2. Metode MODI (Modified Distribution) / Faktor Pengali (Multiplier)

Transkripsi

1 2. Metode MODI (Modified Distribution) / Faktor Pengali (Multiplier) Metode MODI disebut juga metode Faktor Pengali atau Multiplier. Cara iterasinya sama seperti Metode Batu Loncatan. Perbedaan utama terjadi pada cara pengevaluasian variabel non basis, atau penentuan penurunan ongkos transport per unit untuk tiap variabel. Cara ini dikembangkan berdasarkan teori dualitas. Untuk setiap baris ke-i dari tabel transportasi dikenal suatu bilangan baris (multiplier u i ) dan untuk setiap kolom ke-j disebut bilangan kolom (multiplier v j ) sehingga untuk tiap variabel basis X ij diperoleh persamaan : u i + v j = C ij (i) Cara pengisiannya ditentukan terlebih dahulu salah satu u i atau v j secara sembarang misalnya u = 0, dengan demikian dengan menggunakan persamaan (i) dapat diperoleh nilai u i dan v j yang lain. Setelah u i dan v j terisi semua maka untuk semua variabel non basis dapat dihitung : Z ij -C ij = u i + v j - C ij (ii) Akan diperoleh tabel optimal jika semua Z ij -C ij 0 (semua negatif atau nol). Jika tabel belum optimal cara menentukan variabel yang masuk menjadi basis (Entering Variable) dan variabel yang keluar basis (Leaving Variable) caranya sama seperti Metode Batu Loncatan. Contoh Soal: Diketahui table Transportasi sebagai berikut: A T T 2 T 3 a i X X 2 X 3 20 X 2 X 22 X X 3 X 32 X b j Tentukan : a). Ongkos Awal dengan Metode Ongkos Kolom Terkecil! b). Jawab Optimal dengan Metode MODI! Kuliah TRO\PERTEMUAN.doc Hal. dari 7

2 Jawab: a). Ongkos Awal dengan Metode Ongkos Kolom Terkecil : T T 2 T 3 a i A x x 20 x x 60 b j Z awal = = b). Jawab Optimal dengan Metode MODI : ). Evaluasi dari variable basis dengan memisalkan salah satu nilai dari u i atau v j dengan sebarang bilangan bulat tertentu, misalkan : u = 0 (tidak harus u yang dimisalkan dan tidak harus nol bilangannya), sehingga dapat dihitung: C = u + v 50 = 0 + v v = 50. C 3 = u 3 + v 00 = u u 3 = 50. C 32 = u 3 + v = 50 + v 2 v 2 = 50. C 22 = u 2 + v = u u 2 = 50. C 23 = u 2 + v = 50 + v 3 v 3 = 50. T T 2 T 3 a i u i A x x 20 u = 0 x u 2 = x 60 u 3 = 50 b j v j v = 50 v 2 = 50 v 3 = 50 2). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Z ij C ij = u i + v j - C ij, sehingga diperoleh: Z 2 C 2 = u + v 2 - C 2 = = 50 Kuliah TRO\PERTEMUAN.doc Hal. 2 dari 7

3 Z 3 C 3 = u + v 3 - C 3 = = 50 Z 2 C 2 = u 2 + v - C 2 = = 0 Z 33 C 33 = u 3 + v 3 - C 33 = = 200 3). Karena masih ada nilai dari Z ij C ij yang positif (Z ij C ij > 0) maka table belum Optimal. 4). Menentukan Variabel yang masuk menjadi basis dengan memilih nilai Max { Z ij C ij } = 50 yaitu nilai dari Z 2 C 2, maka X 2 masuk menjadi basis. 5). Menentukan Variabel yang keluar dari basis dengan cara : *) Buat loop yang melalui variable yang baru masuk menjadi basis (X 2 ) : X X 3 + X 32 X 2 *) Variabel yang keluar basis adalah : Min {X, X 32 } = Min {20, 30} = 20, yang merupakan nilai dari X, maka X keluar basis. *). Penyesuaian nilai variable dalam basis: X = Keluar Basis X 3 = = 50 X 32 = = 0 X 2 = 20 (masuk jadi basis). Sehingga tabelnya berubah seperti berikut ini: T T 2 T 3 a i u i A x 20 x 20 u = 0 x u 2 = x 60 u 3 = 00 b j v j v = 0 v 2 = 00 v 3 = 0 Dengan memisalkan : u = 0, maka : C 2 = u + v 2 00 = 0 + v 2 v 2 = 00. C 22 = u 2 + v = u u 2 = 200. C 23 = u 2 + v = v 3 v 3 = 0. C 32 = u 3 + v = u u 3 = 00. C 3 = u 3 + v 00 = 00 + v v = 0. (seperti terlihat pada table di atas). Total Ongkosnya adalah : Z = = atau Z = Z awal (50 x 20) = = Kuliah TRO\PERTEMUAN.doc Hal. 3 dari 7

