gin dan gin untuk memberitahu bahwa adalah bilangan bulat, dan juga bilangan bulat. Atau langsung ditulis dengan gin. Sehingga program menjadi: Ma 50+75 Subject to 6 + 8 <= 99 8 + 4 <= 87 End Gin Gin atau cukup ditulis dengan ma 50+75 subject to 6+8<=99 8+4<=87 end gin

55 Maka setelah program Lindo dijalankan akan diperoleh hasil keluaran seperti berikut: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE VALUE = 306.5000 NEW INTEGER SOLUTION OF 75.00000 AT BRANCH 0 PIVOT BOUND ON OPTIMUM: 75.000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) 75.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X 7.000000-50.000000 X 7.000000-75.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ).000000 0.000000 3) 3.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= BRANCHES= 0 DETERM.=.000E 0 Dari hasil diatas dapat dilihat bahwa, solusi tercapai dengan Z =.75, dengan X = 7, dan X = 7. 3. Penyelesaian Program Linear Bilangan Bulat dengan Program Solver Untuk menyelesaikan Masalah program linear bilangan bulat Dengan solver prinsipnya sama dengan penyelesaian program linear, hanya ditambah syarat (constrain) yaitu sel banyaknya barang adalah bilangan bulat (integer), maka program awal yang kita isikan ke dalam Ecel adalah sebagai berikut.

56 Program awal pada lembar kerja Ecel. Setelah menjalankan Solver dengan mengisi Parameter Solver berikut. Maka akan diperoleh hasil berikut ini.

57 Tabel Kebutuhan Bahan Barang (Variabel) Barang Barang Pembatas Bahan 6 8 99 Bahan 8 4 87 Koef. fungsi Tujuan 50 75 Banyaknya 7 7 Bahan yang dipakai Barang Barang Barang Dipakai Bahan 4 56 98 Bahan 56 8 84 Fungsi Tujuan 75 Hasil di atas menunjukkan bahwa Z optimal terjadi pada = 7, dan = 7 dengan Z = 75. Pengerjaan dengan program Lingo diserahkan kepada pembaca. Pengerjaan dengan cara konvensional memerlukan waktu yang cukup lama dan cukup sukar, apalagi apabila banyaknya variabel banyak. Sebagai contoh perhatikan masalah berikut. Sebuah Home Industri Dynamics Bag Collection membuat lima macam barang, yaitu Remaja, Ibu-ibu, Sekolah, Wanita, dan Pria. Kebutuhan bahan, harga bahan, harga jual, biaya tenaga setiap harinya adalah sebagai berikut:

58 Tabel Kebutuhan Bahan, Persediaan bahan dan Harga Barang Bahan - bahan Harga jual 76.000 300.000 76.000 44.000 3.000 (rupiah).pengerjaan secara konvensional hampir tidak mungkin dilakukan, karena menyangkut lima buah variabel. Remaja Ibuibu Sekolah Wanita Pria Persediaan Imitasi 4 m 5 m 6 m m m 65 m Benang rol 3 rol 3 rol rol rol 5 rol Resliting,5 m 3,6 m,8 m 0,5 m 0,5 m 90 m Lem Late 0,75 kg 0,5 kg 0 0,5 kg 0,5 kg 7 kg Lem PC 0,5 kg 0, kg 0 0, kg 0, kg 3 kg Furing,5 m 7 m 0,5 m m 34 m Asesoris 36 buah 4 buah 0 0 buah 0 98 buah Karton 5 lbr lbr 0 0 0 0 lembar Busa 3 m 5 m 0 0 0 30 m Masalah ini apabila dikerjakan dengan Solver, maka akan diperoleh hasil berikut. Bahan keperluan Bahan - bahan Remaja Ibu-ibu Sekolah Wanita Pria Persediaan Imitasi 4 5 6 65 Benang 3 3 5 Resliting.5 3.6.8 0.5 0.5 90 Lem Late 0.75 0.5 0 0.5 0.5 7 Lem PC 0.5 0. 0 0. 0. 3 Furing.5 7 0.5 34 Asesoris 36 4 0 0 0 98

59 Karton 5 0 0 0 0 Busa 3 5 0 0 0 30 Harga jual (rupiah) 76 300 76 44 3 Banyaknya 0 3 0 Bahan yang terpakai Bahan - bahan Remaja Ibu-ibu Sekolah Wanita Pria Digunakan Sisa bahan Imitasi 8 0 8 0 38 7 Benang 4 0 9 0 5 0 Resliting 5 0 8.4 6 0 9.4 70.6 Lem Late.5 0 0 3 0 4.5.5 Lem PC 0.5 0 0.4 0.9 0. Furing 5 0 0 5 0 0 4 Asesoris 7 0 0 0 0 9 6 Karton 0 0 0 0 0 0 0 Busa 6 0 0 0 0 6 4 Penghasilan kotor 308 Hasil ini menunjukkan bahwa Home Industri tersebut harus membuat tas remaja, 3 tas sekolah, dan dompet wanita. Dengan pendapatan kotor Rp 3.08.000,-. Apabila kita cermati hasil di atas, khususnya bahan yang tersisa, maka kekurangan bahan yang menonjol adalah benang dan Lem PC yang kedua bahan tersebut harganya murah dan mudah di dapat. Oleh karena itu ada baiknya persediaan kedua bahan tersebut ditambah.