4 3). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Z ij C ij = u i + v j - C ij, sehingga diperoleh: Z C = u + v - C = = 50 Z 3 C 3 = u + v 3 - C 3 = = 00 Z 2 C 2 = u 2 + v - C 2 = = 0 Z 33 C 33 = u 3 + v 3 - C 33 = = 200 4). Karena semua nilai dari Z ij C ij 0 maka table sudah Optimal (minimum) dengan total ongkos minimum Soal di atas jika diselesaikan dengan LINDO diperoleh hasil sebagai berikut: MIN 50 X + 00 X X X X X X X X33 SUBJECT TO 2) X + X2 + X3 = 20 3) X2 + X22 + X23 = 70 4) X3 + X32 + X33 = 60 5) X + X2 + X3 = 50 6) X2 + X22 + X32 = 20 7) X3 + X23 + X33 = 90 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) Kuliah TRO\PERTEMUAN.doc Hal. 4 dari 7

5 NO. ITERATIONS= 7 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X X INFINITY X INFINITY X X INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE Hasil tersebut jika dinyatakan dalam table transportasi adalah sebagai berikut: A T T 2 T 3 a i b j Dengan Total Ongkosnya adalah : Z Min = = Kuliah TRO\PERTEMUAN.doc Hal. 5 dari 7

6 Masalah Transportasi Tidak Seimbang Suatu permasalahan transprotasi dikatakan seimbang (balanced transportation model) jika total penawaran (kapasitas sumber) atau total supply sama dengan total permintaan (kapasitas tujuan) atau total demand, dengan kata lain : m ai = n b j Dalam persoalan yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu dipenuhi, atau dengan kata lain jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil dari jumlah yang diminta, jika hal ini terjadi disebut dengan model transprotasi tidak seimbang (unbalanced). Namun setiap persoalan transportasi selalu dapat dibuat menjadi seimbang dengan memasukkan variabel semu (artificial variable). Jika jumlah demand melebihi jumlah supply, maka dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply kekurangan tersebut, yaitu sebanyak : n m b j a. i Sebaliknya, jika jumlah supply melebihi jumlah demand, maka dibuat suatu tujuan dummy yang akan menyerap kelebihan tersebut, yaitu sebanyak m n a i Ongkos transportasi per-unit (C ij ) dari sumber dummy keseluruh tujuan adalah nol. Hal ini dapat dipahami karena pada pada kenyataannya dari sumber dummy tidak terjadi pengiriman. Atau dengan kata lain masalah transportasi tidak seimbang dapat diselesaikan jika diubah menjadi bentuk yang seimbang dengan cara menambah daerah sumber atau daerah tujuan semu dimana ongkos transportasi per-unit (C ij ) dari daerah sumber atau ke daerah tujuan semu semuanya nol dan kapasitas sumber atau tujuan semu merupakan selisih b j antara m ai dengan n bj. Kuliah TRO\PERTEMUAN.doc Hal. 6 dari 7

7 Contoh Soal: Diketahui table Transportasi sebagai berikut: T T 2 T 3 a i A b j Dari contoh di atas merupakan masalah transportasi tidak seimbang karena total kapasitas m sumber ( a = 450 ) lebih banyak dari pada total kapasitas tujuan ( i bj = 440). Agar dapat diselesaikan, maka persoalan di atas harus diubah menjadi bentuk yang seimbang dengan cara menambah daerah tujuan semu (Dummy), sehingga akan menghasilkan table yang seimbang sebagai berikut: n T T 2 T 3 Dummy a i A b j Kuliah TRO\PERTEMUAN.doc Hal. 7 dari 7