60 Misalkan benang kita tambah menjadi 50 dan Lem PC kita tambah menjadi 7, maka apabila kita selesaikan akan menghasilkan pendapatan yang cukup melonjak. Bahan keperluan Bahan - bahan Remaja Ibuibu Sekolah Wanita Pria Persediaan Imitasi 4 5 6 65 Benang 3 3 50 Resliting.5 3.6.8 0.5 0.5 90 Lem Late 0.75 0.5 0 0.5 0.5 7 Lem PC 0.5 0. 0 0. 0. 7 Furing.5 7 0.5 34 Asesoris 36 4 0 0 0 98 Karton 5 0 0 0 0 Busa 3 5 0 0 0 30 Harga jual (rupiah) 76 300 76 44 3 Banyaknya 0 0 6 9 9

6 Bahan yang terpakai Bahan - bahan Remaja Ibuibu Sekolah Wanita Pria Digunakan Sisa bahan Imitasi 0 0 36 9 9 64 Benang 0 0 8 9 9 46 4 Resliting 0 0 7 0 9 6 Lem 0 0 0 5 7 0 Late Lem PC 0 0 0 4 6 Furing 0 0 0 4 9 33 Asesoris 0 0 0 90 0 90 8 Karton 0 0 0 0 0 0 0 Busa 0 0 0 0 0 0 30 Penghasilan kotor 5499 Kita perhatikan pendapatan menjadi Rp 5.499.000,--. Yaitu dengan membuat 9 tas sekolah, 9 dompet wanita, dan 9 dompet pria. Sebuah kenaikan penghasilan yang luar biasa. Bagaimana kalau Home Industri tersebut sekurang-kurangnya membuat tas wanita dan 3 tas ibu-ibu? Untuk menyelesaikan masalah ini, cukup menambah pada constrais sel tas remaja >= dan sel tas ibu-ibu >= 3 seperti berikut.

Dari Parameter di atas, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut. 6

63 Hasil terakhir menyarankan untuk membuat tas ramaja, 3 tas ibu-ibu, 6 tas sekolah, 4 dompet wanita, dan dompet pria, dengan penghasilan kotor Rp 3.930.000,--. Penyelesaian masalah dengan Lindo maupun Lingo diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Soal-soal. Seorang Pasien di rumah sakit setiap harinya memerlukan tiga macam zat, sebut saja zat A, zat B, dan zat C, berturut-turut paling sedikit sebanyak 6 satuan, 8 satuan, dan 7 satuan. Zat-zat tersebut terdapat dalam tiga macam obat yaitu obat P, obat Q, dan obat R. Setiap obat P mengandung zat A, zat B, dan zat C. Setiap obat Q mengandung 4 zat A, zat B, dan zat C. Dan setiap obat R mengandung zat A, 3 zat B, dan zat C. Harga obat P, obat Q, dan obat R berturut-turut Rp 000, Rp 500, dan Rp 50. Tentukan banyaknya masing-masing obat untuk memenuhi kebutuhan pasien tersebut agar dicapai biaya minimum.. Perusahaan mobil akan mengeksport 400 mobil model A, dan 500 mobil model B. Mobil model A memerlukan tempat m 3 dan mobil model B memerlukan tempat 5 m 3. Pada jadwal pelayaran terdapat tiga pengangkutan yaitu pada awal bulan Januari, pertengahan bulan Februari dan akhir bulan Maret. Ada pengangkutan pertama hanya membuat mobil model A dengan biaya Rp 450.000,- tiap-tiap mobil. Pada pengangkutan mobil yang kedua dan ketiga membawa kedua model tersebut dengan biaya angkut berturut-turut Rp 35.000,- dan Rp 40.000,- tiap meter kubik. Kapasitas kapal pertama hanya 00 mobil. Pengangkitan kedua dan ketiga berturut-turut sebesar 4500 dan 6000 meter kubik. Pada pertengahan Februari harus terkirim sekurang-kurangnya 50 mobil model A, dan 300 mobil model B. Buatlah model pengangkutan agar diperoleh biaya transportasi minimal.

64 3. Rapi Alumunium adalah pengusaha kecil yang membuat beberapa barang yang berbasis alumunium. Kebutuhan bahan dan persediaan, serta harga jual terlihat pada tabel berikut ini: Jemuran Jemuran Jenis barang Meja Rak Jemuran handuk handuk dan bahan Setrika Piring Pakaian sayap engkel Persediaan Alumunium 650 cm 780 cm 386 cm 4000 cm Alumunium ½ 34 cm 000 cm Alumunium 3/4 3/4 80 cm 756 cm 654 cm 36000 cm Alumunium 3/8 75 cm 639 cm 60000 cm Alumunium 3/4 7 cm 570 cm 98 cm 540 cm 60000 cm Alumunium 5/8 4 cm 60000 cm Alumunium Lis M 3/4 360 cm 640 cm 400 cm 30000 cm Alumunium Lis M 660 cm 640 cm 30000 cm Karet Plane 360 cm 640 cm 400 cm 660 cm 640 cm 70000 cm Karet Sepatu 5 5 Karet Sepatu O Partikel 4 bh 4 bh 4 bh 50 bh 4 bh 4 bh 50 bh 800 cm 60000 cm

65 Busa Kain Tripek Melamin Alumunium Gate Rel Alumunium Rel Alumunium U 3/8 Plat Alumunium Spigot Harga satuan Barang 800 cm 4000 cm 800 cm 50000 cm 6000 cm 60000 cm 0 cm 500 cm cm 600 cm 6 cm 3000 cm 90 cm 000 cm 30 cm 3000 cm 57.000 5.000 00000 35.000 70.000 Tentukan banyaknya masing-masing barang agar diperoleh pendapatan terbesar?.